Лекция 5. Капиллярные поверхностные силы

Поверхность жидкости, соприкасающаяся с другой средой, например, с ее собственным паром, плавающим в ней твердым телом или твердыми стенками сосуда, находится в особых условиях. На молекулы жидкости действуют силы притяжения со стороны других молекул. Если молекула находится в глубине жидкости, то действия на нее соседних молекул уравновешиваются, и перемещения ее внутри жидкости не требуют дополнительных энергетических затрат.

Молекулы поверхностного слоя частично окружены молекулами другой среды, которые могут отличаться от нее физическими свойствами или плотностью частиц. Имея различных соседей, молекулы поверхностного слоя взаимодействуют с ними различным образом. Поэтому силы, действующие на каждую молекулу этого слоя, оказываются неуравновешенными: существует некоторая результирующая сила, направленная либо в сторону объема жидкости, либо в сторону граничащей с ней среды. Вследствие этого перемещение молекулы жидкости из глубины в поверхностный слой или из поверхностного слоя в глубину сопровождается совершением работы. Величина и знак этой работы зависят от соотношения между силами взаимодействия молекул поверхностного слоя со своими молекулами и молекулами другой среды.

Если жидкость граничит со своим собственным паром, то сила, испытываемая молекулами поверхностного слоя, направлена внутрь жидкости, т.к. плотность молекул в жидкости и их сила притяжения больше, чем в насыщенном паре над жидкостью. Поэтому при перемещении молекулы из глубины на поверхность надо совершить дополнительную работу (отрицательная работа для перемещаемой молекулы). Перемещаясь с поверхности во внутренние слои жидкости, молекула совершает положительную работу.

Представим, что по некоторой причине поверхность жидкости увеличилась на величину dS. Для того, чтобы это произошло, над жидкостью при постоянной температуре должна быть совершена работа

. (5.1)

Знак минус указывает на то, что увеличение поверхности сопровождается отрицательной работой.

Коэффициент  характеризует свойства поверхности жидкости и называется коэффициентом поверхностного натяжения. Величина  определяет работу, необходимую для увеличения поверхности жидкости на единицу площади. В системе СИ коэффициент поверхностного натяжения имеет размерность .

Всякая система при равновесии находится в том из возможных состояний, при котором ее энергия имеет минимальное значение. Применительно к рассматриваемому процессу это означает, что жидкость при равновесии должна иметь минимально возможную поверхность. Отсюда следует, что должны существовать силы, препятствующие увеличению поверхности жидкости, причем эти силы должны быть направлены вдоль поверхности, т.е. по касательной к поверхности. Эти силы называются силами поверхностного натяжения. Нужно, однако, помнить, что первопричиной возникновения сил поверхностного натяжения являются силы, испытываемые молекулами поверхностного слоя, направленные внутрь жидкости, т.е. перпендикулярно поверхности.

В зависимости от соотношения сил взаимного притяжения между молекулами жидкости друг с другом и молекул жидкости с молекулами другой среды, в частности, твердого тела, различают смачивающие и несмачивающие жидкости. Капля несмачивающей жидкости, попав на горизонтальную поверхность, свертывается в шарик, смачивающая жидкость растекается по поверхности ровным слоем. Чаще встречаются частично смачивающие и частично несмачивающие жидкости.

Поверхностный слой налитой в широкий сосуд жидкости представляет собой горизонтальную площадь или зеркало, которая у стенок образует мениск, как показано на рис.5.1.

Смачивающая жидкость образует вогнутый мениск, несмачивающая - выпуклый.

Искривление поверхности жидкости, связанное со смачиваемостью, удерживает на поверхности жидкости тела, плотность которых больше плотности жидкости.

Этот эффект иллюстрирует рис.5.2: брусок прямоугольного сечения, плавающий в несмачивающей жидкости, выталкивается поверхностными силами вверх, в то время как смачивающая жидкость стремится погрузить его вниз. За счет этого эффекта на поверхности воды могут удерживаться мелкие частицы пыли, удельная плотность которых вдвое выше плотности воды, а по поверхности воды перемещаются мелкие насекомые, лапки которых не смачиваются водой.

Рассмотрим сферическую каплю радиусом r (рис.5.3). Поверхность и объем этой капли соответственно равны

.

Допустим, что радиус капли увеличился на величину dr. Соответственно увеличились поверхность и объем на величины

.

Увеличение поверхности капли может быть достигнуто только за счет совершения некоторой работы. В данном случае для расширения капли внутреннее давление в капле должно быть увеличено на величину р. Работа расширения, совершаемая каплей, равна

. (5.2)

Знак минус здесь стоит потому, что эта работа должна совершаться каплей и является для нее отрицательной. Из (5.1) и (5.2) получим

. (5.3)

Если частица жидкости представляет собой цилиндр радиусом r и длиной L, то боковая поверхность и объем жидкой частицы соответственно равны . Тогда . Дополнительное давление внутри капли должно быть

. (5.4)

В общем случае для поверхности любой формы, имеющие радиусы кривизны элемента поверхности r₁ и r₂, величина дополнительного давления, обусловленного кривизной поверхности, выражается уравнением Лапласа

, (5.5)

для которого (5.3) и (5.4) являются частными случаями.

В наибольшей степени влияние поверхностных сил проявляется в сосудах, размеры которых сопоставимы с радиусами кривизны поверхности. Такие сосуды называются капиллярными. Непосредственным следствием дополнительного давления, обусловленного действием поверхностных сил, является капиллярный подъем.

Если опустить узкую трубку c внутренним радиусом r в сосуд с жидкостью, которая смачивает стенки трубки, то за счет дополнительного давления, обусловленного силами поверхностного натяжения, жидкость в трубке поднимется по сравнению с уровнем в сосуде на высоту h, образуя вогнутый мениск (рис.5.4). Дополнительное давление согласно (5.4) равно

,

где r₀ – радиус мениска.

Дополнительное давление уравновешивается весом столба жидкости

,

где  - плотность жидкости; g – ускорение силы тяжести.

Отсюда высота подъема жидкости равна

. (5.6)

Из рис.5.4 видно, что радиус мениска r₀ связан с радиусом трубки r соотношением

,

где  - краевой угол или угол смачивания. Отсюда

. (5.7)

Для жидкости, полностью смачивающей стенки капилляра, и .

Если жидкость не смачивает стенки капилляра, то картина будет обратной: мениск в капилляре будет выпуклым, дополнительное давление будет направлено вниз, уровень в капилляре станет ниже уровня жидкости в сосуде.

Капиллярным подъемом объясняется ряд широко известных явлений; впитывание жидкости фильтровальной бумагой, имеющей узкие извилистые поры; перенос керосина вдоль фитиля, волокна которого являются тонкими капиллярами; подъем воды из почвы по стволам деревьев, в которых волокна древесины также представляют собой капилляры.

Лекция 6. КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ

Скорость и ускорение материальной точки в декартовых координатах

Кинематикой называется раздел механики, в котором рассматривается общее движение тел без выяснения причин его возникновения. Основными характеристиками движения материальной точки, т.е. тела, размерами которого можно пренебречь, являются пройденный путь, скорость и ускорение. Положение точки в пространстве определяется ее радиус-вектором , проведенном из начала координат.

Наиболее часто используются декартовы координаты, в которых координатными осями являются три взаимно перпендикулярные прямые. Направления осей задаются единичными векторами , как показано на рис.6.1. Радиус-вектор может быть представлен как сумма векторов

, (6.1)

где x,y,z – проекции радиус-вектора на соответствующие координатные оси.

Скорость материальной точки представляет собой предел отношения изменения положения ее в пространстве к периоду времени, за которое произошло это изменение, то есть производная радиус-вектора по времени

. (6.2)

С учетом (6.1) имеем

. (6.3)

Величины v_x, v_y, v_z являются проекциями вектор-функции V(t) на соответствующие координатные оси и называются скоростями точки вдоль осей.

Абсолютное значение скорости точки относительно центра координат

. (6.4)

Для того, чтобы упростить запись, часто обозначают проекции скорости на координатные оси буквами

.

Тогда полная скорость

.

Ускорение материальной точки есть скорость изменения ее скорости, т.е. вторая производная радиуса-вектора точки по времени

. (6.5)

Величина ускорения

. (6.6)