- •Гидрогазодинамика
- •Лекция 1. Предмет «гидрогазодинамика». История развития
- •Лекция 2. Основные свойства жидкостей и газов
- •Гидростатическое давление
- •Уравнение поверхности равного давления
- •Равновесие жидкости при наличии негравитационных массовых сил
- •Эпюра гидростатического давления
- •Давление жидкости на плоскую стенку
- •Давление жидкости на криволинейные стенки
- •Закон Архимеда
- •Лекция 5. Капиллярные поверхностные силы
- •Кинематика точки в криволинейных координатах
- •Лекция 7. Поле скоростей и ускорений сплошной среды
- •Траектории частиц и линии тока
- •Интенсивность вихря. Вторая теорема Гемгольца
- •Циркуляция скорости
- •Функция тока плоского течения
- •Лекция 11. Методы расчета потенциальных потоков
- •Лекция 12. Наложение потенциальных потоков
- •Уравнение Бернулли для идеальной жидкости
- •Лекция 15. Уравнение энергии
- •Параметры торможения потока
- •Лекция 17. Возмущения в газе при движении тела
- •Критические параметры потока
- •Энтропия потока
- •Лекция 18. Сопло лаваля
- •Лекция 19. Приведенная скорость газа
- •Лекция 21. Прямой скачок уплотнения.
- •Лекция 22. Косой скачок уплотнения
- •Сверхзвуковое течение Прандтля-Майера
- •Обтекание плоской стенки
- •Обтекание выпуклой криволинейной стенки
- •Истечение из плоского сопла с косым срезом
- •Лекция 23. Движение газа в соплах
- •Сужающиеся сопла
- •Режимы течения в сопле Лаваля
- •Рабочий процесс эжектора
- •Лекция 25. Расчет газового эжектора
- •Критические режимы работы эжектора
- •Характеристики эжектора
- •26.2. Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости
- •Лекция 27. Основы теории гидродинамического подобия
- •Лекция 28. Режимы движения жидкости
- •Ламинарное течение жидкости
- •Лекция 29. Турбулентное течение жидкости
- •Лекция 30. Пограничный слой
- •Лекция 31. Гидравлические сопротивления и потери напора
- •Гидравлический расчет простого трубопровода
- •Гидравлический расчет сложных трубопроводов
- •Гидравлические характеристики трубопроводов
- •Истечение жидкости через затопленное отверстие
- •Истечение жидкости при переменном напоре
- •Истечение через насадки
- •Кавитация
- •Гидравлический удар
Циркуляция скорости
Вихрь скорости, также как и угловая скорость жидкой частицы, не поддается непосредственному измерению приборами. Нельзя непосредственно измерить и интенсивность вихревой трубки. Однако эту величину можно оценить по другой величине, называемой циркуляцией скорости.
Если в пространстве задано поле вектора и выбрана кривая L, для которой указано направление ее обхода, то линейным интегралом вектора по линии L называется криволинейный интеграл
,
где А - проекция вектора на касательную к L, проведенную в направлении обхода.
Это выражение можно записать в следующем виде
.
Физический смысл линейного интеграла особенно прост, если - поле сил. В этом случае линейный интеграл по L равен работе, совершаемой полем, когда точка, на которую действует сила, движется по кривой L.
Если L – замкнутая линия, то линейный интеграл называется циркуляцией.
Циркуляцией скорости по кривой L называется интеграл
. (9.10)
Если контур L замкнут, то циркуляция по контуру определяется выражением
. (9.11)
Для плоского течения
.
Рассмотрим замкнутый контур в виде прямоугольника, находящегося в плоскости xOy (рис.9.8).
Циркуляция скорости по контуру ОАВСО составит
(9.12)
Так как , и , то
.
Рассматривая циркуляцию скорости в других плоскостях, окончательно получим
. (9.13)
Здесь - нормаль к поверхности s.
Выражение (9.13) соответствует теореме Стокса:
Циркуляция по произвольному контуру равна сумме интенсивностей вихрей, пронизывающих поверхность, натянутую на контур.
Лекция 10. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
Потенциал скорости
Сущность теоремы Стокса, по существу, сводится к утверждению о равенстве числовых значений интенсивности вихря и циркуляции, т.е. . С другой стороны, при равенстве нулю вихря скорости, т.е. , в жидкости наблюдается безвихревое движение. Для этого режима течения обязательным условием является . Так как
то отсутствие в жидкости вихрей обеспечивается при равенстве смешанных производных
(10.1.)
Из математики известно, что если функция дифференцируема, то выражение
(10.2)
является полным дифференциалом в том случае, если
(10.3)
В этом случае
(10.4)
Из (10.1) и (10.4) следует, что для безвихревого движения жидкости существует некоторая величина , для которой должны выполняться соотношения
(10.5)
По предложению Гельмгольца функцию называют потенциалом скорости. Скорость движения частицы можно разложить по координатным осям в виде , что соответствует выражению
. (10.6)
Для многих задач гидромеханики необходимо знать поля скоростей жидкости в рабочей зоне установки. Использование потенциала скорости позволяет задать поля скоростей vx, vy, vz с помощью только одной величины , что существенно упрощает расчеты.
Так как для несжимаемой жидкости в отсутствии источников и стоков , то для потенциального течения
(10.7)
или
. (10.8)
Выражения (6.7) и (6.8) называются уравнениями Лапласа. Как и любое дифференциальное уравнение, уравнение Лапласа имеет бесчисленное множество решений. Для получения однозначного решения необходимо задать граничные условия. Обычно принимают, что при обтекании тела или при движении в канале с твердыми стенками скорость на стенке , а вдали от стенки или тела равна скорости невозмущенного потока .
Выражение для циркуляции скорости в потенциальном потоке приобретает простой вид. Выделим в пространстве произвольную кривую АВ. Циркуляция скорости по этой кривой
.(10.9)
Это означает, что циркуляция скорости по кривой АВ не зависит от формы кривой и равна разности потенциала скорости в конечных точках дуги. В том случае, когда точки А и В совпадают, т.е контур замкнутый и функция однозначна, то циркуляция скорости в потенциальном потоке по замкнутому контуру равна нулю.