k1-02

ЗАДАНИЕ К1-12

Дано: уравнения движения точки в плоскости ху: x 3 6 sin 6t , y 4 6 cos 2 6t ; t1 1 с.

Найти: уравнение траектории точки; скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорение и

радиус кривизны траектории в момент t t1.

РЕШЕНИЕ:

1.

Уравнение

траектории.

Для

определения

у

уравнения траектории точки исключим время

t

из

заданных уравнений движения.

4

Воспользуемся

свойством

тригонометрических

функций

sin2 cos2 1 . Тогда

t

2

3 х

2

t 2

4 y

4

10 х

sin

,

cos

и

–2

6

6

6

6

(3 x)

2

4 y

1

и

y

(3 x)2

2 .

Это

-2

36

6

6

уравнение параболы.

2. Скорость точки. Скорость найдем по ее проекциям на координатные оси: v v2

v2

, где

x

y

v

dx

cos t ,

v

dy

cos t sin t

sin

t . При t t =1 с

x

y

dt

6

dt

3

6

6

6

3

1

sin

v x cos

3

2,72 (см/с), v y

3

0,45 (см/с),

6

3

12

2

6

v2,722 0,452 2,76 (см/с).

3.Ускорение точки. Находим аналогично: a ax2 a2y ,

dv x

2

t

dv y

2

t

2

2

2

a

x

sin

, a

y

cos

и при

t t =1

с a

x

sin

0,82 (см/с ),

dt

6

6

dt

18

3

1

6

6

12

2

cos 2

a

y

0,27

(см/с2),

a

0,822

0,272

0,87 (см/с2).

18

3

36

4. Касательное ускорение. Найдем, дифференцируя равенство v2 v2

v2 . Получим

x

y

2v

dv

2v

dv

x

2v

dvy

,

откуда

a

vxax vyay

и

при

t t =1

с

dt

x

dt

y

dt

v

1

a 2,72 0,82 0,45 0,27

0,76 (см/с2).

2,76

5. Нормальное ускорение.

a

n

a

2 a

2

0,872

0,762

0,42 (см/с2).

6. Радиус кривизны траектории.

v 2

2,762

18,1(см).

an

0,42

v	a	a	an
см/с		см/с2		см
2,76	0,87	–0,76	0,42	18,1