Гидростатическое давление

В гидростатике рассматривают жидкость, находящуюся в покое. Основным понятием гидростатики является понятие гидростатического давления.

Рассмотрим произвольный объем покоящейся жидкости (рис.2.1). Если этот объем рассечь произвольно выбранной плоскостью и мысленно отбросить одну часть, то для сохранения равновесия оставшейся части необходимо к площадке S приложить каким-то образом распределенные силы, эквивалентные действию отброшенной части на оставшуюся часть. Пусть сила Р представляет собой равнодействующую всех сил, приложенных к различным точкам площадки S.

Гидростатическим давлением в данной точке называется предел отношения силы давления покоящейся жидкости Р к площади ее действия S при величине площадки, стремящейся к нулю, т. е.

. (3.2)

Гидростатическое давление обладает двумя основными свойствами:

1. Гидростатическое давление действует нормально к площадке и является сжимающим, т. е. оно направлено внутрь того объема жидкости, давление на который рассматриваем.

2. Гидростатическое давление в любой точке жидкости не зависит от ориентировки площадки, на которую оно действует, т. е. гидростатическое давление действует одинаково по всем направлениям.

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Выделим в жидкости элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz (Рис. 3.2). Предположим, что в центре этого элемента в точке А действует гидростатическое давление р, а на весь элемент действуют также массовые силы, причем на единицу массы действует сила .

Для равновесия элемента жидкости необходимо, чтобы результирующая всех действующих на него сил была равна нулю. Так как силы являются векторами, то это условие можно представить в виде: необходимо, чтобы суммы проекции сил на координатные оси были равны нулю.

Рассмотрим условие равновесия выделенного объема по оси Х. Так как в жидкости возможны только сжимающие усилия, то слева на элемент по направлению оси Х действует сила давления , справа на элемент напротив направления оси Х действует сила , а проекция массовой силы на ось Х равна .

Равновесие элемента по оси Х достигается при выполнении условия

(3.3)

или

,

откуда имеем

. (3.4)

Проведя подобный анализ сил, действующих по направлению осей Y и Z, получим систему уравнений

(3.5)

Эти уравнения впервые были выведены Эйлером в 1755 г. и называются уравнениями равновесия Эйлера. Они показывают, что при равновесии массовые силы уравновешиваются соответствующими поверхностными силами.

3. Уравнение поверхности равного давления

Умножим уравнения системы (2.5) соответственно на dx, dy, dz и сложим. Получим

. (3.6)

Так как гидростатическое давление является лишь функцией координат точек x,y,z, то левая часть уравнения (2.6) представляет собой полный дифференциал и может быть обозначена через dp, т.е.

. (3.7)

Поверхность, в каждой точке которой давление постоянно, называют поверхностью уровня. Для такой поверхности справедливы условия:

р = сonst, dp = 0.

Уравнение плоскости равных давлений имеет вид

. (3.8)

Свободные поверхности жидкости являются поверхностями равного давления.

Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда покоящаяся жидкость заключена в сосуде и находится под воздействием только сил тяжести. В таких условиях массовой силой является сила тяжести, проекция которой по оси Z равна ускорению свободного падения

, (3.9)

а проекции массовых сил по осям X и Y равны нулю. Знак минус в равенстве обусловлен тем, что ось Z направлена вертикально вверх, а сила тяжести вниз. Гидростатическое давление становится функцией только координаты z:

. (3.10)

Из (2.5) имеем

. (3.11)

Разделяя переменные и интегрируя, получим

, (3.12)

где С – постоянная интегрирования.

Представим уравнение (2.12) в виде

. (3.13)

Выражение (2.13) называется основным уравнением гидростатики. Оно позволяет определить давление на глубине h от поверхности.

Допустим, как показано на рис.3.3, на свободной поверхности жидкости действует давление p₀.

Для открытых водоемов p₀.является атмосферным давлением. Для этой поверхности глубина погружения z₀=0. Из (3.13) следует, что для глубины погружения h₁ справедливо соотношение

,

откуда

. (3.14)

Из (3.14) следует, что давление в любой точке покоящейся жидкости равно внешнему давлению, сложенному с весом столба жидкости высотой от поверхности до данной точки и с площадью основания, равной единице.

Соответственно на глубине h₂ будет давление

,

а разность давлений в точках h₂ и h₁ составит

. (3.15)

В том случае, если изменится давление на поверхности на р₀, то на глубине h₁ также увеличится на р₀ и составит

,

Но разность давлений в точках h₂ и h₁ останется неизменной. Это явление сформулировано в законе Паскаля:

Изменение давления в какой-либо точке покоящейся жидкости, не нарушающее её равновесия, передаётся в остальные точки без изменения.

Этот закон лежит в основе работы ряда гидравлических машин, наиболее распространенной из которых является гидравлический пресс.