Лекция 22. Косой скачок уплотнения

Характерной особенностью прямого скачка уплотнения является то, что, пересекая фронт ударной волны, поток газа не меняет своего направления. При этом фронт волны перпендикулярен направлению скорости газа. Косые скачки уплотнения образуются в том случае, когда фронт волны располагается под некоторым углом к направлению потока. Эта ситуация показана на рис.22.1.

Пусть поток газа подходит к плоскости скачка со скоростью w₁ под углом . Нормальная составляющая скорости , перпендикулярная фронту волны, скачком снижается до величины w_2n. Тангенциальная составляющая скорости , параллельная фронту волны, остается неизменной . Вследствие того, что полная скорость газового потока , поток поворачивается относительно первоначального направления на угол . Можно считать, что косой скачок уплотнения сводится к прямому скачку, который сносится вместе с потоком газа вбок во скоростью w_t. В отличие от прямого скачка в косом скачке наблюдается скачкообразное изменение не всей скорости, а только нормальной составляющей.

Для расчета косого скачка вводится понятие температуры частичного торможения, понимая под этим температуру, которую имел бы поток при адиабатическом торможении только нормальной составляющей и неизменной касательно составляющей

. (22.1)

В соответствии с (22.1) вводится также понятие условной критической скорости, соответствующей температуре частичного торможения:

. (22.2)

Формула Прандтля для косого скачка имеет вид

. (22.3)

Полная критическая скорость связана с условной критической скоростью соотношением

. (22.4)

Выражение (22.3) можно представить также в виде

. (22.5)

Для расчета косых скачков используются приведенные скорости газа в виде

. (22.6)

Пользуясь этими величинами, можно получить из (22.3) соотношение

. (22.7)

Изменение статического и полного давлений в косом скачке уплотнения находятся по формулам

, (22.8)

. (22.9)

Так как всегда , то при одной и той же скорости набегающего потока косой скачок слабее прямого. Интенсивность косого скачка уплотнения изменяется с изменением угла наклона его фронта к направлению набегающего потока. В предельном случае, когда косой скачок переходит в прямой, увеличение давления получается максимальным. В другом предельном случае, когда угол наклона скачка к направлению потока определяется условием

, (22.10)

косой скачок вырождается в бесконечно слабую волну.

Сверхзвуковое течение Прандтля-Майера

Рассмотрим простейший случай, когда сверхзвуковой поток движется равномерно и параллельно плоской поверхности с постоянной скоростью. Если поток не встречает никаких препятствий в виде твердых тел или стенок, то со стороны поверхности газ не испытывает никаких возмущений. Если бы в некоторой точке А на поверхности, как показано на рис.22.2, возникло бы некоторое малое препятствие, то оно вызвало бы слабое возмущение равномерного потока.

Такое возмущение распространилось бы в сверхзвуковом потоке по прямой линии, называемой характеристикой. Угол наклона линии к направлению движения определяется из условия

.

Рассмотрим процесс обтекания тупого угла, как показано на рис.22.3. Пусть в некоторой точке С стенка поворачивает, образуя с первоначальным направлением угол . Угловая точка С служит препятствием, которое является источником возникновения слабых возмущений. Эти возмущения распространяются в равномерном потоке газа по прямой линии (по характеристике СК), которая отделяет невозмущенный поток от возмущенного. Вдоль участка стенки СВ скорость газа принимает снова постоянное значение скорости. Так как площадь сечения для прохода газа увеличивается, то в сверхзвуковом потоке это приводит к увеличению скорости движения газа.

Полный поворот потока закончится на характеристике CL, при этом скорость газа w₂ > w₁ будет направлена вдоль плоскости СВ. Таким образом, поворот потока к новому направлению происходит внутри угла KCL между двумя прямолинейными характеристиками. Обозначим этот угол через . Для большей наглядности разобьем участок непрерывного расширения газа внутри угла KCL на большое число участков с незначительными, но прерывными изменениями параметров.

Первый малый скачок скорости и давления произойдет на плоскости, проходящей через прямую СK. Так как давление на этой характеристике падает, то касательная составляющая скорости остается неизменной, а нормальная составляющая увеличивается. В результате этого полная скорость потока увеличивается, и он поворачивается в сторону тупого угла. В плоскости CK происходит слабый скачок разрежения, уменьшается плотность газа и увеличивается его скорость.

Возмущения, распространяющиеся из области более низких давлений, ограничены новой характеристикой CK^/, левее которой никакие возмущения не проходят, поэтому на линии CK^/ также параметры газа, т.е. давление, скорость и температура остаются также неизменными.

Второй скачок разрежения на линии CK^/ приводит к дальнейшему увеличению скорости и повороту потока. Подобные скачки будут повторяться до тех пор, пока струйка, прилегающая к стенке CВ, не станет параллельной направлению стенки CВ. Характеристика потока, на которой закончится изменение параметров газа, будет соответствовать линии CL. Положение предельных характеристик определяется углами _АС и _СВ:

,

.

Конечные адиабатические скачки разрежения невозможны, и представленная выше картина образования скачков разрежения обусловлена лишь применением модели дискретного изменения параметров. В действительности же обтекание тупого угла представляет собой процесс непрерывного ускорения и поворота потока. Представленная выше дискретная модель позволяет показать, что в секторе от характеристики CK до характеристики CL на луче, проведенном из точки С параметры потока сохраняются неизменными. Точка С является особой точкой, так как в этой точке сходятся лучи, на каждом из которых значения скорости, давления, плотности и температуры газа постоянны. Эти постоянные значения параметров различны для различных лучей. Дискретная модель переходит в модель непрерывного изменения параметров, если взять бесконечно большое количество скачков и соответствующих им бесконечно большое количество характеристик, на которых поток поворачивается на бесконечно малый угол.

Величина угла поворота характеристики потока  зависит как от величины угла , так и от приведенной скорости ₁. Начальный угол поворота характеристики, отсчитываемый от перпендикуляра к плоскости АС, определяется выражением

. (22.11)

График этой зависимости показан на рис.9.10. Так как приведенная скорость потока не может быть выше максимальной

,

то и наклон характеристики также ограничен величиной

. (22.12)

Точный расчет параметров газа после обтекания тупого угла достаточно трудоемок, поэтому часто пользуются приближенными формулами.

Для воздуха можно использовать зависимость, связывающую скорость невозмущенного потока и угол его поворота  со скоростью газа за поворотом

, (22.13)

откуда

. (22.14)

Следует иметь в виду, что угол  должен быть представлен в радианах. Угол наклона характеристики CL к плоскости СВ определяется по (9.48) и величине ₂. Параметры потока рассчитываются по газодинамическим функциям в зависимости от параметров полного торможения и величины ₂.