расчетные методы дозиметрии бета-излучения

расчетных результатов даже в несколько большей степени, чем различаются межу собой экспериментальные и теоретические дозные кривые, относящиеся к геометрическим условиям а)(рис.№1б). При этом характер различия штрих-пунктирных и штриховых линий на рис.№1а такой же, как у соответствующих кривых рис №1б.

При построении составной функции (12) существенным было выполнение «граничного условия» (11). Использование этого условия, а также аналогичного соотношения (3) (выше), нуждается в обосновании. Обоснование использования «граничного условия» (11) было проведено в работе Радзиевского Г.Б. /92/.

Можно показать, что распределение доз от плоского изотропного источника, находящегося в однородной безграничной среде можно представить в виде:

			(r,Ei)= (Ei)[1+∆(Ei)] ( ) ( )
				( )
			(r,Ei)= (Ei)[1+∆(Ei)]			(16)	(16)
(		)= МэВсм2/частица·г–либоэнерговыделениевданнойточке(МэВ/г)за
счет
	плотностиэмиссии1част./см2,либо,энерговыделениевбесконечномслое

толщиной1г/см2 засчетполнойэмиссииоднойчастицы/теоремаобратимости

размеров/ : Мэв·1/г·см-2·частица.
Покажем, каким образом, можно по дозному распределению	от широ-

кого плоского бесконечно тонкого изотропного источника электронов определить ФТИ – .. Мощность дозы в точке А, находящейся на расстоянии Х от плоского источника (см.рис.№3), равна:

Положим удельную поверхностную	(17)
	активность σ равной единице, напри-

мер,1мКи.см-2.Таккакr2=x2+ρ2 иrdr=ρdρ,товыражение(15)можнопереписать
Продифференцируем выражение (18) по Х:						(18)
	()	= ( ); ( ) = −			( )
Так как rdr=xdx, то( ) = − ( )						(19)
Положим z=rR-1 и умножим левую и правую части равенства на 4						2 полу-
чим		4 2 ) =-2r =-2z
						(20)
Обозначим 4 2		- энерговыделение в сферических слоях радиусом r и
толщиной равной единице) (1г·см-2)- через W(r).

Продифференцировав выражение (15) по z и подставив производную в (20)

60

Сигнальный экземпляр

получим:

W(r, E) = 4	2	) = ; z≤z0; r≤r0=z0R(E)
W(r,E)= 4	2	) = (1+∆)(−z ); z≥z0; r≥r0……	(21)

Для того, чтобы рассчитать ФТИ бета−излучения, Ψ спектр эмиссии данного радиоизотопа разбивали на 20-30 энергетических интервалов.

Каждому энергетическому интервалу приписывалось такое значение энергии Ei (энергия монолинии), что вклад в дозу от электронов данного интервала с энергией меньше Ei равнялся вкладу в дозу электронов данного интервала с энергией большей Ei. Для электронов с энергией Ei выражения (21) можно представить в виде:

W(r, Ei)= 4 2 i(r, Ei)= i				(Ei) [ 1+∆(Ei)]z z≥z0;
W(r, Ei)= 4		2	i(r, Ei)= i (Ei) z≥z≤ 0;
Ψ(r) =∑	i(r, Ei)

Здесь: αi−весовая доля каждой монолинии в спектре;
Ei− энергия монолинии.
Граничные условия для функции Ψ(r) следующие:
1/ Ψ(r)→0 при r→R макс
2/ Ψ(r) 4 2→( ) при r→0
Условиенормировки	выполняетсяавтоматически,
ибо это условие использовано	при расчёте функций, определяющих W(r, Ei).
В некоторых случаях (малые r и малые энергии электронов) расчёты произ-
водились аналитически следующим образом.

Рассмотрим некоторый фиксированный диапазон энергий эмитируемых электронов [ EI, EII] /. Зависимости пробегов электронов и тормозных способностей S от энергии E можно представить в следующем виде : R= R0E ;; S=S0E−β.

Далее:

[−1+∆(E)]= 1 E 100 кэв

Предположим, что спектральное распределение в энергетическом интервале [EI,EII] представляет собой трапецию. Тогда

=N+εE; [N]= кэВ-1; [ε]= кэВ-2

Обозначим EI−EII=∆E; по условиюI i i нормировки () dE=1

61

Если ε→0, то NI= − ; NII= +

Врассматриваемых энергетических интервалах выражения для R,S, z0, z

и(1+∆) можно аппроксимировать с достаточной точностью следующим образом:

R=	4,8·10 ,мг м							[E]= кэВ	1 кэв−100 кэв
	1 4· ,				кэв·мг	м			0,1−1 кэв
									(1 −100) кэв
S=	1 8·			кэв·мг м				[E]= кэВ	(0,1−1) кэв
			,
(1+∆)=				2,2				[E]= кэВ	(0,1−1) кэв
									(1 −100) кэв
Z0=		0,24							(0,1−1) кэв
		0,165z							(1 −100) кэв
Функцию				можно аппроксимировать следующим образом: (см. рис.5 )

z =f(z)= −8,55 (z2−z+0,09)

Рис. 5.

Задавая определенные значения расстояний от источника r, мы можем определить пределы интегрирования из энергии. Это можно изменить с помощью графиков, приведенных на рис. 4

62

Сигнальный экземпляр

Рис. 6. Графическое пояснение определения пределов интегрирования по энергии

Задавая определённые значения расстояний от источника r, мы можем определить пределы интегрирования по энергии. Это можно пояснить с помощью графиков проведённых на рис. № 6.

Предположим, что задано значение r, отсюда по графикам определяем значенияE1 (r)иE2 (r). Из графиковвидно,чтодоглубины r,электронысэнергией < E1 не доходят. Электроны с энергиями E<E2 имеют дозное распределение на данной глубине r в виде прямой (см.рис.6).

W1-2=			f(z)dE	(25)
W2→= dE			r≤z0R(EII)

При r>z0 R(EII) интеграл W2→ исчезает, а интеграл W1-2 превращается в W1-II

W1-II=			f(z)dE	r≥z0R	(26)

Все функции, входящие в подынтегральные выражения, являются степенными, поэтому интегралы берутся.

Для выбранных интервалов [EI, E2]= /0,1 кэв−100 кэВ/ и

[ , ] ]= /1 кэВ −100 / можно записать, используя выше приведённые аппроксимации для R,S и др.( )

EI=68·R0,784; E2=192,5·R0,784 и

,= 22,9·R0,575; = 60,5·R0,575

(27)

Подставив выражения (23,24) в (25,26) получим в диапазоне (0,1 кэВ− 100 кэВ)

63

= −4,16·10 r, +0,795·10 r , =−2,4101,55·10 (1r,−1 −,924,4·10, r), −0,64·10 r, −1,77510 r, ;·

r≤z0R (EII)= 1,08·10−2 мг/см2 при EII=1 кэв

W	1−II		=N	[1,87·107r2(1−0,263·10−5r−1,59)−2,06·105r(1−0,549·10−1r−0,688)−
			i
– 1,845·104(1−10,59r0,312)+2,94·107r2(1−1,91·104r−1,13)−1,135·106r
(1−0,37r0,1315)−6,61·10(1−704,7r0,863)];								(28)
r≥z		R(E )=1,08·10-2			мг/см2 при E		=1 кэв
	0		II			II
В диапазоне (1кэВ−100 кэВ)

r≤z0R(EII)=2,36 мг/cм2 для EII=100 кэВ W1−II=NI[3,76·107z2(3,24·10−7−3,89·10−5r−1,87)−3,56·10−5r(1, 072·103−

–0,957·10−2r−0,855)−7,88·102(3,548−2,36·r0,158)]+ [5, 43·107r2 (3,24·10-5−0,887·10−3r-1,292) −1,115·106r(0,1072−0,219r−0,279)−

–1,7·102(354,8−53,83 ·r0,732)]

r≥z	R(E )=2,36 мг/см2	для E	= 100 кэВ	(29)
0	II	II

Вклад в поглощённую дозу электронов, энергия которых больше 100 кэВ, для каждого конкретного бета−спектра вычисляли методом графического сложения дозовых распределений для отдельных монолиний.

При аналитическом вычислении энерговыделения в сферических слоях единичной толщины при r→0 использовали соотношения

W(r) Ιr→0=	Ψ(r,E)Ιr→0 dE=	dE; E0=0,1 кэВ		(30)
При графическом расчёте W(r)Ιr→0=		∑		(31)

Результаты расчёта дозовых функций по методу “единых дозовых функций”−МЕДФ−дляточечногоисточникабета−излучений13радиоизотопов63Ni ,35S,14C,147Pm,45Ca,90Sr,204Tl,32P,86Rb,90Y,144Pr,42K,106Rh в энергетическом интервале 67 кэв÷3,5 Мэв приведены на рис. № 7−11. Кроме того результаты расчёта энерговыделения вблизи точечных источников W(r)Ιr→0 приведены в таблице №2.

64

Сигнальный экземпляр

Рис. 7. Рассчитанные функции W(r). Штрихпунктирная линия – функция W(r), рассчитанная по Левинджеру. Сплошная линия – функция W(r), рассчитанная по МЕДФ. Пунктирная

линия проведена согласно формуле (2) гл.3.

Рис.8. Рассчитанные функции W(r). Штрихпунктирная линия – функция W(r), рассчитанная по Левинджеру. Сплошная линия – функция W(r), рассчитанная по МЕДФ. Пунктирная

линия проведена согласно формуле (2) гл.3.

65

Рис. 9. Рассчитанные функции W(r). Штрихпунктирная линия – функция W(r), рассчитанная по Левинджеру. Сплошная линия – функция W(r), рассчитанная по МЕДФ. Пунктирная

линия проведена согласно формуле (2) гл.3.

66

Сигнальный экземпляр

Рис. 10. Рассчитанные функции W(r). Штрихпунктирная линия – функция W(r), рассчитанная по Левинджеру. Сплошная линия – функция W(r), рассчитанная по МЕДФ. Пунктирная

линия проведена согласно формуле (2) гл.3.

67

Рис. 11. Рассчитанные функции W(r). Штрихпунктирная линия – функция W(r), рассчитанная по Левинджеру. Сплошная линия – функция W(r), рассчитанная по МЕДФ. Пунктирная

линия проведена согласно формуле (2) гл.3.

68

Сигнальный экземпляр

Рис. 12. Рассчитанные функции W(r). Штрихпунктирная линия – функция W(r), рассчитанная по Левинджеру. Сплошная линия – функция W(r), рассчитанная по МЕДФ. Пунктирная

линия проведена согласно формуле (2) гл.3.

69