расчетные методы дозиметрии бета-излучения

водит к тем же результатам, – с помощью интегрирования ФТИ, имеющей в

случае гомогенной среды вид:						e–ᴂr («потоковая” ФТИ)		(7.7)
				Φ0=
Флюенс для группы			диффундирующих				электронов вычислялся на основе
решения уравнения диффузии:
D ∆Ψ – τ–1 Ψ = –ᴂ Φ			0	(7.8.)
0	д	д
где	Ψ – плотность (см–3) для 2–й группы электронов (диффундирующих),
D0 (	д	– коэффициент диффузии, τ – среднее время жизни электронов 2–й
	)
группысек. Правая часть уравнения (7.8) (распределённая плотность источников
диффузии) определялась из решения задачи для 1–й группы.

Помножив (7.8) на – среднюю скорость диффундирующих электронов
–и введя обозначения D=D0/ – коэффициент диффузии для потока ([D]=см.),
ν2= /D, где	– макроскопическое сечение для процесса термализации
диффундирующих электронов ( = λ , где λ				– средняя длина свободного
пробега по отношению к термализации, причём λ				= τ) и f= λ	, придём к дру-
гой форме (4.8):
	∆ Φд – ν2 Φд= –		= – νf		(7.9)

Здесь Φд – флюенс для 2–й группы электронов.

В уравнении (4.9), кроме параметров ᴂ и ν, появился лишь один новый параметр f, пропорциональный т.н. “ фактору обхода”. Фактор обхода (Ф.О.) или коэффициент удлинения пути есть отношение средней длины истинного пути частицы (вдоль криволинейной траектории) к среднему смещению её

(по прямой) за время движения. Среднее смещение частицы от точечного источника за время диффузии =2/ν, поэтому f= 2 Ф.О.

Рассматриваемыйдвухгрупповойметоддолженбылописыватьполефлюенса или дозное поле в гомогенных и гетерогенных средах от источников с квазиравновесными, например, квадратичными спектрами эмиссии. При этом, эмпирически подбираемые параметры ᴂ, ν и f рассматривались как функции атомного номера z среды, а также E0 – граничной энергии (или S0 – граничного пробега) спектра. Вначале на основе уравнений (7.7) и (7.9) решалась задача расчёта доз от точечного или плоского изотропного источников в однородной среде. Сравнивая полученное решение, зависящее от 4–х параметров (включая /dx)д) с “истинными” распределениями, полученными интегрированием соответствующих функций Спенсера или единых дозовых функций, можно было попытаться оценить допустимые диапазоны изменения величин ᴂ, ν, f и )д для каждого z и Е0. На следующем этапе работы происходило сравнение вычисленных по двухгрупповому методу дозных распределений для гетерогенных сред (с ранее оценёнными ᴂ, ν, f и )д ) с соответствующими экспериментальными дозными кривыми. Дозы в гетерогенной комбинации сред измерялись описанной выше плоской ионизационной камерой. Все эти измерения соответствовали одномерной геометрии: плоский источник и плоскопараллельные слои разных материа-

150

Сигнальный экземпляр

лов.Расчётдозподвухгрупповомуметоду(дляодномернойгеометрии)производился следующим образом. Вначале на основе (7.7) вычислялось распределение флюенса направленного компонента во всех средах. Вычисление сводилось к интегрированию (7.7) по площади источника. В результате получалась интегральная показательная функции с аргументом, зависящим от расстояния данной точки (точки наблюдения) до плоского источника, причём в случае, если граница разных сред находилась между данной точкой и источником сечение ᴂ заменялось на значение – средневзвешенное из величин ᴂ для двух сред. (см. раздел 7.4.2., ниже). Произведение флюенса Ф0 на W0 (для разных сред) давало поглощенные дозы за счёт первого компонента, а произведение Ф0 на величины ᴂ соответствующих сред – плотность источников “диффузионных”электронов (в правой части уравнения (7.9.)). Далее, известными методами решалось диффузионное уравнение для плоскопараллельных слоёв разных материалов с известным, ранее вычисленным, одномерным распределением источников диффузии. При решении использовались граничные условия обычного типа (конечность решений при x → ∞, равенство флюенса и тока частиц по обе стороны от плоских границ разных сред). Дозы от диффузионного компонента оценивались как Φд · )д , где )д – средняя тормозная способность данного материала для 2–й (диффузионной) группы электронного флюенса.

Поскольку величина W0=( )0 (для направленных электронов или, что то же самое, для спектра эмиссии) была известна, отношение )д/ ( )0 = ( ) использовалось как четвёртая, варьируемая при подгонке переменная (диапазон

– примерно 1,05÷1,3). Попытки подогнать полученные таким путём расчётные “двухгрупповые” дозные распределения для гомогенных и гетерогенных сред к соответствующим известным распределениям продолжались с перерывами в течение примерно полутора лет. За это время в основном были испробованы и исследованыследующиевозможности:а)вариациявширокихпределахвходящих в расчётные формулы параметров; б) непосредственные (т.е. не связанные с подгонкой дозных кривых) оценки допустимых диапазонов изменения некоторых параметров, например ᴂ, f и )д , они производились на основе известных из литературы формул для многократного рассеяния; в) использование иных, в частности, более сложных форм описания направленного компонента, например, замена экспоненты в (8.7) формулой вида e –ᴂr (1+ᴂr) с соответствующим изменением выражения для плотности источников диффузии (вычисляемой дифференцированием этой формулы).

В итоге проведённых исследований от описанного выше варианта двухгрупповой модели пришлось отказаться. Причин для этого было две.

Во–первых, полученные на основе данной модели математические выражения вряд ли могли рассматриваться как достаточны простые для того, чтобы ими пользовались для повседневных оценок доз от бета – излучения. В качестве примера приведём выражение для флюенса диффузионного компонента электронного поля от точечного источника в однородной среде, т.е. для простейшей геометрии:

151

Φд 4πr2=

+

Сνr

(7.10)

(при

>1; аналогичные формулы получаются для

.

Здесь константа С может быть определена из условия нормировки полного

флюенса:

4π

dr

=

, а – cредний остаточный пробег

для квадратичного спектра

эмиссиид

вида

(1 – S/ )2;

=

/4. При переходе к

иной, более сложной геометрии расположения источников

и поглотителей и, в

особенности, при переходе к случаю гетерогенных сред усложняются формулы и одновременно сильно затрудняется возможность исследования влияния вариации параметров на характер описываемых этими формулами дозных распределений.

Вторая причина отказа от описываемого варианта модели состояла в том, что при всех исследованных и с физической точки зрения разумных значениях параметров не удалось достичь удовлетворительной подгонки расчётных дозных распределений к экспериментальным, даже в случае гомогенной среды. Это обстоятельство следует осветить более подробно.

Как распределение флюенса, так и распределение дозы от точечного источника в однородной среде состоят из двух компонентов – направленного и диффузионного, причём относительный вклад каждого из компонентов зависит от z cреды. В материалах с большим z (Cu, Cd) диффузия электронов начинается вскоре после их эмиссии, и основной вклад в распределения флюенса и дозы

вносят соответственно
Φд и Φд	)д , описываемые формулой (7.10). Наибольшую роль в этой фор-
муле играет последнее слагаемое Сνr		(общее решение однородного уравне-

ния диффузии), описывающее кривую с максимумом при rm=ν–1 , причём для всех r< rm эта кривая выпукла. Слагаемое в фигурных скобках (8.10) – частное решение неоднородного уравнения диффузии – отрицательное, а его роль сводится к уменьшению величины Сνr , причём результирующая кривая Φд·4πr2 cтановится при r<rm уже вогнутой. В то же время действительные распределения (для квадратичных спектров) в этой области описываются выпуклыми кривыми, а добавление к Φд·4πr2 компонента Φ0·4πr2 характера расчётных кривых не меняет. Трудности с подгонкой распределений типа (7.10) к “истинным” распределениям (появляющиеся в случае материалов с высоким z) свидетельствуют, по –видимому, о том, что рассматриваемая модель в чём

– то существенно неадекватна действительной картине распространения электронов в среде.

Основное упрощение, содержащееся в модели, а именно отказ от рассмотрения, игнорирование переходного этапа между направленным движением и полной диффузией каждого электрона, следует, по – видимому, признать сравнительно небольшим отступлением от реальности и вполне допустимым для полуэмпирической модели. Вопрос, однако, состоит в ином: возможно ли с помощью простого уравнения диффузии с постоянными (т.е. не меняющимися

152

Сигнальный экземпляр

от точки к точке) параметрами D, τ, удовлетворительно описать диффузию сильно разнородных по начальной энергии электронов, возникающих (из направленного компонента) в разных точках рассматриваемого объекта?

Пусть у нас имеется точечный источник, эмитирующий электроны со спектром вида = (1 – )2, находящийся в однородном поглотителе. Рассмотрим, в рамках приближения “мгновенного перехода в диффузию” с треков, распределение двух компонентов электронного флюенса по сферическим слоям материала, окружающим источник. Заметим, что при рассмотрении того, что происходит в полном (т.е. сферическом) слое радиуса r, не должно играть рольугловоераспределениеэмиссииисточника,иономожетбытькакизотропным, так и мононаправленным.

Число электронов в спектре, имеющих пробег, заключенный между S и S+dS, есть, очевидно, dN= (1 – )2 dS. В соответствие с принятым приближением, указанные электроны движутся от источника, удаляясь от него на некоторое расстояние r, и в сферическом слое с толщиной dr переходят в состояние диффузии. Известно, что отношение толщины перехода электрона в “диффузию”кначальномуостаточномупробегуS(дляданнойсреды)кстьслабая функция S (растёт с ростом S); для простоты можно считать его постоянным, обозначив γ (<1). При этом число электронов, переходящих в диффузию внутри сферического слоя с радиусами r= γS и r+dr= γ(S+dS) выразится как dN= (1 – r/ γ )2 dr.Отсюда распределение по слоям флюенса направленных электронов запишется в виде 1 – dr= (1 – )3, а распределение по слоям плотности источников диффузии – в виде

= (1 – )2

Электроны, переходящие в диффузию внутри слоя r÷r+dr имеют истинный

(вдоль трека) остаточный пробег, равный S –r= S(1 – γ). Эту величину можно

записатькак Ф.О. = Ф.О.=f/ν.Такимобразом, ν= ) = ) .Ввидутого, что фактор обхода (Ф.О.), а также и f для данной среды слегка растёт с умень-

шением S, а величина γ – слегка падает, мы можем считать, что коэффициент поглощения ν (r) для электронов, перешедших в состояние диффузии в слое с радиусом r, пропорционален r–1 : ν (r) ≈ r–1 .

Из сказанного видно, что в однородной среде вокруг точечного изотропного источника с данным спектром эмиссии распределение флюенса направ-

ленного компонента должно описываться приблизительно выражением вида

Φ04πr2 ≈ (1–r/		)3,	а распределение плотности источников диффузии – вы-
ражением q4πr2				)2. В рассматриваемой модели вместо степен-
	≈		(1–r/
ных функций в обоих случаяъ				фигурируют е–ᴂr и ᴂ е–ᴂr . Такая замена вряд

ли может обусловить непременимость модели . Существеннее другое обстоятельство: диффузия электронов из каждого сферического слоя происходит в действительности со своим, зависящим от радиуса слоя r, коэффициентом

153

поглощения ν, причём ν≈r–1. Величина, обратная ν, называется диффузионной длиной или длиной диффузионногосмещенияl.Такимобразом, l≈r.Уравнение вида (7.8) или (7.9) с постоянными коэффициентами такую диффузию, конечно, не описывает. Поскольку вводить уравнение с переменными коэффициентами нецелесообразно, ибо это усложнило бы и без того недостаточно простой аппарат рассматриваемого расчётного метода, выход из создавшейся трудности следовало искать в другом.

7.3.2. Применение для описания полей флюенса и дозных полей фиктивного источника диффундирующих электронов

Сопоставим основные особенности “реальных” (в рамках приближения мгновенного перехода в диффузию с треков) процессов распространения электронов – с рассмотренным выше их упрощённым описанием. Источник – единичный, точечный, изотропный, со спектром эмиссии вида (1 – )2 . Среда

– однородная.

	“в действительности”								в упрощённом описании
1.	Флюенс направленного							компонента
	(4πr2 Φ	0	(r)) есть: ≈(1–			)3			≈e –ᴂr
2.	Плотность			источников				диффузии
	(4πr2q(r)) есть:								≈e –ᴂr
	≈(1– )2
3.	Суммарное			количество				источников
	диффузии,т.е.нормировка								1
				1
4.	Коэффициент поглощения ν электронов,								ν= const
	начинающих диффузии на расстоянии r
	от источника:								l=cost
	ν≈r–1 или l≈r								т.е. от r не зависят

Посколькукаждыйэлектронпослестадиинаправленногодвиженияпереходит в состояние диффузии, полное количество источников диффузии (нормировка плотности диффузионных источников) должно быть равно “интенсивности” точечного источника, т.е. единице, что выполняется для упрощённой модели (пункт 3).

Изпроведённоговышесопоставленияможносделатьзаключениеотом,что трудности с подгонкой расчётных формул к истинным распределениям могут

154

Сигнальный экземпляр

быть обусловлены, по – видимому, лишь одним – попыткой описать уравнением с постоянными коэффициентами диффузию разнородных групп электронов с коэффициентом поглощения ν, сильно зависящим от места их возникновения (т.е. перехода в диффузию). Таким образом, удовлетворительное описание в модели 3–х реальных особенностей из требуемых 4–х при существенном несоответствии в описании четвёртой особенности делает модель неудачной.

Для иллюстрации сказанного выше, на рис. 7.7 схематически изображены распределения по сферическим слоям радиуса r флюенса направленного компонента, а также плотности источников диффундирующих электронов. Семействоиз20горизонтальныхпараллельныхпрямыхразнойдлиныизображаетпостепенное уменьшение с расстоянием r “направленного “ флюенса электронов отисточника(соспектром≈(1–S/S0)2,расположенногоприr=0.Конецкаждой горизонтальной прямой – переход электрона в диффузию на соответствующем расстоянии r, причём расположение источников диффузии вдоль оси r изображается на этой оси точками, в которых берут начало вертикальные штриховые отрезки. Эти отрезки обозначают треки диффундирующих электронов. Длины штриховых отрезков пропорциональны r и, таким образом, пропорциональны как диффузионной длине l, так и длине остаточного пробега электронов, переходящих в диффузию при данном r.

Исходя, главным образом, из задачи получения более простых расчётных формул для флюенса и доз мы несколько изменили рассматриваемую двухгрупповую модель. Изменения состояли в том, что, жертвуя реалистичностью описания, мы сделали эту модель более эмпирической.

Во – первых, мы отказались от описания с помощью уравнения диффузии (с постоянными коэффициентами) тех электронов, которые переходят в диффузию вдали от источника. “Перераспределяя” направленный и диффузионный компоненты, мы включили диффузионный флюенс тех электронов, которые начали диффундировать дальше некоторого граничного расстояния от источника

– в направленный компонент. На рис. 7.7. это граничное расстояние обозначено штрих – пунктиром. Такое включение вклада части диффундирующих электронов в направленный флюенс возможно в силу того, что эти электроны образуют поле флюенса со сравнительно небольшими значениями градиента. Оно может бытьформальноописаноспомощьюнекоторогоуменьшениявеличиныᴂ.Ясно, что при этом ᴂ уже потеряет смысл макроскопического сечения для процесса перехода в диффузию, а станет эмпирическим коэффициентом поглощения для первого компонента флюенса. Этот компонент остаётся “направленным” теперь скорее формально. Во – вторых, все источники диффузии, расположенные на расстояниях, меньших граничного (на рис.7.7 – левее штрих – пунктира) мы заменили фиктивным источником с “мощностью” (или “активностью”), равной Q, находящимся в точке r=0, т.е. в месте расположения источника электронов. Величина Q<1 и должна быть подобрана эмпирически. Совмещение фиктивного источника диффузия с истинным должно существенно упростить расчёт второго, диффузионного компонента флюенса, особенно в случае гетерогенных сред.

155

Конечно, заранее не было ясно насколько близкие к истинным дозным распределениям результаты могла дать такая упрощённая двухругпповая модель с фиктивным источником диффузии. Многочисленные проверки, однако, показали, что, по крайней мере, в одномерных гетерогенных задачах, не говоря уже о гомогенных, при правильном выборе эмпирических параметров получаются достаточно точные расчётные распределения при очень простых формулах.

Оценим, прежде всего, большую ли ошибку делаем мы, совмещая фиктивный источник диффузии с истинным источником электронов.

Предположим, что мы учитываем все электроны, переходящие в диффузию налюбыхрасстоянияхrотисточника,анечастьихвблизиr=0,т.е.левеештрих

– пунктира на рис. 7.7.

Рис. 7.7 Схема перехода направленного компонента электронного флюенса в диффузию. Спектр эмиссии – квадратичный.

Найдя удаление (		) от истинного источника эффективной точки перехода
в диффузию для всех электронов, мы, естественно, переоценим эту величину.
Искомое расстояние можно оценить как										)2 dr =	/4. Вели-
чина γ, как сказано, есть отношение толщины диффузии к среднему пробегу
электронов. Неплохим приближением для толщины диффузии является /54/
половина среднего транспортного пробега электронов, определяемого как об-
ратная величина макроскопического транспортного сечения (/55/):
2πn	σ	) (1 – cos	) sin	d	≈	( – )		ln			(7.11)
				156

Сигнальный экземпляр

где – дифференциальное сечение упругого рассеяния, n – число рассеивающих атомов в 1 см3 , T – полная энергия электрона, a – боровский радиус, Р

– импульс электрона. Расчёт величин γ на основе (7.11) даёт результаты, представленные в таблице 7.2.

Таблица 7.2

z	7,2			8			13		49				79
E(кэВ)	50	1000	50		1000	50		1000	50		1000	50	1000
γ	0,45	0,65	0,38		0,55	0,23		0,31	0,06		0,07	0,04	0,04

Видно, что даже в случае вода и энергии электронов в 1 МэВ эффективная точка перехода в диффузию лежит довольно близко к источнику – на расстоянии, заведомо меньшем 0,16 S0 от него. С ростом z это расстояние быстро уменьшается.

Ниже будут приведены оптимальные параметры для двухгрупповой модели с фиктивным источником. Величина “активности” Q оказывается равной 0,5. При этом штрих – пунктир на рис. 8.7 должен быть расположен на расстоянии 0,21 γ S0 от точки r=0, а удаление эффективной точки перехода в диффузию

получается равным ≈0,1 S0 . Таким образом, даже при z= 7,2 и Е=1 МэВ составляет всего около 6.10 –2 S0 .

Поскольку предлагаемые формулы предназначены для описания дозных распределений как в гомогенных, так и в гетерогенных средах, следует потребовать, чтобы величина “активности” (или “мощности”) Q была одной и той же для всех сред. В противном случае возникнут трудности с решением задач для гетерогенных сред, ибо будет неясно какой величиной Q пользоваться для каждой среды.

Исходя из сказанного, мы можем для модели с фиктивным источником диффузии записать следующее выражение для распределения плотности потока электронов в однородной среде от точечного источника со спектром вида

(1 – S/ ) 2 :

Φ (r) 4πr2 = e–ᴂr + νr e–νr (7.12)

где Q – мощность фиктивного источника диффундирующих электронов (без-

размерна). Здесь первое слагаемое – плотность потока от направленного, а второе – от диффузионного компонента. Второе слагаемое представляет собой решение диффузионного уравнения (7.9) с правой частью вида – , , соответствующейточечномуисточникусактивностьюQ.Помноживпервоеслагаемое на W0 – cреднее по спектру эмиссии значение тормозной способности среды, второе – на W0 ( ) где ( ) = ( )д / ( )0 отношение тормозных способностей для диффузионного и направленного компонентов, и введя обозначение α=ᴂ/ν, придём к выражению для дозного распределения от точечного источника в однородной среде:

157

W(r)=4πr2Ψ(r) =W0e–ανr +							( ) νr e–νr	(7.13)
Как видно, эта формула совпадает с			аппроксимирующим выражением (7.5),
если в последнем положить С= ν –		=				( ). Поскольку выражение (7.5) уже
	вполне удовлетворительного, хотя и чисто
было использовано нами ранее для

формального описания дозных распределений в разных однородных материалах, рассматриваемая модель с фиктивным источником диффузии также должна быть, в принципе, пригодной, по крайней мере для гомогенных сред.

Выражение (7.13) содержит 5 “подгоночных”параметров – ν, α, D, ( ) и Q, причём первые четыре параметра зависят от z среды (а коэффициент поглощения ν, кроме того, и от граничной энергии спектра), а последний (Q) должен быть одинаков для всех z, универсален. Подбирая значения этих параметров, можно было руководствоваться следующими условиями: a) в однородных средах формула (7.13) должна с точностью не хуже 15% описывать ФТИ источников с квадратичным спектром, полученные суммированием распределений Спенсера (или – для H2O – единых дозовых функций) на всех расстояниях, меньших ≈ 0,5 7граничного пробега. б) Должны выполняться условия нормировкипоэнергииипофлюенсу.Нормировкапоэнергиидляединичногоисточника имеет вид:

				( )	=		(7.14)
Здесь Di(r) – доза в точке			в i – й cреде, d – элемент объёма. Интегриро-
вание распространяется по всему объёму						i – й cреды, а суммирование – по
всем средам.
Аналогично, нормировка по флюенсу записывается в форме:
				( )d		=1	(7.15)
Здесь
	полный (“направленный”+ “диффузионный”) флюенс в точке
в i – й среде,–а	– средняя длинаΦостаточного( ̅)						пробега в среде i для квадра-
тичного спектра, т.е.		= Soi	/ 4. На практике соотношения (7.14) и (7.15) при-
менялись либо для гомогенных				сред (i= I), либо – в слкчае гетерогенных сред

для одномерной геометрии (плоские источник и поглотители); в) при подборе значений параметров можно было воспользоваться в гетерогенных средах (для одномерной геометрии). Получающиеся на основе модели формулы должны описыватьизмеренныераспределениясточностьюнехуже15%длявсехпрактически значимых расстояний.

При использовании условий б) и в) для одномерной гетерогенной задачи “диффузионные” флюенс и доза определялись из решения уравнения диффузии. В это решение входили также константы интегрирования, находимые из обычных граничных условий – равенство значений флюенса и плотности тока по обе стороны от границы.

Попытки получить единую систему подгоночных параметров, руководствуясьтолькоперечисленнымиусловияминеувенчалисьуспехом.Деловтом,что

158

Сигнальный экземпляр

соотношения (7.14) и (7.15) представляют собой довольно близкие условия, и, удовлетворив с хорошей точностью (например, 5 или 10%) одно из них, мы на практике автоматически удовлетворим примерно с той же точностью и другое, взяв для этого какое – либо разумное значение величины ( ), например, 1,05 ÷ 1,15. В то же время выбор определённых значений всех параметров, исходя только из условий нормировки и из удовлетворительной подгонки под известные дозные распределения невозможен; об этом было уже сказано выше в связи с уравнением (7.5). Иными словами, для однозначного выбора системы параметров потребовалось привлечение каких – то других, дополнительных условий.

7.3.3. Использование данных по альбедо электронов. Параметры расчётной методики.

Если движение частиц описывается уравнением диффузии, то числовое альбедо (числовой коэффициент обратного рассеяния) может быть найдено по известному произведению νD и, обратно, по величине альбедо можно оценить νD. Элементарный вывод соответствующей формулы, приведённый в /37/, сводится к следующему. Пусть на плоскую границу среды падает слева широкий однородный и изотропный (в пределах телесного угла 2π) поток частиц. Если движение этих частиц в среде описывается уравнением диффузии, то плотность потока должна убывать экспоненциально:

Ф (x) ≈ ce–νx а плотности тока, текущего вправо и влево (вблизи границы), должны быть соответственно равны:

J+= – и J–= +

Числовое альбедо ξ, по определению равно ξ= ;;
Проделав нужные вычисления, придём к соотношениям	:
ξ= и νD =	(7.16)

Таким образом, по известной величине числового альбедо для изотропного потока электронов (для данных z и энергетического спектра или средней энергии) можно оценить величину νD.

Кроме числовых альбедо, известны ещё, или могут рассмотрены, энергетические альбедо (Р), дозовые альбедо (∆), «потоковые” альбедо (δ). Знание этих величин может быть источником информации, необходимой для оценки параметры двухгрупповой расчётной модели. Из всех перечисленных альбедо наиболее полезными для наших целей оказались величины энергетического альбедо P, и мы ограничимся здесь использованием лишь этих величин. Энергетическое альбедо есть, по определению, отношение энергии, уносимой

159