теория вероятности / Билет гауса

Билет №8

2) Для уничтожения колонии микроорганизмов ее обрабатывают последовательно двумя препаратами. Вероятность уничтожения первым препаратом – 0,7, вторым – 0,4, причем их действия независимы. Найти вероятность того, что после действия обоих препаратов колония не будет уничтожена.

Решение:

Поскольку действия препаратов независимы, то искомую вероятность найдем как произведение вероятностей событий «колония не будет уничтожена первым препаратом» и «колония не будет уничтожена вторым препаратом», т.е.:

3) Найти дисперсию для данного распределения:

Решение:

Имеем равномерно распределенную на интервале случайную величину, а дисперсия равномерно распределенной на интервале величины вычисляется по формуле:

Тогда:

4) В нормальном законе распределения . Чему равна вероятность того, что случайная величина принимает значения от 3 до 10?

Решение:

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение из интервала равна:

функция Лапласа, значения которой протабулированы.

Тогда:

5) Обработать ряд прямых измерений : 71; 79; 75; 74; 77.

Решение:

Вычисляем числовые характеристики:

- среднее значение:

- дисперсия выборки:

- среднее квадратическое отклонение:

- исправленная дисперсия:

- исправленное среднее квадратическое отклонение:

Доверительный интервал для математического ожидания произвольно распределённой случайной величины имеет вид:

Где определяется из соотношения . В нашем случае доверительная вероятность

Имеем:

Находим в таблице функции Лапласа значение . Тогда доверительный интервал для математического ожидания:

Т.е. с вероятностью 0,95 истинное значение измеряемой величины лежит в интервале .

6) Кость бросают 8 раз, какова вероятность того, что 4 очка выпадет дважды?

Решение:

Считаем, что кость – правильная, т.е. вероятности выпадения 4 очков при одном броске кости равна: . Вероятность же того, что выпадет число очков, отличное от четырех:

Т.к. броски – независимы, а вероятность выпадения заданного числа очков – постоянна, то имеем испытания по схеме Бернулли, вероятности в которой вычисляются по одноименной формуле:

И вероятность того, что 4 очка выпадет дважды при 8 бросках кости равна:

7) Имеются 3 одинаковых урны с черными и белыми шарами. В первой находятся 2 белых и 3 черных шара, во второй – 3 белых и 1 черный, в третьей – 2 белых и 2 черных. Определить вероятность выбора белого шара из наугад выбранной урны.

Решение:

Т.к. урны выбираются наугад, то вероятности выбрать любую из них равны между собой:

Найдем условные вероятности вынуть белый шар из каждой урны как отношение числа белых шаров в урне к общему числу шаров:

И вероятность выбора белого шара из наугад выбранной урны находим по формуле полной вероятности: