1 Выполнение задачи №1 «Сложение синусоидальных сигналов со сдвигом фаз. Теорема косинусов»

Для начала сформулируем необходимые для работы определения.

Сигнал- физический процесс, отображающий сообщение в удобной для передачи по каналу связи форме.

Фаза колебаний — аргумент периодической функции, {\displaystyle \sin(\omega t+\varphi _{0})} {\displaystyle \sin(\omega t+\beta x+\varphi _{0})}описывающей соответственно колебательный или волновой процесс.

Амплитуда колебаний — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Построим на оси времени две синусоиды и их суммирующую волну, при заданных значениях периода(T), времени(t) и фазы(ᵩ) (Рисунок1.2).

В рисунке 1.1 представим начальные параметры.

Рисунок 1.1-начальные параметры

Рисунок 1.2 – две синусоиды и их суммирующая волна при фазе = 0

Заметим, что при фазе равной нулю амплитуда колебаний графика суммы двух синусоид равна 2 и что графики S1 и S2 принимают одинаковые значения (рисунок 1.2).

Теперь построим две синусоиды и их суммирующую волну, при этом изменив значение фазы на (Рисунок 1.3).

Рисунок 1.3 – две синусоиды и их суммирующая волна при фазе равной

Заметим, что при фазе равной амплитуда колебаний графика суммы двух синусоид равна 1.9 и что график S2 отстаёт от графика S1 из-за сдвига фаз(рисунок 1.3).

Сдвиг фаз- разность между начальными фазами двух переменных величин, изменяющихся во времени периодически с одинаковой частотой.

Теперь построим две синусоиды и их суммирующую волну, при этом изменив значение фазы на π (Рисунок 1.4).

Рисунок 1.3 – две синусоиды и их суммирующая волна при фазе = π

Заметим, что при фазе равной π амплитуда колебаний графика суммы двух синусоид равна 0, так как графики S1 и S2 находятся в противофазе (рисунок 1.3).

Противофаза – момент совпадения максимума одного колебания с моментом минимума другого.

Поэтому при сложении таких графиков получаем ноль.

Теперь построим две синусоиды и их суммирующую волну, при этом изменив значение фазы на (Рисунок 1.4) .

Рис. 1.4 – две синусоиды и их суммирующая волна при фазе

Заметим, что при фазе равной амплитуда колебаний графика суммы двух синусоид равна 1.6 и что график S2 отстаёт от графика S1 из-за сдвига фаз(рисунок 1.4).

Теперь построим две синусоиды и их суммирующую волну, при этом изменив значение фазы на 2 (рисунок 1.5).

Рисунок 1.5 - две синусоиды и их суммирующая волна при фазе 2π

Заметим, что при фазе равной 2π амплитуда колебаний графика суммы двух синусоид равна 2 и что графики S1 и S2 принимают одинаковые значения (рисунок 1.5).

Вывод: при построении графиков я заметил закономерность, что при фазе [0;π] амплитуда графика суммы двух синусоид уменьшается, а при фазе [π;2π] увеличивается.

Правило параллелограмма- если два неколлинеарных вектора a и b привести к общему началу, то вектор с=а+b совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах a и b (рисунок 1.6). Причем начало вектора c совпадает с началом заданных векторов.

Рисунок 1.6 – правило параллелограмма

Для нахождения суммы векторов необходимо:

1. Отложить от точки A вектор АВ равный а и вектор АС равный b;

2. Достроить фигуру до параллелограмма и провести диагональ;

3. Диагональ параллелограмма- это сумма векторов.

Из правила параллелограмма следует теорема косинусов (рисунок 1.7):

Рисунок 1.7- теорема косинусов

Где ᵩ-угол между A и B

А и В- складываемые векторы

Если взять вектора а и b равными 1, то получим выражение(Рисунок 1.10):

Рисунок 1.10- выражение, полученное из теоремы косинусов

В полярных координатах построим график зависимости длины результирующего вектора от угла ᵩ=0 . . 2π (Рисунок 1.11).

Рисунок 1.11 – график зависимости длины результирующего вектора от угла ᵩ=0 . . 2π

Теперь сравним длины результирующего вектора и амплитуды суммы двух гармонических функций S3(t) при одинаковых углах ᵩ (рисунок 1.12).

Рисунок 1.12- сравнение длины результирующего вектора и амплитуды суммы двух гармонических функций

Вывод: Длина результирующего вектора равна амплитуде суммы двух гармонических функций при одинаковых углах ᵩ