Добавил:
КарГТУ, ФИТ, ИВС, ИС-16-1п Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лабы / Лекций / Лекция 25

.pdf
Скачиваний:
51
Добавлен:
20.02.2018
Размер:
267.95 Кб
Скачать

Лекция 25

Логические элементы

Цель лекции:

Изучить логические элементы, и способы минимизации переключательных функций.

План лекции:

1.Инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.

2.Стрелка Пирса, штрих Шеффера. Сложение по модулю 2.

3.Минимизация логических функций. Карты Карно.

4.Синтез логических устройств.

Логический элемент (ЛЭ) в электронных схемах – это устройство,

реализующее ту или иную логическую функцию. Логические схемы состоят из ЛЭ, осуществляющих логические операции. Для изображения логических схем всегда используются условные графические обозначения ЛЭ,

описывающие только выполняемую функцию и не зависящие от его схемы.

Конъюнкция (логическое умножение, операция И, AND): функция f

принимает единичное значение только тогда, когда равны единице абсолютно все входные переменные (рис. 1, а).

Логический элемент И выполняет операцию логического умножения над своими входными данными и имеет от 2 до 8 входов и один выход.

Дизъюнкция (логическое сложение, операция ИЛИ, OR): функция f

принимает единичное значение, если равна единице хотя бы одна из входных переменных (рис. 1, б). Функция “дизъюнкция” – это функция двух или большего числа. Обозначение функции “Дизъюнкция”:

y x1 x2 или y x1 x2 .

Логический элемент ИЛИ выполняет операцию логического сложения над своими входными данными и, также как и логический элемент И, имеет от 2 до 8 входов и один выход.

Инверсия (отрицание, операция НЕ, NOT): функция одной переменной, принимает единичное значение, если входная переменная равна

«0» (рис. 1, в). Логический элемент НЕ выполняет операцию логического отрицания над своими входными данными и имеет один вход и один выход.

Иногда его называют инвертор, так как он инвертирует входной сигнал.

Минимальное количество функций двух переменных, через которое можно выразить все другие логические функции, называется

функционально полным набором логических функций. Три перечисленные функции называют основными функциями, так как они составляют функционально полную систему.

Более сложные ЛЭ сочетают в себе несколько простых операций.

Такими являются логические элементы И-НЕ, ИЛИ-НЕ,

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ, ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ и т.п.

Стрелка Пирса - отрицание логического сложения (отрицание от дизъюнкции), или функция ИЛИ-НЕ (NOR) представляет последовательное выполнение функций логического сложения и отрицания (рис. 1, г). Данная функция равна "0", если равен "1" хотя бы один из ее аргументов, и равна "1",

если все ее аргументы равны "0".

Штрих Шеффера - отрицание от логического умножения (отрицание от конъюнкции), или функция И-НЕ (NAND) – представляет последовательное выполнение функций логического умножения и отрицания (рис. 1, д). Данная функция равна "1", если равен "0" хотя бы один из ее аргументов, и равна "0",

если все ее аргументы равны "1".

Эквивалентность (РАВНОЗНАЧНОСТЬ) – выходная переменная f

принимает единичные значения только при равенстве входных переменных x1 = x2 (рис. 1, е). Эквиваленция может обозначаться символами: ~, , , .

Элемент используется для сравнения двоичных сигналов.

Неэквивалентность, (НЕРАВНОЗНАЧНОСТЬ, исключающее ИЛИ, XOR). Функция неравнозначности равна единице лишь в случае, когда переменные xl и х2 имеют разные значения (рис. 1, ж).

Рис. 1. Условные графические обозначения и таблицы истинности элементов:

И (а), ИЛИ (б), НЕ (в), ИЛИ-НЕ (г), И-НЕ (д), равнозначность (е),

неравнозначность (ж), сумма по модулю 2 (з), мажоритарный элемент (и),

запрет (к)

Сложение по модулю 2. Сумма по модулю 2 - функция равна 1,когда нечетное число переменных равно 1, функция равна 0, когда четное число переменных равно 1. Функция обозначается: в виде f = Σmod2 (рис. 1, з).

Для двух переменных Σmod2 совпадает с функцией «исключающее ИЛИ». На рис. 2 приведены данные для функций «исключающее ИЛИ» и «сумма по модулю 2» для трех переменных. Они уже не полностью совпадают. Так, единичные значения функции «исключающее ИЛИ» соответствуют строкам, содержащим только одну единицу. Функция

сравнительно просто выражается с помощью элементарных логических

операций: f x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 . Единичные значения

функции «сумма по модулю 2» соответствуют строкам, в которых младший разряд арифметической суммы входных переменных равен 1: f x1 x2 x3.

Мажоритарный элемент имеет много входов. Выходная переменная элемента принимает единичное значение, если большая часть её входных переменных равна единице (рис. 1, и).

Рис. 2. Обозначение и таблицы истинности функции трех переменных:

неравнозначность (исключающее ИЛИ) (а) и сумма по модулю 2 (б)

ЛЭ ЗАПРЕТ имеет в простейшем случае два входа (рис. 1, к):

разрешающий (x1) и запрещающий (x2). Выходной сигнал повторяет сигнал

на разрешающем входе x1, если x2 = 0. При x1 = 1 на выходе возникает сигнал

«0» независимо от значения x1.

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении: инверсия; конъюнкция; дизъюнкция; импликация;

эквивалентность. Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.

Минимизация булевых функций

Этапу построения схемы должно предшествовать упрощение формул или минимизация. Цель минимизации – получить минимально необходимое количество логических элементов в схеме. Для минимизации логических функций применяют карты Карно.

Карты Карно – это представление таблицы истинности в виде прямоугольной таблицы с соответствующим числом клеток (квадратов),

каждая из которых отвечает определенной конъюнкции (произведению переменных). Переменные следуют так, чтобы в соседних клетках отличалась только одна из них, т.е. вместо чередования 00; 01; 10 и 11

используют код Грея 00; 01; 11 и 10.

Число квадратов равно числу возможных комбинаций, т. е. N 2n.

Каждый квадрат соответствует определенной комбинации аргументов.

Комбинации соседних квадратов должны отличаться не более чем одним аргументом. Знак "1" записывается в тот квадрат, комбинация которого соответствует значению f = 1 (первоначальная форма СДНФ). В остальные квадраты записываются "0" . После заполнения квадраты с "1" объединяют в контуры. Количество клеток в контуре должно быть кратно степени двойки

(2, 4, 8 и т. д). Это равносильно применению правила склеивания. Все единицы, записанные на карте, должны быть охвачены контурами. Каждый квадрат может входить в несколько соседних контуров. Возможно

объединение крайних квадратов на противоположных сторонах карты (крайние нижние и крайние верхние; крайние левые и крайние правые строки считаются соседними). Контур должен включать как можно больше число клеток.

В минимизированном выражении функции остаются только те аргументы, значение которых одинаково во всех квадратах контура.

На рис. 5.5 представлены карты Карно для трех (б) и четырех (в) переменных, причем карта Карно на рис. 5.5 б соответствует таблице истинности на рис. 5.5, а. СДНФ функции содержит столько членов, сколько единиц имеется в значениях функции в таблице истинности. Каждому члену ставится в соответствие набор значений аргумента, на котором функция имеет значение «1». Если в этот набор входит аргумент со значением «0», то в соответствующем ему члене этот аргумент записывается с инверсией.

Для каждого набора переменных, где функция принимает значение 1, в данном случае это наборы № 1, 3, 5, 6, 7, записывается логическое произведение аргументов (минтерм), причем если аргумент имеет значение 0, то в произведении берется его отрицание. Так, для n=1 можно записать, что y1 x1x2x3, для n=3 y3 x1x2x3 и т. д. Полученные таким образом произведения объединены логическим сложением. В результате для функции, заданной таблицей (рис. 5.5, а) получим СДНФ в виде

f x1 x2 x3

x1 x2 x3

x1 x2 x3

x1 x2 x3

x1 x2 x3

(5.2)

После минимизации получим выражение:

f x3 x1 x2 .

Рис. 5.5. Таблица истинности (а) Карты Карно для трех (б) и четырех (в)

переменных

На рис. 5.6.показаны примеры минимизации ФАЛ с помощью карт Карно.

Рис. 5.6. – Карты Карно четырехпеременных

Для рис. 5.6, а имеем: выражение логической функции:

Y X1X2X3 X 4 X1X 2X3X4 X1X2X3X4 X1X2X3 X 4 X1X2X3 X 4

МДНФ: Y X 2X3 X1X2X3 X 4.

Для рис. 5.6, б.

СДНФ: Y X1X2 X3X4 X1X2X3 X4 X1X2 X3X4 X1X2X3X4 ,

МДНФ: Y X2 X4 .

Для того, чтобы произвести минимизацию в КНФ, необходимо провести контуры, которые будут охватывать нули; переменные элементарных конъюнкций МКНФ берутся с инверсиями.

Для реализации логических операций применяют соответствующие

логические элементы (ЛЭ). Система ЛЭ, позволяющая строить на их базе логические функции любой сложности, называется базисом. Базис образуют ЛЭ ИЛИ, И, НЕ. Кроме того, на практике широко применяют ЛЭ,

реализующие простейшие функции двух переменных ИЛИ-НЕ, И-НЕ и некоторые другие, например, ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ.

Синтез логических устройств

Под синтезом логических устройств понимается переход от логической функции, заданной любым способом, к электрической схеме, реализующей эту функцию.

Для построения логической схемы необходимо ЛЭ, предназначенные для выполнения логических операций указанных в булевой функции,

располагать от входа в порядке, определяемом логическим выражением.

Например, пусть задана следующая булева функция:

f(x1,x2,x3 ) x1x2x3

x1x2x3

x1x2x3

x1x2x3.

(5.3)

Обычно используют следующий алгоритм построения логической схемы в соответствии с ФАЛ, представленной в виде ДНФ:

1)с левой стороны задаются все переменные, входящие в логическое выражение;

2)при помощи логических элементов НЕ задаются инверсии заданных переменных;

3)логическими элементами И задаются элементарные конъюнкции логического выражения;

4)выходы логических элементов И подключаются ко входам логического элемента ИЛИ. Выход логического элемента ИЛИ служит выходом всей схемы логического устройства.

На рис. 5.7 приведена схема логического устройства, полученная в соответствии с указанным алгоритмом. Для соединения логических элементов использованы вертикальные соединительные линии. В целях проверки правильности соединений после каждого логического элемента рекомендуется указывать реализованное логическое подвыражение.

Рис. 5.7. Структурная схема, реализующая СДНФ (а), схема, реализующая минимизированную форму (б)

Если минимизировать функцию 5.3. с помощью карты Карно, можно получить:

f x2x3 x1x3 x1x2.

(5.4)

Таким образом, вместо четырех слагаемых третьего ранга (5.3)

получили три слагаемых второго ранга (5.4). Схема, соответствующая (5.4)

приведена на рис. 5.7, б.

Соседние файлы в папке Лекций