247 задача

Задача №247

Даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Записать частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

, , .

Решение:

Общее решение данного уравнения имеет вид: .

Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: . Корнями этого уравнения являются и . Т.к. решения действительные различные числа (первый случай), то или .

Теперь найдём . Для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция и числа не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение . Если же числа являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение .

Применяя эту теорему при , имеем:

.

Дифференцируем последнее равенство, находим :

.

Подставив в данное уравнение и , получим:

,

откуда .

Следовательно, и

.

Найдем :

.

Используя начальные условия, получим систему

откуда .

Следовательно, есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.