Теоретические основы электротехники-2
.pdfГлава 14. Цепные схемы. Электрические фильтры. Структурные схемы |
193 |
цепную схему, а соединение всех четырехполюсников цепной схемы при соблюдении указанных условий называют х а р а к т е р и с т и ч е с к и с о г л а с о в а н - н ы м с о е д и н е н и е м.
Так как при согласовании Zk âûõ Zk âõ, то при этом можно опускать индексы, указывающие выход и вход, и писать просто Zk. Характеристические сопротивления принято отмечать дополнительным индексом c. Соответственно характеристические сопротивления k-го четырехполюсника обозначаются — на входе
Zkc и на выходе Z(k+1)c.
В дальнейшем, поскольку рассматриваемые свойства будут справедливы для любого k-го четырехполюсника, с целью упрощения индексации будем рассматривать первый четырехполюсник и, соответственно, полагать k 1 è k + 1 2.
Рассматривая отдельно первый четырехполюсник при условии согласования,
мы должны полагать его замкнутым на сопротивление нагрузки Z2c. Пользуясь |
|||||||||||||||||||||||
системой A-параметров четырехполюсника и учитывая, что U |
Z |
2c |
I |
, можем |
|||||||||||||||||||
написать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
A U |
|
B I |
(A Z |
2c |
|
B )I |
; |
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
1 |
2 |
|
1 2 |
|
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
I |
C U |
2 |
|
D |
I |
(C Z |
2c |
D |
)I |
2 |
. |
|
|
|
|
||||||||
1 |
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Разделив первое уравнение на второе, получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
U |
|
A Z |
2c |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Z |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
I |
|
C Z |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2c |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В § 13.1 было сказано, что для четырехполюсника со стороны выходных зажимов уравнения остаются теми же самыми, и только À è D меняются местами. Учитывая это, а также то, что нагрузочное сопротивление теперь будет Z1 Z1c, для выходного сопротивления первого четырехполюсника получаем формулу
Z 2c D1Z1c B1 . C1Z1c A1
Решив совместно два последних уравнения, находим
Z |
|
|
A1B1 |
; Z |
|
|
D1B1 |
. |
1c |
|
2c |
|
|||||
|
|
C1D1 |
|
|
C1A1 |
|||
|
|
|
|
|
|
Для симметричного четырехполюсника имеем Z1c Z2c Zc B1C1 . Â ýòîì
случае характеристическое сопротивление называется п о в т о р н ы м с о п р о - т и в л е н и е м, так как, нагружая четырехполюсник на сопротивление Zc, на входе четырехполюсника будем иметь такое же сопротивление Zc. Полученные два параметра Z1c è Z2c недостаточны для описания свойств четырехполюсника, так как в общем случае четырехполюсник характеризуется тремя независимыми параметрами. Необходимо ввести еще один параметр, связывающий процессы на входе и выходе.
Определим третий характеристический параметр из соотношения
Ρ |
|
1 |
ln |
U1I1 |
. |
|
|
||||
1 |
|
2 U 2 I 2 |
|||
|
|
194 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
Величина Г называется м е р о й п е р е д а ч и четырехполюсника. В системе
A-параметров, определив отношенияU1 |
U 2 è I1 |
I 2 через характеристические со- |
||||||||||||||||||||
противления, путем простых преобразований можно получить |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
B C A |
|
|
|
|
B C D |
1 |
|
ln |
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ρ |
|
ln A |
|
1 1 1 |
|
D |
|
|
1 1 |
|
|
A D |
|
|
|
B C |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||
1 |
2 |
) |
1 |
|
|
D1 |
|
|
|
|
A1 |
|
|
, |
|
1 |
|
|
1 1 |
|
||
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
Для симметричных четырехполюсников вследствие равенства A D при наличии согласования имеют место соотношения:
|
|
U1 |
I1 Z c |
U 2 I 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
B1C1 |
||||||||||||
|
|
è Ρ1 ln A1 |
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому U |
U |
I |
I |
eΡ1 |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ρ ln |
U1 |
|
ln |
U1 |
ej u1 u 2 ln |
U1 |
j( |
|
|
|
) jΠ. |
||||||
|
|
|
|
u |
u |
||||||||||||
|
1 |
U 2 |
|
|
U 2 |
|
|
U 2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина ln U1 показывает, насколько изменяется по модулю при перехо-
U 2
де через четырехполюсник напряжение (или ток), и носит название к о э ф ф и - ц и е н т а з а т у х а н и я , так как U2/U1 I2/I1 e– . Величина Π u1 u2 показывает, насколько изменяется фаза напряжения (или тока), и носит название к о э ф ф и ц и е н т а ф а з ы. Безразмерные величины и Π измеряются: — в неперах (Íï) è Π — â радианах (ðàä). Åñëè . Нп, то это означает, что напряжение U2 меньше напряжения U1 â 2,718 ðàçà.
На практике такая единица затухания часто оказывается слишком большой,
и поэтому используется еще одна единица измерения затухания, называемая äåöè-
1
áåë (дБ). При этом надо писать 20 lg U1 . Åñëè 1 äÁ, òî U1/U2 10 20 1,12.
U 2
Очевидно, имеют место равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 Íï 8,686 äÁ; 1 äÁ 0,115 Íï. |
|
||||||||||||||||||||||
Òàê |
êàê |
|
eΡ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
A |
D |
|
|
– B |
C |
|
1, то легко заметить, что |
||||||||||
|
A D |
1 |
|
B C |
|
|
1 |
|
1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
e Ρ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
A D |
1 |
|
B C . Для гиперболических синуса и косинуса от аргумента Г |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch Ρ |
|
|
|
1 |
Ρ1 |
|
|
Ρ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
) A D |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e |
|
|
1 |
; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh Ρ |
|
|
|
1 |
Ρ1 |
|
|
Ρ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
) B C ; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cth Ρ |
|
|
|
A1D1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
B1C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выразим A-параметры четырехполюсника через характеристические. Не приводя достаточно простых выкладок, можно записать
Глава 14. Цепные схемы. Электрические фильтры. Структурные схемы |
195 |
|
|
|
Z1c |
ch Ρ ; |
B |
|
|
|
|
|
|
|
sh Ρ ; |
||||||||||
|
A = |
Z |
1c |
Z |
2c |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
Z 2c |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
C = |
|
1 |
|
|
|
sh Ρ ; D |
|
|
Z 2c |
|
ch Ρ . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
Z1c Z |
2c |
1 |
|
1 |
|
|
|
Z1c |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В частности, уравнения симметричного четырехполюсника в системе A-ïàðà- |
|||||||||||||||||||||||
метров можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
U |
U |
ch Ρ I |
|
Z |
sh Ρ |
; I |
U |
sh Ρ1 |
I |
ch Ρ . |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
c |
1 |
|
1 |
|
|
|
2 Z c |
2 |
1 |
Наиболее простые выражения для характеристических сопротивлений можно получить, если выразить их через параметры холостого хода и короткого замыкания. Учитывая, что A1/C1 Z10; B1/D1 Z1ê; D1/C1 Z20 è B1/A1 Z2ê, имеем
|
Z1c |
Z10 Z1ê |
; |
Z 2c |
Z 20 Z 2ê |
; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
th Ρ |
|
Z1ê |
|
|
Z 2ê |
; sh Ρ |
|
Z1ê |
. |
||
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
Z10 |
|
|
Z 20 |
1 |
|
Z10 Z1ê |
|||
|
|
|
|
|
|
Замещая симметричное звено эквивалент- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ной Т- или П-образной схемой, введем для па- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
раметров этих схем обозначения, показанные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
íà ðèñ. 14.2, отличающие от ранее принятых, но |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
более удобные для цепных схем и фильтров. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
При этом характеристические параметры запи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 14.2 |
|||||||||||||||||||||
шутся через параметры эквивалентных схем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
â âèäå: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для Т-схемы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
1 |
|
|
|
|
|
|
Z |
Z |
2 |
Z 2 |
4 |
|
|||||
Z |
|
Z |
|
Z |
Z |
|
1 |
|
|
|
; th Ρ |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
; |
||||||||||
c |
c ò |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
4Z 2 |
|
|
1 |
|
|
|
Z1 |
|
2 Z 2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
для П-схемы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
Z c ï |
|
|
|
|
|
|
Z |
Z |
2 |
|
|
|
|
; th Ρ1 |
|
|
|
Z |
Z |
2 |
|
|
||||||||
Z c |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Z 2 |
|
|
|||||||||||||
|
Z1 (4Z 2 ) |
|
Z1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.2. Передаточные функции согласованных цепных схем
В предыдущем параграфе мы дали определение цепных схем как последовательности каскадно соединенных четырехполюсников. При наличии характеристи- ческого согласования легко определить передаточные функции по напряжению и по току, если имеются характеристические параметры отдельных звеньев. Из определения меры передачи при характеристическом согласовании (см. рис. 14.1) для входящего в каскад k-гo четырехполюсника имеем
U k I k e2Ρk ; U k I k Z kc ; U k 1 I k 1Z k 1, c ,
U k 1I k 1
196 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
и, следовательно, передаточные функции по напряжению и току k-ro звена будут
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
U |
|
|
|
|
Z k 1, c |
|
|
|
Ρ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
k , |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
U |
|
U k |
|
Z kc |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
K |
k |
|
|
I k 1 |
|
|
Z kc |
eΡk . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
k |
1, c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Передаточные функции всей цепной схемы будут |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Z n 1, c |
|
Ρk |
|
||||||||||
K |
|
|
|
|
|
n 1 |
K |
|
K |
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e k 1 |
; |
|||||||
|
U |
|
|
U1 |
|
|
U |
U |
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z1c |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
I n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ρk |
|
|
|
|
|
|
K |
1 K 2 K |
n |
|
|
|
|
|
|
|
Z |
1c |
|
|
|
||||||||||||||||
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
e k 1 . |
|||||||||||||||||||||||||
I |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
I |
|
I |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1, c |
|
|
|
Äëÿ однородной цепной схемы, составленной из одинаковых симметричных звеньев, имеем
K |
|
K |
|
e |
nΡ |
, |
U |
I |
1 |
||||
|
|
|
|
|
òàê êàê ïðè ýòîì Zn+1, c Z1c è Ã1 Ã2 ... Ãn.
14.3. Электрические фильтры
Четырехполюсники, частотные характеристики передаточных функций которых имеют резко выраженную избирательность для отдельных частот или полос частот, называют ч а с т о т н ы м и э л е к т р и ч е с к и м и ф и л ьт р а м и или, просто, э л е к т р и ч е с к и м и ф и л ьт р а м и. Правильно сконструированный фильтр должен пропускать к приемнику сигналы практически без изменения их амплитуды в некотором диапазоне частот, называемом п о л о с о й п р о п у с к а - н и я или з о н о й п р о з р а ч н о с т и, и не пропускать сигналы, частоты которых лежат вне полосы пропускания, т. е. находятся в так называемой п о л о с е з а - д е р ж и в а н и я. По виду полосы пропускания различают: ф и л ьт р ы н и ж - н и х ч а с т о т , полоса пропускания которых лежит в диапазоне от 0 до
ñ; ф и л ьт р ы в е р х н и х ч а с т о т , полоса пропускания которых находится в диапазоне от ñ до ; п о л о с о в ы е ф и л ьт р ы , полоса пропускания которых лежит в диапазоне от = 1 äî = 2 и, наконец, з а г р а ж д а ю -
щ и е ф и л ьт р ы, полоса пропускания которых находится в диапазоне от 0 до 1 è îò 2 до . Фильтры последнего типа не пропускают сигналы, частоты которых лежат в диапазоне от 1 äî 2.
Вышеприведенная классификация фильтров не единственная, так как фильтры можно также классифицировать по характеру их элементов. Элементом в теории фильтров называют каждую индуктивную катушку, каждый конденсатор, каждый резистор или другие определяющие процесс детали, из которых собирается фильтр. В зависимости от вида элементов фильтры разделяются на следующие типы: р е а к т и в н ы е, состоящие из реактивных катушек и конденсаторов;
Глава 14. Цепные схемы. Электрические фильтры. Структурные схемы |
197 |
б е з ы н д у к ц и о н н ы е, состоящие из конденсаторов и резисторов; п ь е з о -
ýл е к т р и ч е с к и е, состоящие главным образом из кварцевых пластин, и др. Классификация может быть осуществлена также по способу соединения эле-
ментов и по числу отдельных звеньев.
Далее рассмотрим фильтры, состоящие из реактивных элементов, собранных в цепные схемы. При этом сможем использовать соотношения, полученные в предыдущих главах, содержащих теорию четырехполюсников.
Воспользуемся характеристическими параметрами четырехполюсников для выработки некоторых общих положений, которым должны удовлетворять фильтры. Наиболее простой путь получения желаемой частотной характеристики передаточной функции заключается в том, что фильтр разделяется на отдельные четырехполюсники, которые соединяются между собой в виде характеристически согласованных цепных схем. При этом коэффициент затухания ( ) всей цепной схемы получается как сумма коэффициентов затухания отдельных четырехполюсников — отдельных звеньев. Наиболее простые выражения полу- чаются для меры передачи Г при характеристическом согласовании всей цепной схемы между ее звеньями и с сопротивлениями источника и приемника. Однако точное согласование возможно только для определенной частоты. Насколько это практически выполнимо в диапазоне частот, будет изложено в следующих параграфах. Рассмотрим, каким условиям должны удовлетворять элементы реактивного фильтра, чтобы в полосе пропускания было наименьшее искажение сигнала. В идеальном случае мы должны обеспечить нулевое затухание сигнала ( 0). Действительно, при полном характеристическом согласовании
|
|
U âõ |
e jΠ èëè |
ln |
U âõ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
U |
|
U |
âûõ |
|
|
|
|
||
âûõ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
При 0 имеем Uâûõ Uâõ. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для меры передачи всей цепной схемы получаем |
|
|
|
|||||||
th Ρ th( jΠ |
sh ch + jsinΠcosΠ |
|
|
sh2 |
j |
sin2Π |
. |
|||
|
ch2 cos2Π |
ch2 cos2Π |
||||||||
|
|
sh2 cos2 Π |
|
|
|
Равенство 0 означает, что th Г является мнимой величиной. Но для th Г имеем еще выражение:
th Ρ th( jΠ) |
Z1ê |
||||
Z10 |
|||||
è ïðè 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
th Ρ j tg Π |
Z1ê |
. |
|||
|
|||||
|
|
Z10 |
|
|
|
Отсюда вытекает, что отношение Z1ê /Z10 должно быть величиной отрицательной. Если имеем частотные зависимости Z1ê è Z10 для цепи, состоящей только из реактивных элементов, то, пользуясь ими, можем сразу же указать полосы пропускания и полосы задерживания. Например, для цепи, показанной на рис. 14.3, частотные зависимости Z1ê è Z10, которые были рассмотрены в § 6.3, 6.6, приведены на рис. 14.4.
198 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
|
Из рисунка видно, что для данной схемы при |
|
сопротивлении нагрузки, равном Z2c, и сопротивле- |
|
нии источника Z1c имеются две полосы пропускания |
|
(2 è 4), когда x10 è x1ê имеют разные знаки, и три по- |
|
лосы задерживания (1, 3 è 5), когда x10 è x1ê имеют |
|
одинаковые знаки. |
|
Нетрудно заметить, что в полосе пропускания ко- |
|
эффициент фазы Π меняется, а в полосе задерживания |
|
он остается неизменным. Действительно, в полосе за- |
Ðèñ. 14.3 |
держивания знаки x10 è x1ê одинаковы, и поэтому |
th à — вещественная величина, т. е. sin Π · cos Π 0, |
è åñëè 0, òî Π 0, #2, #, 3#2, /#, 5 #2, Σ#...
На рис. 14.4 показана зависимость ( ) для рассматриваемой цепи (рис. 14.3).
|
Желательная частотная характеристика, которая |
|
|
в идеальном случае должна иметь диапазоны частот |
|
|
с нулевым затуханием и диапазоны частот с беско- |
|
|
нечно большим затуханием, недостижима даже при |
|
|
полном согласовании звена из реактивных элемен- |
|
|
тов с источником и нагрузкой. Как видно из рис. 14.4, |
|
|
коэффициент затухания в полосах задерживания не |
|
|
равен бесконечности. С целью получения больших |
|
Ðèñ. 14.4 |
значений коэффициентов затухания фильтр состав- |
|
ляют из нескольких таких звеньев, соединенных кас- |
||
|
кадно, так как при этом при наличии характеристического согласования коэффициенты затухания отдельных звеньев суммируются.
Кроме того, трудность получения желаемых характеристик заключается еще и в том, что для полного согласования в диапазоне частот сопротивления приемника и генератора должны изменяться с изменением частоты по такому же закону, как и характеристические сопротивления
фильтра. Последнее трудно осуществимо. Рассмотрим простейшие звенья, из кото-
рых можно получить составные многозвенные фильтры.
|
В § 13.2 было показано, что минимальное |
|
|
число ветвей эквивалентной схемы четырех- |
|
|
полюсника в общем случае равно трем. По- |
|
|
этому простейшей эквивалентной схемой |
|
Ðèñ. 14.5 |
звена являются эквивалентные Т-образные и |
|
П-образные схемы. Однако эти схемы, в свою |
||
|
очередь, можно представить в виде каскадного соединения двух еще более простых Г-образных схем (рис. 14.5).
Таким образом, исследование и конструирование сложных многозвенных фильтров при характеристическом согласовании сводится к исследованию про-
Глава 14. Цепные схемы. Электрические фильтры. Структурные схемы |
199 |
стейших Г-, П- и Т-образных звеньев, причем каждая ветвь этих звеньев, в свою очередь, может содержать несколько элементов. Для таких схем характеристиче- ские параметры можно определить особенно просто. Например, для Г-образной схемы (рис. 14.6) характеристическое сопро-
тивление со стороны «П-входа», обозначаемое Zc ï, определится просто:
|
|
|
|
|
Z1Z 2 |
|
|
|
(Z1Z 2 )12 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Z c ï Z10 Z1ê |
2Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
2Z 2 Z1 |
2 |
|
[1 Z1 (4Z |
1 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 )] 2 |
|
Ðèñ. 14.6 |
Характеристическое сопротивление со стороны «Т-входа», обозначаемое Zc ò, определится в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Z |
1 |
|
|
|
|
|
|
Z |
1 |
|
Z |
|
|
|
1 |
|
|
Z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
2Z |
|
|
|
|
|
|
Z |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
c ò |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
4Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Для меры передачи имеем формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z12 |
|
|
|
|
|
th Ρ th( jΠ) |
|
|
|
Z ïê |
|
|
|
|
Z òê |
|
|
|
Z1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
Z |
ï0 |
|
|
Z |
ò0 |
|
2Z |
2 |
Z |
1 |
2 |
|
|
|
4(Z Z |
2 |
Z 2 |
4) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
Ðèñ. 14.7
Г-образные звенья используются для согласования сопротивлений нагрузки (Zïð) и источника (Zèñò) и согласования Т- и П-образных звеньев между собой. Пример сложного составного фильтра приведен на рис. 14.7.
14.4. Электрические фильтры нижних частот типа k
В предыдущем параграфе для характеристических параметров мы получили выражения, куда входит произведение Z1Z2. Расчет существенно облегчается, если Z1Z2 — величина положительная, не зависящая от частоты, и вещественная, т. е. Z1Z2 k R02 . Фильтры, где есть это условие, называют ф и л ьт р а м и т и п а k.
Если рассмотреть Г-схему (см. рис. 14.6), то очевидные физические соображения подскажут, что при достаточно больших частотах напряжение U2 будет при заданном U1 мало в том случае, если на выходе
(в ветвь Z2) включен конденсатор, так как при этом с
ростом частоты величина Z2 будет стремиться к нулю. Ток в приемнике с ростом частоты будет тем меньше, чем больше сопротивление Z1 при высоких частотах, т. е. если Z1 является индуктивным сопротивлением. Таким образом, Г-образная схема, пока-