расчетные методы дозиметрии бета-излучения

Если радиоактивное вещество распределено по поверхности S, которая находится внутри поглощающего тканеэквивалентного материала единичной

плотности, то доза в некоторой точке будет определяться:
		D= ʃs ϭѱ	dS,
где	число β- частиц, вылетающих с единицы площади источника. Если ра-
диоактивныйизотопраспределенравномернопообъемуV,тодозавнекоторой
точке будет равна:
		D=ʃv	®dV,
где	число b- частиц, эмитируемых единицей массы, ρ плотность материала.

Рассмотрим распределение поглощенных доз от β-источников, имеющих форму, наиболее часто встречающуюся на практике (предполагая, что материал основы источника и окружающей среды тканеэквивалентный с единичной плотностью).

В случае бесконечно тонкого плоского, практически неограниченного по площади источника интегрирование с использованием (2) дает для дозы в точке, отстоящей от плоскости на расстоянии r, выражение:

D(r,0)= {0,125W0[-Ei(-10vr)] + 0,375W0[-Ei(-2vr)] + 0,5·K·e-vr }

(3)

Здесь Ei(vr) – интегральная показательная функция, значения которой про-

табулированы, например в работах Г.В.Горшкова, Е.Янке и Ф.Эмде. Если σ выражать в числе β-частиц на 1см2 , аW0 в кэВ на 1мг/см2 ( кэВмг∙см ), то D(r,0) ,будет

выраженавединицахкэВ/мг.Чтобыполучитьдозу,выраженнуювсГр,необходимо учесть, что 1 кэВ/мг=1,6∙10-8 сГр.

На рис. 2,3 представлены результаты расчетов доз по формуле (3), а также по выражениям Левинджера для тонких источников с радиоактивными изо-

топами Pm147 (Eмакс=224 keV), Tl204 (765 keV) и P32 (1,71 MeV). Как видно из графиков, существенные расхождения между результатами расчетов по двум

методам (до 50% для Pm147) наблюдается на малых расстояниях (<1мг/см2) . На расстояниях более 5мг/см2 разница между результатами сравнительно невелика. Заметим, что величины интегральной, а также средней дозы по полной (до максимального пробега) глубине облучаемой ткани для тонкого источника, естественно,независятотметодарасчетаибудутвдвухслучаяходинаковыми, хотя характер распределения доз по глубине ткани (как это видно из графиков) может существенно различаться. Подобная же разница в результатах расчетов по 2 методам будет наблюдаться и для такого широко используемого радиоактивного изотопа, как I131. Для излучателей с максимальной энергией β- частиц около 2Mev (P32) два дозных распределения различаются сравнительно слабо. Хотя применение формул Левинджера рекомендовано только для энергий, меньших 3Mev, их часто используют для расчета доз и от таких β-излучателей,

как K42, Ru106+Rh106 (Eмакс ≈ 3,5 Mev).

В этом случае существенные расхождения между результатами расчетов доз по 2 методам наблюдаются при средних толщинах облучаемой ткани (400600 мг/см2).

Представим себе безграничную тканеэквивалентную среду и пусть в полу-

120

Сигнальный экземпляр

пространстве (по одну сторону от некоторой плоскости) равномерно распределена активность : это будет полубесконечный источник с плоской границей. Доза в точке среды (свободной от активности), отстоящей от плоской поверхности источника на расстоянии r, может быть вычислена после интегрирования функции D(r,0) выражение (3) по полупространству.

После интегрирования получим:

D(r,∞)=		[0,25Ф(10vr) + 0,375Ф(2vr) +		·e-vr],	(4)

Здесь Ф(vr)−так называемая функция Кинга, протабулированная, например, Е. Янке и Ф. Эмде. Если в последней формуле W0 выражать в мг , v−в мг , а τ−в мг,, то доза D(r,∞) ,будет выражена в keV/мг.

Доза на поверхности источника выразится:

D(0,∞)= (0,2÷0,5 )(keV/мг).

Дозу внутри источника на расстоянии r от его поверхности можно определить следующим образом:

D(−r,∞)=D∞−D(r,∞),

Где D∞−доза внутри бесконечного источника, равная 2D(0,∞) (cм. формулу.

(5).

Рассмотрим источник β−частиц в виде блока толщиной h, ограниченный 2 бесконечными плоскостями и погруженный в однородный тканеэквивалентный материал. Доза от такого источника в точке, находящейся вне источника на расстоянии r от его ближней поверхности, равна:

D(r,h)=D(r,∞)−D(r+h,∞).

Некоторые результаты расчётов доз в ткани от плоских источников различной толщины с радиоактивными изотопами Pm147, Tl204, P32 приведены на рис. 4,5,6. Из приведённых графиков для толстых источников (h=∞) видно, что кривые распределения доз вне источника, рассчитанных по трёхчленной формуле (2), проходят несколько ниже аналогичных кривых, рассчитанных по Левинджеру. Средние по полной («неактивной») глубине различаются в 1,17;1,12 и 1,04 соответственно для Pm147, Tl204 и P32.

Доза в центре сферического источника радиуса R получается интегрированием функции (2) и может быть представлена следующим образом:

					мг	(9)
D(0,R)= {0,4 +			–[0,25e-10vR+0,35e-2vR + (vR+1)]}(кэВ).
При R→∞ доза в центре сферы стремится к значению дозы внутри беско-
нечного источника: D(0,R)│
Доза на произвольном	расстоянии r от центра сферы радиуса R равна:

121

( )=

{0,0625[Ei (−10(x – p)) – Ei (−10(x + p))] + 0,1875[Ei (−2(x –

p))−Ei

−2(x + p))]} + 6,25·10

{e

-10(x-p)

·

(

)

– e

·

( )

}+

{e

-

-4

-10 (x+p)

· (

)

– e

· ( )

} + {e

(x−p)

+ e

−(x+p)

}(кэВмг ),

(10)

2(x-p)

−2(x+p)

−

Где x=vr и p=vR.

Непосредственный расчёт показывает, что при vr>2 формулу (10) можно упростить,опустиввсечленысаргументамиимножителями10(x+p)и10(x−p). Доза на поверхности сферы (при r=R) равна:

D(R,R)= {0,2+ · − · − (1−e−10x)− ·(1−e−2x)}.

При 0,1<vR<15 дозу на поверхности сферы можно считать равной приблизительно 0,45∙D(0,R). Вне этого интервала доза внутри сферы с vR<2 равна приблизительно 0,75∙D(0,R). В случае больших R она приближается к D∞.

Рис. 6.1. Распределение поглощенной энергии от точечного источника β-излучения

в тканеэквивалентной среде.

Штриховые линии – расчет по Левинджеру, сплошные – по формуле (2). По оси абцисс – глубина ткани

(в мг/см2).

Рис. 6.2. Распределение поглощенной энергии от тонких плоских источников. Начальные участки.

Штриховые линии – расчет по Левинджеру, сплошные – по формуле (3).

122

Рис. 6.3. Распределение поглощенной энергии от тонких плоских источников.

Рис. 6.5. Распределение поглощенной энергии от плоских источников с Tl204.

Сигнальный экземпляр

Рис. 6.4. Распределение поглощенной энергии от плоских источников с Pm147.

Штриховые линии – расчет по Левинджеру, сплошные – по формуле (4–8).

Рис. 6.6. Распределение поглощенной энергии от плоских источников с P32.

123

6.4.О применимости возрастного приближения

и“одногрупповой” теории переноса в бета-дозиметрии […….]

Основное содержание “Письма редактору” О’ Брайена /I/, написанного в связи с нашей статьёй /2/, сводится к следующему:

I)Публикуя результаты своих исследований по дозиметрии, авторы /2/ утверждают, что пока ещё отсутствуют методы расчёты β-доз в интересующем их случае тонкого источника излучения, лежащего на границе двух сред.

Вдействительности имеются по крайней мере две публикации в которых диффузионная теория в возрастном приближении /3/ и “одногрупповая” теория переноса /4/ были успешно применены для расчёта β-доз в гетерогенных средах.

II)Хотя геометрические условия задач, решенных в работах /3,4/ и отличаются от рассмотренных авторами /2/, методы, предложенные в /3/ и /4/, являются довольно общими, и, в принципе, вполне возможно применение их для случая плоского тонкого источника и полупространства.

Из сказанного по-видимому напрашивается вывод о том, что не было особой необходимости в проведении исследований по дозиметрии электронов, описанных в /2/.

Прежде, чем рассматривать затронутые вопросы по существу, необходимо внести три уточнения. Во-первых, мы в работе /2/ интересовались только случаем тонкого источника на границе тканеэквивалентной полубесконечной среды. Во-вторых, наше утверждение об отсутствии в литературе методов расчёта β-доз для интересующего нас случая относилось только к корректным методам расчёта (см. /2/, стр. 489). В-третьих, работа /3/ не опубликована. Она недоступна читателям, и на неё нельзя ссылаться как на публикацию.

Необходимые условия применимости диффузионной теории возраста для электронов рассмотрены в работах /5/ и /6/ и могут быть сформулированы так: 1) электроны уже прошли достаточно большой путь S в среде после эмиссии:

S>> λ, где λ- средний транспортный свободный пробег, 2) электроны ещё не приблизилось к концу пробега, и удаление их от плоскости эмиссии (в случае плоского источника) меньше соответствующей средней величины; в обозна-

чениях теории возраста это записывается как x< , , где τ- возраст, 3) длина
транспортного пробега не слишком сильно меняется с ростом S: <<1.
Известно, что величина отношения	,	где R – полный пробег, быстро ра-

стёт с уменьшением атомного номера Z рассеивающего материала. Для Pb и Au эта величина составляет несколько процентов, дляAI – уже около 0,5 – 0,7, а для Z ~ 7-8 приближается к 0,9-1,2. Таким образом, в случае легкоатомных (в частности ̶ тканеэквивалентных) материалов из-за условий 1) и 2) вообще отсутствует пространственная область, в которой было бы строго применимо возрастное приближение. Условие 3) является дополнительным ограничением в этом смысле, ибо , как показано в /6/, оно на практике сводится к требованию Z > 30. Из сказанного очевидно, что основываясь на результатах опубликованных работ , мы не могли использовать теорию возраста для корректного

124

Сигнальный экземпляр

решенияпоставленнойзадачи-расчётадозоттонокогоисточникаэлектроновв полубесконечнойтканеэквивалентнойсреде.Заметим,чтоприведённаяоценка применимости возрастного приближения близка к данной Л.В. Спенсером /7/ в его замечании о том, что “вряд ли имеется какая-либо стадия проникновения (электронов), в отношении которой можно предполагать наличие разумного описания с помощью диффузионной теории возраста”.

Рассмотрим теперь возможность применения “одногрупповой” теории переноса /4/ для корректной оценки распределения поглощённой энергии от электронов или β-частиц в широком диапазоне расстояний r от источника. Обсуждаемая теория основана на следующих допущениях: 1) cечения поглощения (αа) и расстояния (αS) в уравнении переноса принимаются постоянными: 2) величины этих сечений берутся равными αа=- ; S= и вычисляются при од-

номопределённомзначенииэнергииE0;3)	переходотраспределенияэлектрон-
ного потока Ф® (получаемого при решении уравнения переноса) к мощности
поглощённой дозы P® производится по соотношению P=Ф				где		берётся
при том же значении энергии E0.
В случае источника моноэнергетических электронов значение энергии E0,
обладающее требуемыми свойствами, очевидно, вообще не существует. Мож-

но показать, что такое значение не всегда существует и в случае источника с β ̶ спектром. Пусть мы имеем небольшой (“точечный”) источник β ̶ излучения в однородной тканеэквивалентной среде.

	Рассмотрим две возможности выбора E0. Можно положить (/4/)																							E0= ,, где
	̶ средняя энергия β ̶ спектра. В таблице представлены для 7 изотопов гра-
ничные (Ем) и средние (											) энергии спектров и величины (												).
	В близи источника β ̶ излучения в легкоатомном																			материале спектральное
распределение потока электронов близко к спектру эмиссии источника. Поэто-
му при малых r должно выполняться соотношение P® / Ф® ~(																							),
В	Где (																			тормозной способности.
				)				̶ среднее по спектру эмиссии значение
	таблице							даны вычисленные					значения				( ) лишь						для	“жёстких”
															выбор E=				не обеспечивает пра-
излучателей. Для “мягких” β ̶ излучателей																	o
вильного соотношения между Р и Ф вблизи источника.
																									Таблица
				Изотоп							C14		S35	Ca45		TI204				P32			Y90		K42
Ем, кэВ											156		167	252		765				1710			2240		3520
											47		49	76		233				700			930		1500
											7		6,8	4,9		2,6				1,9			1,85		1,82
			,					мг
											13,8		14,7	12,7		6,0				2,4			2,3		2,0
		( ),						мг

125

Можно поступить иначе и выбрать в качестве Е				0	значения энергии Ех,
определяемые на соотношения		= (Ex). Если по этим значениям Е0, восполь-
зовавшись формулой ν =	а	а	(полученной в /4/) вычислить величины

эффективного коэффициента поглощения ν , то они окажутся в несколько раз большими,чемэкспериментальныезначенияνдлясоответствующихизотопов, илизначенииνдлясоответствующихизотопов,илизначенияν,определённые по формуле Левинджера /8/. Таким образом, выбор Е0=Ех не обеспечивает правильного хода функции Ф®.

Из сказанного можно сделать вывод о том, что для ряда β ̶ излучателей, по крайнеймеревслучаетканеэквивалентнойсреды,нельзяправильноподобрать одно “представительное” значение энергии Е0. По-видимому, у большинства изотопов с низкой энергией электронный спектр сильно меняет свою форму в процессе поглощения, виду чего корректный расчёт доз с помощью обсуждаемой “одногрупповой” теории в этих случаях становится невозможным.

REFERENCES

1.K. O’Brien, Health Physics 19p. 451 (1970)

2.D.P. Osanov et al. Health Physics 17 469-495, (1969)

3.W.C. Roesch, Kanfert Report No. HW-32121, May 24, (1954)

4.K. O’Brien et all. Nucl Bei. Eng. 18, 1, 90-96, (1964)

5.H. Bethe, M. Rose, L. Smith Proc.Am. Phil. Soc. 7B,4, 573-586 (1938)

6.H. Meister, Z. NaturPorsch 13a, 10, 809-820, (1958)

7.L.V. Spencer, Phys. Rev. 98, 6, 1597, (1955)

8.J. Hine, G.L. Brownell, Radiation Dosimetry, Academic Press New York,

(1956).

6.5. Относительно “граничного условия” для функций точечного источника бета-излучения. [32]

Функции точечного источника (ФТИ) бета-излучения описывают распределение поглощённой энергии вокруг бета-источника небольших размеров, находящегося в безграничной тканеэквивалентной среде. ФТИ широко используются при расчёте бета-доз от инкорпорированных в теле радиоактивных изотопов или от аппликаторов, применяемых с терапевтической целью. Вид ФТИ обычно определяют эмпирическим путём, подбирая подходящую аппроксимирующую функцию Ψ(r) (r- расстояние от точечного источника) для результатов ионизационных или каких-либо других измерений, проведённых с соответствующими бета-излучателями. При этом на функцию Ψ накладывают-

ся следующие два очевидные условия: Ψ(r)≈0 при r≥Rm , где Rm максимальный
пробег бета-излучения и	ср , где ср - средняя энергия спектра,

126

Сигнальный экземпляр

аW=4πr2Ψ(r)-энергия,поглощённаявсферическомслоеединичнойтолщиныс радиусом r. Предложенные разными авторами /1-4/ приближённые выражения для ФТИ, а также общепринятая в настоящее время формула Левинджера для Ψ /5/ удовлетворяют указанным двум условиям. Цель настоящего сообщени- я-обратить внимание на то, что правильно определённые ФТИ и их аппроксимации должны удовлетворять также третьему условию: в области малых r должно иметь место приближённое равенство:

W(r)≈ ср

(1)

Где и (иср -среднеепоспектруэмиссиизначениетормознойпособноститка- ни (или воды).

Условие(1)былобыдовольноочевидным,еслибыфункцияW(r)описывала распределениенепоглощённой,апотерянной(диссипированной)электронами энергии. Однако, эти два распределения могут различаться, и соотношение (1) нуждается в обосновании.

Рассмотрим точечный изотропный источник многоэнергетических электронов с энергией Е (в диапазоне от нескольких кэВ до нескольких МэВ), находящийсявбезграничнойтканеэквивалентнойсреде,ипустьфункцияW(r,E)описывает распределение поглощённой энергии вокруг такого источника. Окружимисточниксферическимслоемединичнойтолщиныисрадиусомr.Аналогичное (1) соотношение для функцииW(r,E) запишется как: ср. Оно выполняется при данном значении r в случае, если: 1) электроны, эмитируемые источником, пересекают слой в направлении, близком к радиальному, и их треки практически нормальны к слою и 2) величина энергии, теряемой каждым электроном при пересечении сферического слоя, достаточно близка к энергии, которая при этом поглощается в слое.

Полный электронный поток на поверхности слоя состоит из “прямого” потокаэлектронов,идущихизнутри,отисточника,и“обратного”потокаэлектронов, отражённых от материала, лежащего снаружи слоя. Направление обратного потока заведомо отличается от радиального, поэтому требование (1) может быть сведено к двум следующим: 1a) на данной сферической поверхности обратным потоком можно пренебречь по сравнению с прямым и 1б) для прямого потока среднее значение (cosθ)-1ср , где θ- угол падения на поверхности сферы, достаточно близко к единице.

В свою очередь, требование 2) на практике означает, что : 2a) поглощение энергии, теряемой электроном, происходит в основном внутри достаточно тонкого цилиндрического “шнура”, окружающего электронный трек и 2б) на участках треков от источника до слоя уже успели установиться практически равновесные условия передачи энергии.

Ввиду трудоёмкости точного расчёта отношения обратного и прямого потоков (например, с помощью метода Монте-Карло) можно ограничиться простой оценкой этой величины в т.н. “диффузионном” приближении /6,7/, даю-

127

щем неплохие количественные результаты при описании обратного рассеяния электронов. В этом приближении треки электронов считаются прямолинейными, начиная от точки эмиссии и вплоть до некоторой глубины xd называемой “глубиной полной диффузии “. Считается, что пройдя точку xd электрон “забывает” направление предыдущего движения и начинает “диффундировать” с изотропным распределением начальных скоростей. Определив глубину xd как ¼ /8/, где λ - средний транспортный пробег, определяемый выражением (10) из работы /9/, и произведя простые геометрические построения, аналогичные описанным в работе /7/, можно оценить отношение обратного и прямого потоков при разных значениях r/R где R- средний пробег электронов с энергией E. Полученный результат при r/R ≤ 0, 15- 0,20 величина отношения обратного и прямого потоков меняется примерно пропорционально (r/R)2 и при r/R=0,15 для материала с z=7 составляет не более 4%.

Написанное выше соотношение для W(r,E) относится к поглощённой энергии,анеквеличинепотока.Учитываяэнергетическийспектробратнорассеянных электронов в поглощённую дозу. При 4% вкладе в полный поток, дозовый вклад “обратных” электронов может доходить до 10-12%. Таким образом, требование 1а) в случае тканеэквивалентных материалов выполняется с достаточной точностью лишь при r 0,15 R.

Остановимся на требовании 1б), приняв z≈ 6-7 и r≤ 0,15R. Угловое распределение рассеянного прямого потока, попадающего на сферический слой , в этих условиях получается гауссовым, с половинным углом θ1/2≤200 (cм., напр., /11/). Оценка величины (cosθ)-1ср приводит в интересующем нас диапазоне Е к значению, заключённому между 1,04 и 1, т.е. достаточно близкому к 1.

Рассмотримтеперьтребование2)дляоценкипоглощенияэнергиинаразных расстояниях от оси трека можно воспользоваться величинами линейной передачи энергии L(E,δ).Они представляют собой средние ионизационные потери, соответствующие тем столкновениям, в которых вторичным электронам пере-

даётсяэнергия,меншаянекоторогофиксированногозначенияα.Используявы-
ражениядляфункцииL,приведённые,напр.,в/12,13/ирассчитав,-приразных
α, -семейство кривых L(E,δ) можно было оценить затем функции δ1(Е); δ2(Е);
т.3д.	)		)		)
δ (Е) и т.д., определяемые соотношениями:		=0,9;		=0,8;		=0,7 и
Найденным значениям энергии δ1; δ2; δ3 ……. были сопоставлены пробе-

ги R(δ1), R(δ2), R(δ3)……………,выраженные в долях пробега R(E) первичного электрона с энергией Е. Полученный результат: при уменьшении Е от 1 МэВ до 2 кэВ отношение R(δ2)/ R(E) - растёт от 0, 0006 до 0,03, а отношение R(δ3)/ R(E)- растёт от 0,00002 до 0,017. В соответствии с определением , расстояния R(δ1), R(δ2), R(δ3) и т.д. представляют собой заведомо завышенные оценки для значений радиуса тех цилиндров, окружающих первичный трек, внутри которых –на единицудлины поглощается соответственно 90, 80, 70 и т.д. процентов энергии, теряемой первичным электроном. Из полученных данных видно, что, хотя полное поглощение энергии, теряемой электроном, и происходит,

128

Сигнальный экземпляр

вообще говоря, на значительных расстояниях от первичного трека (вплоть до R(E/2) ), основная часть этой энергии, как правило, поглощается внутри сравнительно тонкого “шнура” с диаметром от долей процента до нескольких процентов его длины.

Оценённые значения R(δ1), R(δ2), R(δ3)… могут быть использованы также для характеристики длин переходных участков треков, т.е. тех расстояний, отсчитываемых от точки эмиссии, на протяжении которых, - с различной степенью точности для разных R(δi), -устанавливаются практически равновесные условия передачи энергии. При таком равновесии средняя энергия, потерянная электроном на единичном участке трека, с требуемой точностью равно энергии,поглощённойвсоответствующемотрезке“шнура”окружающегоэтотучасток.

В качестве расстояний, после которых с точностью не хуже 90,80,70 и т. д. процентов устанавливается равновесие, следует по-видимому брать не сами пробеги R(δI ) скорее их половины. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, электроны с энергией δ1, δ2,δ3…эммиттируются почти перпендикулярно первичному треку (углы больше 60-70о ). Во-вторых, экспереминтальные /14/ и расчетные /15/ данные говорят о том, что для точечного мононаправленного источника ( «иточникпушка» изодозные поверхности при низких уровнях доз напоминают по форме совокупность сфер, вложенных одна в другуюиимеющихобщуюточкукасания(полюс),причемисточникнаходится вблизи этого полюса, а направление эмиссии совпадает с общим диаметром

сфер. Исходя из этого, переходные участки треков были оценены как R(δI) /2 .
Таким образом, диапозон расстояний ,в котором с заданной точностью вы-
полняются условие W(r,E)		можно оценить как:
		I	0,15 R
На рис. 1 изображены в зависимости от E величин					;			;		и
0,15R .По оси абсцисс отложено расстояние r в г/см2 ,по оси ординат							– энергия

E.

Функция W ( r ) для бетаспектра можно представить в виде суперпозиции функцииW(r,Ej ) для отдельных моноэнергетических линий E J ,на которых может быть разбит спектр .Поэтому решение вопроса с справедливости ( І ) зависит от того, имею ли общие точки и перекрываются ли диапозоны расстояний расстояний r , определяемые для каждой E J соотношением ( 2 ).Для перекрытия достаточно ,чтобы перекрывались диапозоны r для граничных монолиний в спектр ,т.е для E макс –максимальной энергии спектра, и некоторого E мин .В качестве E мин целесообразно взять не 0, а такое значение энергии, чтобы изъятие части бетаспектра с E< E мин заметно не отразилось на величине -2 к. Для

«мягких»излучателей35S,І4C ,І47Pm)можнобратьEмин≈1-2кэВ;для«жестких»

(32 P ,90Y, І44Pr )- 3-5 кэВ.

Из рис. І видно, что если в условии ( 2 ) взять i=1 ,т.е . если потребовать не

129