КП

Метод Гаусса.

Нашёл единицу в 1-ом столбце и поменял местами 3-ю и 1-ую строки. Умножил 1-ю строку на 10.

Вычел 1-ую строку из 2-ой строки и восстановил ее. Умножил 1-ую строку на 21.

Вычел 1-ую строку из 3-ей строки и восстановил ее. Получил единицу в 2-ом столбце разделив 2-ую строку на -209. Умножил 2-ую строку на 21.

Вычел 2-ую строку из 1-ой строки и восстановил ее. Умножил 2-ую строку на - 431. Вычел 2-ую строку из 3-ей строки и восстановил ее. Получил единицу в 3-ем столбце разделив 3-ю строку на -9632/209. Умножил 3-ю строку на 431/209

Вычел 3-ю строку из 1-ой строки и восстановил ее. Умножил 3-ю строку на

79/209.

Вычел 3-ю строку из 2-ой строки и восстановил ее.

66551 = 4816 = 1.382

35852 = − 4816 = −0.744

27693 = − 4816 = −0.575

Метод обратной матрицы.

∆=−9632

21 10 1 А=(10 1 21)

1 21 10

21 В=( 1 ) −20

Х=А-1*В

А-1=С∆Т

4816

=−3585

4816

−2769

( 4816 )

66551 = 4816 = 1.382

35852 = − 4816 = −0.744

27693 = − 4816 = −0.575

Метод LU-разложения.

A=B*C

11 = 21 21 = 10 22 = −3,76 31 = 1 32 = 20.50 33 = 121,9211 = 1 12 = 0,48 13 = 0,05 22 = 1 23 = −5,46 33 = 1

3 = 3 = −0.575 2 = 2,39− (−5,46 (−0,57)) = −0,7441 = 1 − (0,48 (−0,744) + 0,0476 (−0,575)) = 1,382

Блок-схемы:

Метод Крамера.

Метод Гаусса.

using System;

using System.Collections.Generic; using System.Linq;

using System.Text;

using System.Threading.Tasks;

namespace ConsoleApp1

{

class Program

{

static void Main(string[] args)

{

int n; /* количество уравнений */

double[,] A = new double[3, 3]; /* матрица системы */ double[] b = new double[3]; /* вектор правых частей */ double[] x = new double[3]; /* вектор решения */ Console.Write("Введите количество уравнений(<=3) n -> "); n = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());

if (n > 3 || n <= 1)

{

Console.WriteLine("Ошибка в размерности системы (n=2,3)"); Convert.ToInt32(Console.ReadLine());

return;

}

for (int i = 0; i < n; i++) for (int j = 0; j < n; j++)

{

Console.Write("A{0}{1} -> ", i, j);

A[i, j] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

}

for (int i = 0; i < n; i++)

{

Console.Write("b{0} -> ", i);

b[i] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

}

if (SLAU_kramer(n, A, b, x) == 1)

{

Console.WriteLine("Система не имеет решение"); Convert.ToInt32(Console.ReadLine());

return;

}

else

for (int i = 0; i < n; i++) Console.WriteLine("x" + i + " = " + x[i]);

Console.ReadLine();

}

private

static double det(int n, double[,] B)

{

if (n == 2)

return B[0, 0] * B[1, 1] - B[0, 1] * B[1, 0];

return B[0, 0] * (B[1, 1] * B[2, 2] - B[1, 2] * B[2, 1]) - B[0, 1] * (B[1, 0] * B[2, 2] - B[1, 2] * B[2, 0]) +

B[0, 2] * (B[1, 0] * B[2, 1] - B[1, 1] * B[2, 0]);

}

static void equal(int n, double[,] A, double[,] B)

{

for (int i = 0; i < n; i++) for (int j = 0; j < n; j++)

A[i, j] = B[i, j];

}

static void change(int n, int N, double[,] A, double[] b)

{

for (int i = 0; i < n; i++) A[i, N] = b[i];

}

public

static int SLAU_kramer(int n, double[,] A, double[] b, double[] x)

{

double[,] An = new double[3, 3]; double det1 = det(n, A);

if (det1 == 0) return 1; for (int i = 0; i < n; i++)

{

equal(n, An, A); change(n, i, An, b); x[i] = det(n, An) / det1;

}

return 0;

}

}

}

Задание 2.

Метод простой иттерации.

Прежде чем применять метод итераций, необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы. Если при этом условие все-таки не выполняется, то иногда удается обеспечить сходимость метода с помощью следующего метода.

x1=β1 -α12x2 -α13x3 -...-α1nxn x2=β2 -α21x1 -α23x3 -...-α2nxn

xn=βn -αn1xn -αn3x3 -...-αnn-1xn-1

где βi=bi / aii; αij =aij/aii при i≠j; αii=0

Система (2) в матричной форме имеет вид:

Пусть x0=β, тогда: x1=b - a x0

x2=b - a x1

....

xk+1=b - a xk

Приведем к виду: x1=1+0.48x2+0.0476x3 x2=-0.95238+0.0476x1+0.48x3 x3=0.0476+0.48x1+0.0476x2

Вычисления заканчиваются по критерию:

Метод Зейделя.

Имеем СЛАУ: Аx=b

Предполагая, что ≠ 0 разрешим новое уравнение системы относительно х1,

второе – относительно х2 и т.д. В результате получим:

1 = 1 − 12 2 − 13 3 − − 12 = 2 − 21 1 − 23 3 − − 2

= − 1 − 3 3 − − −1 −1

где 1 = ; = / , при ≠ ; = 0

Известно начальное приближение: x0=(x01,….,x0n). Итерационная схема имеет вид:

Прежде чем применять метод, необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы .

Приведем к виду:

x1 = 1 + 0.48x2 + 0.0476x3

x2 = −0.952 + 0.0476x1+ 0.48x3

Для оценки погрешности вычисляем коэффициент α: mах[∑|αij|] = 0.476+0.0476 = 0.524<1

mах [|x7, x8|] = ρ (x7, x8) = |-0.575 - (-0.575) | = 0.000686

Вычисляем погрешность: