asu1

Практическая работа № 10

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ РЕГРЕССИИ (АППРОКСИМАЦИИ) СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Цель работы ─ определить функции регрессии (аппроксимации) и оценить значение непрерывной выходной

переменной по значениям входных переменных.

Регрессия ─ зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин. В отличие от чисто функциональной зависимости у = f(х), когда каждому значению независимой переменной х соответствует одно определённое значение величины у, при регрессионной связи одному и тому же значению х могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины у. Если при каждом значении х = xi наблюдается ni, значений yi1, ...,yin величины у, то зависимость средних арифметических от xi и является регрессией в статистическом понимании этого термина.

			=	( yi1 + ...yin )	.	(10.1)
	y	i
				ni

Обработка данных в графическом окне Matlab

В позиции Tools графического окна имеется две команды для обработки данных графиков прямо в графическом окне:

•Basic Fiting ─ основные виды аппроксимации (регрессии);

•Data Statistics ─ статистические параметры данных.

Команда Basic Fiting открывает окно, дающее доступ к ряду видов аппроксимации и регрессии: сплайновой, эрмитовой и полиномиальной со степенями от 1 (линейная аппроксимация) до 10. В том числе со степенью 2

(квадратичная аппроксимация) и 3 (кубическая аппроксимация).

Команда Data Statistics открывает окно с результатами простейшей статистической обработкой данных. Данные для получения регрессии можно взять из работы № 7 или получить другим путем.

Методический пример полиномиальной регрессии

Пусть некая зависимость y(x) задана векторами координат ее точек (точки получены в соответствии с формулой (10.1)):

70

>>X=[45 55 65 75 85 95 105 115];

>>Y=[38.6 39.9 41.2 42.5 43.8 45.1 46.4 47.7];

>>plot(X,Y,'o');

Рис. 10.1 показывает пример выполнения регрессии (аппроксимации).

Рис. 10.1. График регрессии (аппроксимации)

Чтобы выбрать вид регрессии, необходимо исполнить команду Tools ► Basic Fitting и получить окно регрессии (на рис.10.2 справа).

Рис. 10.2. Пример обработки табличных данных в графическом окне

71

В этом окне птичкой отмечены три вида полиномиальной регрессии (линейная, квадратичная, кубическая).

Установка птички у параметра Show equations выводит в графическом окне записи уравнений регрессии.

По команде Tools Statistics выводится окно с рядом статистических параметров для данных, представленных векторами X и Y. Отметив птичкой тот или иной параметр в этом окне (оно показано на рис. 10.3. справа окна графики), можно видеть соответствующие построения на графике, например вертикалей с минимальным, средним, срединным и максимальным значением y и горизонталей с минимальным, средним, срединным и максимальным значением x.

Оценка погрешности регрессии (аппроксимации)

Из рис. 10.2. можно видеть идеальное совпадение линий регрессии для всех трех случаев.

Но есть средства обработки данных из графического окна, которые позволяют строить столбиковый или линейчатый график погрешностей в узловых точках и наносить на эти графики норму погрешности и чем она меньше, тем точнее аппроксимация

Рис. 10.3. Пример получения статистических данных о графике

.

72

Рис. 10.4. Пример вывода данных обработки со столбцовым графиком погрешности

Для вывода графика погрешности надо установить птичку в окне Show equations, а потом Plot residuals и в меню ниже этой опции выбрать тип графика ─ см. рис. 10.4.

Рис.10.5. Пример обработки данных с выводом графиков погрешностей в отдельном окне

На рис. 10. 5. приведены данные по полиномиальной аппроксимации степени 1, 2, 3 и 7. Последний случай предельный, поскольку максимальная степень полинома должна быть на 1 меньше числа точек (их 8). Рис. 10. 5 демонстрирует построение графика погрешности отрезками линий. Кроме того, опцией Separate figure (Разделить фигуры) задано построение графика погрешности в отдельном окне ─ оно расположено под графиком узловых точек и функций аппроксимации.

73

Таким образом, интерфейс графического окна позволяет выполнить эффективную обработку данных наиболее распространенными способами.

Расширенные возможности окна приближения кривых

На рис. 10.5 окно приближения кривых Basic Fitting представлено в упрощенном виде. В левом нижнем углу есть кнопка с жирной стрелкой →, которая указывает на возможность расширения окна до двух и даже трех панелей. На рис. 10. 6 показано расширенное до трех панелей окно Basic Fitting.

Первая панель для задания приближения и вывода данных о погрешности уже была описана. Вторая панель Numerical Results (Численные результаты) содержит список приближений, в котором можно задать выбранное приближение, кубическое, если задана позиция списка cubic. После выбора типа приближения для него выводятся выражения для приближения, значения коэффициентов и значение нормы.

В третьей панели Find Y=f(X) для выбранного приближения кривой можно найти Y по заданным значениям X. Соответствующие точки Y(X) помечаются на графике жирными ромбами ─ см. рис. 10.7. Пример для задания вектора X = 40:10:120.

Рис.10.6. Окно Basic Fitting с тремя панелями

74

Рис. 10.7. Результаты приближения с указанием заданных точек графика кубического приближения и выводом данных о погрешности

Содержание отчета

1.Построить линию регрессии.

2.Получить основной вид регрессии и ее статистические параметры.

3.Оценить погрешность регрессии.

4.Рассмотреть расширенные возможности приближения кривых.

Контрольные вопросы

1.Что такое регрессия?

2.Как определяются уравнения регрессии?

3.Как определяется оценка погрешности регрессии?

4.Чем определяется максимальная степень полинома?

75

Приложения

Приложение 1

Плотность перегретого пара, кг/м3

Р,										t °С
МПа		170	180		190			200		210		220		230		240		250	260
0,392		1,973	1,925		1,878			1,835		1,793		1,754		1,7:17		1,682		1,647	1,615
0,412		2,074	2,024		1,974			1,929		1,885		l,844		1,804		1,767		1,731	1,697
0,431		2,177	2,123		2,071			2,023		1,977		1,933		1,892		1,852		1,815	1,779
0,450		2,279	2,222		2,168			2,117		2,069		2,023		1,979		1,938		1,898	1,861
0,470		2,382	2,321		2,265			2,211		2,161		2,113		2,067		2,024		1,982	1,943
0,490		2,485	2,421		2,362			2,306		2,253		2,203		2,155		2,110		2,066	2,025
0,539		2,744	2,673		2,606			2,544		2,484		2,428		2,375		2,325		2,277	2,231
0,588		3,007	2,926		2,852			2,783		2,717		2,655		2,597		2,541		2,488	2,438
0,637		3,271	3,182		3,100			3,022		2,951		2,883		2,820		2,759		2,701	2,646
0,686		3,537	3,440		3,349			3,266		3,187		3,113		3,044		2,978		2,914	2,855
0,735		3,807	3,700		3,601			3,510		3,425		3,344		3,268		3,196		3,128	3,064
0,784		4,078	3,962		3,855			3,756		3,663		3,575		3,493		3,415		3,343	3,274
																	Приложение 2
					Динамическая вязкость пара µ•10-5 Па•с
	Температура,									Давление, МПа
		°С			0,098					0,49				0,98				1,96
		160			1,46					1,44				16,95				16,97
		170			1,50					1,48				15,85				16,87
		180			1,54					1,52				1,51				14,95
		190			1,58					1,56				1,54				14,10
		200			1,63					1,61				1,60				13,40
		210			1,66					1,65				1,63				12,75
		220			1,71					1,70				1,67				1,68
		230			1,75					1,73				1,70				1,67
		240			1,79					1,78				1,77				1,75
		250			1,82					1,81				1,80				1,78
		260			1,86					1,85				1,84				1,83
		270			1,90					1,90				1,89				1,88

76

Приложение 3

Модуль т и коэффициент расхода для стандартной диафрагмы

	D = 50 мм		D =100 мм		D = 200 мм		D = 300 мм
т	α	та	а	та	а	та	а	та
0,05	0,6126	0,03063	0,6090	0,03045	0,6041	0,03021	0,6008	0,03004
0,10	0,6162	0,06162	0,6118	0,06118	0,6069	0,06069	0,6034	0,06034
0,15	0,6219	0,09328	0,6169	0,09253	0,6117	0,09176	0,6084	0,09126
0,20	0,6293	0,1259	0,6238	0,1248	0,6183	0,123	0,6150	0,1230
0,25	0,6385	0,1596	0,6325	0,1581	0,6267	0,1567	0,6238	0,1560
0,30	0,6492	0,1948	0,6428	0,1928	0,6368	0,1910	0,6340	0,1902
0,35	0,6517	0,2316	0,6550	0,2292	0,6488	0,2271	0,36459	0,2261
0,40	0,6764	0,2706	0,6695	0,2678	0,6631	0,2652	0,6600	0,2640
0,45	0,6938	0,3122	0,6863	0,3088	0,6798	0,3059	0,6764	0,3044
0,50	0,7134	0,3567	0,7056	0,3528	0,6987	0,3493	0,6950	0,3475
0,55	0,7355	0,4045	0,7272	0,4000	0,7201	0,3960	0,7160	0,3938
0,60	0,7608	0,4565	0,7521	0,4513	0,7445	0,4467	0,7398	0,4439
0,65	0,7909	0,5141	0,7815	0,5080	0,7733	0,5026	0,7679	0,4992
0,70	0,8270	0,5769	0,8169	0,5718	0,8079	0,5655	0,80I9	0,56l4

Приложение 4

						Удельный объем пара v
	р,						Температура t °C
	кПа		170	180	190	200	210	220	230	240	250	260
196			1,0085	1,0326	1,0570	1,0800	1,104	1,128	1,152	1,175	1,199	1,222
245			0,8038	0,8233	0,8427	0,8620	0,8812	0,9004	0,9194	0,9384	0,9574	0,9763
294			0,6674	0,6838	0,7002	0,7164	0,7325	0,7486	0,7646	0,7805	0,7964	0,8123
343			0,5704	0,5817	0,5988	0,6128	0,6268	0,6407	0,6545	0,6683	0,6820	0,6956
392			0,4967	0,5094	0,5219	0,5343	0,5466	0,5588	0,5710	0,5831	0,5952	0,6072
441			0,4490	0,4514	0,4626	0,4738	0,4849	0,4959	0,5067	0,5176	0,5283	0,5570
490			0,3942	0,4046	0,4148	0,4250	0,4350	0,4450	0,4548	0,4646	0,4744	0,4841
539			0,3569	0,3665	0,3759	0,3852	0,3944	0,4036	0,4126	0,4216	0,4305	0,4394
588			0,3258	0,3347	0,3434	0,3521	0,3606	0,3690	0,3774	0,3857	0,3939	0,4021
637			0,2994	0,3078	0,3160	0,3240	0,3320	0,3398	0,3476	0,3553	0,3629	0,3705
686			0,2768	0,2847	0,2924	0,2999	0,3074	0,3147	0,322	0,3292	0,3363	0,3434
735			0,2572	0,2646	0,2719	0,2791	0,2861	0,2930	0,2998	0,3066	0,3133	0,3200
784			0,2411	0,2471	0,2540	0,2608	0,2675	0,2740	0,2805	0,2869	0,2932	0,2995

77

Приложение 5

Градуировочные характеристики термоэлектрических термометров

	Градуировка									Температура, ° С
		0	20			40			50					60			80			100			200			300
	ХК	0	1,31			2,66			3,35				4,05				5,48			6,95			14,66			22,91
	ХА	0	0,80			1,61			2,02				2,43				3,26			4,10			8,13			12,21
	ПП-1	0	0,112			0,234			0,299		0,364						0,50			0,643			1,436			2,314
																								Приложение 6
	Градуировочные характеристики термометров сопротивления
	Градуировка									Температура, ° С
		- 50		0			20			40					50					60		80			100
	50П	39,99		50,0			53,96			57,90					59,85				61,81			65,69			69,56
	гр. 21	36,80		46,0			49,64			53,26					55,06				56,86			60,43			63,99
	гр. 22, 100П	80,00		100,0			107,91			115,78					119,70				123,60			131,37			139,18
	50М	39,24		50,0			54,28			58,56					60,70				62,84			67,12			71,40
	гр. 23	41,71		53,0			57,52			62,03					64,29				66,55			71,06			75,58
	гр. 24,100М	78,70		100,0			108,52			117,04					121,3				125,56			134,08			142,62
																								Приложение 7
	Градуировочные таблицы основных промышленных термопар при температуре
							холодных спаев 0º С
										Градуировка
				ТПП								ТХА												ТХК
	Температура	термо-		k-				термо-							k-					термо-					k-
	Т, Сº			поправочный									поправочный											поправочный
		ЭДС,		коэффи-					ЭДС,						коэффи-					ЭДС,				коэффи-
		мВ								мВ										мВ
				циент											циент									циент
	0	0							0											0
				1,0										1,0											1,0
	100	0,640							4,10											6,95
				0,82										1,0											0,9
	200	1,421							8,13											14,66
				0,72										1,0										0,83
	300	2,311							12,21											22,91
				0,69										0,98										0,81
	400	3,244							16,40											31,49
				0,66										0,98										0,83
	500	4,211							20,65											40,16
				0,63										1,0										0,79
	600	5,214							24,91											49,02
																									78

				0,62			0,96			0,78
	700		6,251			29,15			57,77
				0,60			1,0			0,80
	800		7,323			33,32			66,42
				0,59			1,0			0,80
	900		8,429			37,37			-
				0,56			1,0			-
	1000		9,569			41,32			-
				0,55			1,07			-
	1100		10,745			45,16			-
				0,53			1,11			-
	1200		11,954			48,87			-
				0,51			1,16			-
	1300		13,158			52,43			-
										Приложение 8
	Градуировочные таблицы проволочных терморезисторов платиновых
	Температура Т, Сº					ТСП 50П			ТСП 100П
		0				50			100
		50				59,855			119,71
		100				69,745			139,1
		150				79,11			158,22
		200				88,515			177,03
		250				97,775			195,55
		300				106,89			213,78
		350				115,855			231,71
		400				124,68			249,36
		450				133,355			267,71
		500				141,88			283,76
		550				150,255			300,51
		600				158,48			333,10
		700				174,465			348,93
		750				182,235			364,47
		800				189,86			379,72
		850				197,335			394,67
		900				204,665			409,33
		950				211,85			423,70
		1000				218,89			437,78

79