расчетные методы дозиметрии бета-излучения

Здесь Q=0,5 σ

+ b

=

Это даёт: (d – a) (

)

2)

Условие равенства

плотностей

потоков слева и справа от источника,

сблизи него:

1д = 1д

т.е. а

+ b

= d

3)

Условие

плотностей потоков на границе раздела

сред:

равенства

R0

a +b

= c(

–

), здесь х01 =

R0 ; x02 =

4) Условиеравенстватоковдиффундирующихэлектроновнаграницераз-

дела:

–D2

δ

–D1

δ

(

+ 1)

–

+(

= –D

1

т.е.–D2с

системууравненийотносительноискомыхконсант,най-

Решаяполученную

дём:

γ

b=

; c=

+

+

здесь γ =

(x

+ 1)

В нашем случае R – R0 <<R и R0

– r < R и можно положить

(D1

D2

) R0

.

Непосредственный расчёт показывает, что такое

упрощ1нное выражение

для γ, по сравнению с точным, изменяет величину

плотности потока лишь на несколько процентов.

В результате получим:

c≈

2 0

1

0

D1 1+ D2 2

д2 ≈

(8.2)

Выражение для плотности потока диффузионного компонента формально идентично соответсвующему выражению для случая плоского заглубленного источника (см. формулу 8.2.2., Б) и отличается от него лишь множителем (см. формулу 8.23). При “уплощении” cферического источника, когда R→∞ и r→∞ причём → I оно переходит в (8.23), как и должно быть.

Таким образом, отсюда и из (8.1) следует, что и полная плотность потока, равная сумме диффузионного и направленного компонентов также отличается от своего аналога для плоской геометрии множителем R/r. Чем больше расстояние от границы раздела, тем больше будет отличие потоков для сферической и плоской геометрии за счёт множителя R/r. В этом проявляется эффект “фокусировки”.

Активированные матрицы офтальмологических аппликаторов имеют определённую толщину, поэтому, казалось бы, нельзя пользоваться для расчёта формулами (8.1) и (8.2), пригодными лишь для источников в виде тонкой сферической поверхности. Однако, толщина матриц мала (≤ 0,4 мм), и, следова-

190

Сигнальный экземпляр

тельно, при интегрировании формул (8.1) и (8.2) по толщине активной заготовки R также будет слабо меняться (например, от 14,2 до 14,5 мм). При этом= const в процессе интегрирования. В результате и в этом случае мы должны получить выражения для плотностей потоков и доз, которые будут отличаться от всех аналогов для плоской геометрии лишь на множитель R/r. Здесь величину R следует, очевидно, брать средней для толщины матрицы.

Таким способом нетрудно получить дозные распределения от офтальмоаппликаторов сферической геометрии, имея величины глубинных доз от их плоских аналогов – калибровочных источников со 90Sr+90Y и 204Tl. Результаты проделанных вычислений приведены на рис. 8.7. и 8.8. На этих же графиках изображены экспериментальные данные, полученные с помощью цветных дозиметрическихплёнокЦДП,разработанныхвнашемИнститутеГринёвымМ.П. и Михайловым Л.М. Измерения дозных полей от офтальмоаппликаторов проводились в плексигласовом фантоме глазного яблока. В одном случае дозиметры ЦДП размещались в виде наборной стопки плёнок, расположенных в цилиндрическом углублении фантома параллельно поверхности аппликатора, в другом одна плёнка помещалась перпендикулярно поверхности источника между двумя половинками фантома. Оба варианта расположения дозиметров дали хорошее согласие экспериментальных данных. Надо отметить, что применение дозиметров ЦДП в плексигласовом фантоме обеспечило гомогенность поглотителя бета – излучения из –за практически полного совпадения химического состава материала дозиметров и фантома. После экспозиции плёнок ЦДП на микроденситометре “Joyce” измерялось изменение оптической плотности. Под действием излучения дозиметры меняют свой цвет ( с жёлтого на красный – для того сорта плёнок, что мы применяли), поэтому световой луч микроденситометра проходил через фильтр с определённой цветовой полосой пропускания, подобранный таким образом, чтобы максимально возможно увеличить чувствительность регистрации изменения оптической плотности экспонированной плёнки. На рис. 8.9. в качестве примера приведена запись оптической плотности плёнки ЦДП, расположенной в фантоме перпендикулярно поверхности офтальмоаппликатора со 90Sr+90Y. Для сравнения здесь же изображена аналогичная запись от плоского источника (нижняя кривая). На рисунке отчётливо виден эффект фокусировки от аппликатора сферической формы – при одинаковых дозах у поверхностей аппликаторов наблюдается расходимость графиков дозных распределений с увеличением глубины поглотителя. Подобная расходимость кривых глубинных доз больше всего выражена на расстоянии около половины максимального пробега бета – частиц данного спектра. Очевидно, что на расстоянии, близком к максимальному пробегу два дозных распределения опять должны слиться. Для офтальмологического аппликатора с 204Tl эффект фокусировки мал (см. рис. 8.8) из – за более короткого пробега бета – частиц и, как следствие, более “плоской” геометрииисточника.Фокусировкавозможна,есливточкудетектированияприходят электроны с участков сферической поверхности источника, которые находятся ближе к этой точке, чем в случае плоской геометрии.

191

Рис. 8.6. Глубинные дозные распределения в ткани от плоского эталонного источника и офтальмологического аппликатора со 90Sr + 90y. За 100% приняты значения мощностей доз измеренные экспериментальным путем вплотную к поверхностям аппликаторов.

Точки – эксперимент ( –ЭК-2; – пленки ЦДП); линии – расчет.

192

Сигнальный экземпляр

Рис. 8.7. Относительные дозные распределения в ткани офтальмологического аппликатора с 20Te / сплошная линия / и плоского эталонного источника / штриховая линия /; расчет.

193

Рис. 8.8. Запись на микроденситометре оптической плотности пленки ЦДП, расположенной в плексовом фантоме перпендикулярно поверхностям аппликаторов со 90Sr + 90Y.

1 – офтальмологический аппликатор,

2 – плоский эталонный аппликатор. Масштаб по оси абсцисс 1 : 20.

194

Сигнальный экземпляр

8.3.2. Источники для оториноларингологии

На основе технического задания, разработанного в лаборатории совместно с заинтересованными организациями, была выпущена опытная партия источников БИСЛ –1 и БИСЛ –3, предназначенных для контактной лучевой терапии евстахиевой трубы /48/. Конструкция источника описана в указанной работе и здесь мы ограничимся перечнем его параметров, необходимых для проведения расчётов доз. Внутри стальной трубки (Ø внеш = 0,81 мм; Ø внутр=0,4 мм)находятся гранулы из боро – силикатного стекла (Ø 0,4 мм), насыщенные радионуклидом 90Sr+90Y. Длина активной части источника 8 мм/15 мм. Следует отметить, что из – за большого градиента дозных распределений от такого источника и его малых размеров, экспериментальная оценка глубинных доз в данном случае затруднительна. В связи с этим особый интерес вызывает расчётный метод дозиметрии.

Предположим сначала, что источник представляет собой бесконечную тонкую нить, расположенную на оси цилиндра (среда 1 – см. рис. 8.10), который граничит со средой из другого материала (среда 2).

При этом мы имеем цилиндрическую геометрию, в которой дозное распределение, в силу симметрии, зависит лишь от расстояния до оси цилиндра.

Диффузионный компонент плотности потока в каждой из сред удовлетво-

ряет уравнению: ∆ Фд–ν2 Фд =0, здесь, из –за симметрии, ∆= (δr +r δr2).Сделав замену переменной х= νr получим уравнение Бесселя нулевого порядка

Х2

δх2

+ Х

δх

– Х2 =0

(8.3)

Его ограниченными решениями будут модифицированные функции Бесселя нулевого порядка I0 и K0 (см. рис. 8.11).

Рис. 8.9. К расчету доз.

Рис. 8.10. Ход функций I0 и K0.

195

A=B

( )

Таким образом, для среды “I” имеем:

Дляд	=A	(x)+B		(x)= A (	)+ B	)	решения при r→∞:
	среды		“2”, в силу		ограниченности
	=C	(	)
Применимд обычные граничные условия для нахождения константA, B и C
1)	Условие			источника: число		диффундирующих частиц, проходящих

через поверхность цилиндра малого радиуса (r→0) и единичной высоты, окружающего источник, равно линейной плотности источника диффузии

lim2πrJ(r)=Q, здесь J= – D

д

д

и, следовательно:

≈–

δ

–

δx

Так как

(x)

, то

≈

δr

= –

2πr [–

B

δ0

(x)]=2πr

= Q

B=

δx

Отсюда

2)Условие равенства плотностей потоков на цилиндрической границе

раздела сред (r=	):
A ( )+ B (	)=C ( )

3)Условие равенства токов (диффундирующих электронов) на границе:

– [A ( ) – B	(	)]= –			[–CK1 (		)]
Здесь учтено, что	=	и		= –		где, I		иK		– модифицированные функции
Бесселя первого порядка.							1		1

Решая систему уравнений относительно константA, B и C, получим:

C=Bɣ, где ɣ=

Здесь, как и ранее		=		,

(					( )
		) ( )				(8.4)
( )				( )
( )
	=

(8.5)

Направленные компоненты плотности потока в каждой из сред получаются интегрированием соответствующих функций влияния для точечного источника по длине излучающей нити, и выражаются через интегралы Зиверта F:

В среде “I” :“I” : =

αΨ= F( )

(8.6)

Здесь Х1 = r, где Ψ – угол, обозначенный на рис. 5.10, q – линейная плотность активности источника q=2Q.

196

			Сигнальный экземпляр
В среде “2”:
=
αΨ=	F [α +α ( – )]		(8.7)

Интегралы Зиверта F табулированы, например в /41/.

Учитывая написанные формулы, полный флюэнс в среде “2” может быть представлен в виде:

=	д =						1		(8.8)
Доза в среде “2”							1
D2 =									(8.9)

Напомним размерности входящих сюда параметров: [q]=см–1 ; [ ]= см–1 ; [W0]= кэВ·см2 ·мг–1

Следовательно, размерность дозы D= [кэВ. мг–1]

Конструкция источника такова, что внутри стальной трубки помещаются гранулы боро – силикатного стекла, насыщенные радионуклидом. Таким образом, в действительности мы имеем скорее цилиндрическую геометрию и три среды: стекло – сталь – ткань (см. рис. 8.12), причём весь объём стекла равномерно заполнен радионуклидом:

Рис. 8.11.

Рассчитать дозное поле от объёмного источника такой геометрии достаточно сложно, поэтому прибегнем к упрощениям. Во – первых, можно решить задачу для случая, когда вся активность источника сосредоточена на оси ци-

197

линдра, и , во – вторых, когда она распределена по внутренней поверхности стального цилиндра (r=r0 , см. рис. 8.12).

Если дозные поля от двух таких источников будут отличаться мало, то дозное поле от объёмного источника будет, очевидно, промежуточным между этими и близко к ним. Первая задача (активность по оси цилиндра) аналогичная уже рассмотренной нами для случая двух сред; решение её опускаем. Вторая задача также решается, хотя и несколько сложнее.

= ( ; = ( + ( ; = (

Используя стандартные граничные условия можно определить все 4 неизвестные константы. Приведём лишь выражение для C4 :

C4K0 (	=	λ	( ) αK0( )								1			0	1	1 1 – 0 1 (8.10)
Здесь обозначения аналогичны старым, кроме															( )
			λ= 1 1			( )			;		–		2 2				;
			a=	0	3							0	b=	1
					( 1 )+ 1			( 1 )					( )– 0 ( )
					( )		( )					( )			( )
Определённые		трудности1 возникают– 1											при	расчёте		потока нерассеянного

компонента от источников сложной геометрии и для гетерогенных сред. Иногда приходится прибегать к численному интегрированию (по поверхности или

объёму источника) сконструированной здесь			– коэффициент поглощения
направленного компонента потока в “i” среде; ri–			путь луча в этой среде, про-
ведённого от точечного источника в точку детектирования; r– полное рассто-
яние от источника до точки (r=	).	Заметим, что закон изменения плотно-
сти потока нерассеянного компонента		точно такой же, какой имеет место при

расчёте потоков и доз от нерассеянного гамма – излучения (геометрия узкого пучка). Поэтому задача численного интегрирования функции влияния точечного источника в гетерогенной среде может быть успешно решена с помощью развитого для гамма – излучения формализма и уже рассчитанных на ЭВМ необходимых интегралов (см. например / (49) /.

Непосредственным расчётом установлено, что глубинные дозы от источникасактивностью,сосредоточеннойнавнутреннейповерхностистальнойтрубки больше доз от источника с той же активностью в виде нити в среднем на 10%.Естественнымкажетсяутверждение,чтодозноеполеотреальногоисточника должно быть промежуточным между этими двумя полями.

198

Сигнальный экземпляр

Рис. 8.12. Глубинное дозное распределение в тканеэквивалентном поглотителе, находящемся в контакте с источником БИСЛ-I (радионуклид 90Sr + 90Y).

На рис. 8.13. приведены дозные распределения в ткани, контактирующей

систочником БИСЛ – I. Расчёт приведён для точек, находящихся на линии, проходящих перпендикулярно оси цилиндра. Экспериментальные данные получены с помощью фотографической дозиметрии и плёночных детекторов LiF /(97)/. Ввиду сложной геометрии источника погрешность измерения достигает

± 20%. За 100% принята расчётная мощность дозы в месте контакта источника

стканью. Как оказалось, средняя (по серии источников) мощность дозы, измерённая фотоплёнкой, равна расчётной мощности дозы.

Для облучения слизистой барабанной полости и полости уха требуется иметь источник небольших размеров, у которого бета – излучение выходит от торца цилиндра. Согласно техзаданию, была изготовлена опытная партия таких источников, БИСЛ –2 (см. /(2)/). Его схема представлена на рис. 8.14.

199