Лекция 18. Сопло лаваля
Рассмотрим одномерное движение сжимаемого газа в трубе переменного сечения. При стационарном движении в любом сечении трубы должно выполняться уравнение неразрывности в виде
. (18.1)
Продифференцируем это выражение по х и получим
. (18.2)
Разделим это выражение на vs:
. (18.3)
Представим первую производную в виде
.
Выражение (6.24) примет вид
. (18.4)
Уравнение Эйлера для одномерного потока имеет вид
. (18.5)
Для стационарного потока первый член уравнения, т.е. локальная производная по времени равна нулю. С учетом этого выразим из (8.32) производную давления по координате х и подставим в (8.31). Будем иметь
.
Умножая это выражение на v и группируя члены, получим
или
. (18.6)
Выражение
(8.33) определяет зависимость изменения
скорости потока в зависимости от
изменения площади проходного сечения
канала. При дозвуковой скорости (M
< 1) увеличение скорости потока (
)
возможно только при уменьшении сечения
канала (
).
Для сверхзвукового потока
(М >1)
дальнейшее увеличение скорости возможно
только в расширяющемся канале (
).
Преодоление газовым потоком скорости
звука (М=1) возможно в том месте, где
сужающийся участок канала с
переходит в расширяющийся участок с
.
Построенный по таким принципам канал
называется соплом Лаваля.
Уравнение (8.30) можно представить в виде
,
откуда
.
Уравнение (8.33) запишем в виде
или
, 
.
Тогда
. (18.7)
Знаменатель
этого выражения
представляет собой относительное
изменение скорости потока. Числитель
есть относительное изменение плотности
среды при изменении ее скорости. Таким
образом, число Маха характеризует
относительное изменение плотности,
приходящееся на единицу относительного
изменения скорости. Число Маха, также
как и скорость звука, является
характеристикой сжимаемости среды. Но
скорость звука как характеристика
сжимаемости относится к покоящейся
среде, тогда как число Маха связано с
движущейся средой. Число Маха является
характеристикой сжимаемости движущегося
газа.
Так
как число Маха M
всегда больше нуля, то в установившемся
течении знак
всегда пропорционален знаку
,
т.е при нарастании скорости вдоль струйки
плотность газа всегда уменьшается.
Уравнение (8.6) позволяет объяснить действие сопла Лаваля, показанного на рис.18.1.
Если поток газа, протекающий через сопло Лаваля, имеет везде скорость меньше скорости звука, то изменение скорости вдоль сопла происходит по кривой а. Во входной части сопла скорость нарастает, достигает максимума в сжатом сечении и затем убывает. Если поток газа имеет везде сверхзвуковую скорость, то изменение скорости происходит по кривой б. Во входной части сопла скорость убывает, достигает минимума в сжатом сечении и затем снова нарастает в выходной части. Если же сопло спроектировано так, что в сжатом сечении скорость газа будет равна скорости звука, то эти кривые соприкоснутся в точке, соответствующей сжатому сечению. При этом при разгоне поток по инерции перейдет с кривой а на кривую б при ускорении потока или при начальной сверхзвуковой скорости перейдет с кривой б на кривую а.
Сопло Лаваля применяется в паровых и газовых турбинах, турбореактивных двигателях и других устройствах, где необходимо получить сверхзвуковой поток. Впервые оно было применено шведским инженером Лавалем в конструкции быстроходной паровой турбины. Желая получить наибольшую скорость пара, Лаваль сначала применял суживающиеся сопла, но не смог добиться скорости выше скорости звука. Тогда Лаваль присоединил к сужающейся части сопла расширяющийся насадок. Оказалось, что при такой конструкции скорость потока продолжает нарастать выше скорости звука.