Уравнение Бернулли для идеальной жидкости

Рассмотрим движение элементарной струйки малого сечения вдоль линии тока. Будем считать, что движение установившееся, а из массовых сил действует только сила тяжести. В этом случае уравнения Эйлера принимают вид

Умножим первое уравнение системы на dx, второе на dy, третье на dz и сложим. В результате получим

. (14.3)

Так как мы рассматриваем движение по линии тока, то при установившемся движении траектории частиц совпадают с линиями тока и имеют место следующие соотношения .В этом случае левая часть (14.3) принимает вид

Так как давление зависит только от координат x, y, z, то выражение в правой части в скобках представляет полный дифференциал:

.

Выражение (7.25) принимает вид

.

Интегрируя его, получим

. (14.4)

Уравнение (7.26) называется уравнением Бернулли. Оно выражает собой закон сохранения энергии движущейся жидкости. Каждый из его членов представляет собой энергию, заключенную в единице массы жидкости, а именно: первый член есть работа сил давления, второй – потенциальная энергия силы тяжести, третий – кинетическая энергия.

Физическое истолкование уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в том, что для любых сечений 1 и 2 удельная энергия остается неизменной:

.

Разделим все члены уравнения (5.18) на ускорение силы тяжести g, тогда они будут иметь размерности длины и могут быть истолкованы как высоты.

. (14.5)

В этом уравнении величина означает высоту столба жидкости, создающего своим весом давление р и поэтому называется пьезометрической высотой. Величина z есть высота рассматриваемой точки над некоторой начальной горизонтальной плоскостью и поэтому называется геометрической высотой. Величина есть высота, с которой тело должно упасть, чтобы при свободном падении приобрести скорость v, и поэтому называется скоростной высотой. Таким образом, с геометрической точки зрения уравнение Бернулли в любом сечении элементарной струйки идеальной жидкости представляет сумму трех высот: геометрической, пьезометрической и скоростной, которая остается неизменной.

График уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости представлен на рис.14.2.

Если сечение струйки увеличивается, то скорость падает, скоростной напор уменьшается, а давление возрастает, т.е. энергия, сохраняясь в целом, переходит из одного вида в другой (кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот).

Уравнение Бернулли используется во многих гидравлических расчетах. В частности, с его помощью можно определить скорость движущейся жидкости. При обтекании потоком препятствия непосредственно перед препятствием жидкость тормозится, а в центре препятствия скорость падает до нуля.

Рассмотрим линию тока, проходящую через центр препятствия. Пусть скорость вдали от потока на одинаковой высоте с препятствием равна v, давление в невозмущенном потоке равно p, в в центре препятствия равно p₀. Тогда, применяя уравнение Бернулли, получим

. (14.6)

Если измерить одновременно давления р и р₀, то по формуле

(14.7)

можно рассчитать скорость потока.

Для измерения перепада давления р₀ - р используется трубка Прандтля, схема которой показана на рис.14.3.

Измерительный элемент представляет собой полый цилиндр, конец которого, обращенный навстречу потоку, имеет шарообразную форму с отверстием в центре. От этого отверстия отходит импульсная трубка, передающая давление р₀ к измерительному прибору. Для замера статического давления р в полом цилиндре на расстоянии трех диаметров цилиндра от шарообразного конца делаются прорези, передающие давление в движущемся потоке с кольцевым зазором между внутренней поверхностью полого цилиндра и импульсной трубкой. Через штуцер, размещенный на боковой поверхности полого цилиндра давление р передается на измерительный прибор.

Трубка Прандтля является достаточно простым и одновременно точным устройством для измерения давления. Однако при проведении измерений измерительный элемент должен всегда находиться в потоке. При длительном использовании центральное и боковые отверстия могут засориться, что приведет к искажению сигнала. По этой причине трубками Прандтля пользуются только во время проведения специальных испытаний.

В промышленных условиях для измерения расхода жидкостей и газов используют трубы Вентури, создающие местное сужение потока. Схема трубы Вентури приведена на рис.14.4.

В сечении I-I статическое давление в потоке р₁. При уменьшении диаметра трубы в сечении II-II скорость потока возрастает с v₁ до v₂, а давление снижается до р₂. Запишем уравнение Бернулли для линии тока, проходящей по центру трубы

.

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости и сечений I-I и II-II имеет вид

,

где s₁ и s₂ – площади для прохода жидкости в сечениях I-I и II-II.

Объединяя эти уравнения, получим

. (14.8)

Следует заметить, что трубкой Прандтля мы замеряем локальную скорость потока, поэтому при надлежащем изготовлении трубки формула (7.29) определяет скорость потока с погрешностью, как правило, значительно меньшей допускаемой во многих промышленных испытаниях.

В формуле (7.30) скорость v₁ является некоторой усредненной характеристикой потока, зависящей как от расхода жидкости и площади сечения трубы, так и от профиля скорости, т.е. от распределения скорости потока по сечению трубы. Поэтому для оценки расхода жидкости по перепаду давлений на трубе Вентури необходимо вводить поправочный коэффициент. Расчетная формула принимает вид

, (14.9)

где коэффициент k определяется по измерению расхода другими методами, например, по снятию профиля скоростей в трубе с помощью трубки Прандтля.