КР №3 Вариант 97 Цимбалист

Задание на контрольную работу №3 Вариант 97

Задание №1(227)

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка.

. Решение задачи

Задание №2(247)

Даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Записать частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

, , .

Решение:

Общее решение данного уравнения имеет вид: .

Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: . Корнями этого уравнения являются и . Т.к. решения действительные различные числа (первый случай), то или .

Теперь найдём . Для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция и числа не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение . Если же числа являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение .

Применяя эту теорему при , имеем:

.

Дифференцируем последнее равенство, находим :

.

Подставив в данное уравнение и , получим:

,

откуда .

Следовательно, и

.

Найдем :

.

Используя начальные условия, получим систему

откуда .

Следовательно, есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.

Задание №3(267)

В ящике лежат 10 белых и 5 красных шаров, одинаковых на ощупь. Вынули наугад 6 шаров. Какова вероятность того, что четыре из них белые?

Всего	Белых шаров	Красных шаров
15	10	5
6	4	2

А - вынули 4 белых и 2 красных шара

Вероятность события А расчитывается по формуле:

Найдем число всевозможных событий по формуле:

Найдем число благоприятных событий по формуле:

= 0,419

Ответ: Вероятность события А равна 0,419

Задание №4(287)

Всхожесть семян ржи составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из восьми посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее шести.

По условию задачи

А – Семя взойдет

p

q

n=8 – число испытаний

а)

б) Пусть µ₈ число взошедших семян из n=8 посаженых. Надо найти вероятность

Так как события { µ₈ = 6} и { µ₈ = 8} несовместны, то

Найдем

Тогда:

Задание №5(307)

При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% стандартных. Определите: а) наивероятнейшее число и вероятность наивероятнейшего числа стандартных клемм в партии из 900 клемм; б) вероятность наличия от 790 до 820 годных клемм в этой партии.

Дано:

p = 0,90

k₁ = 790

k₂ = 820

n = 900

Найти: 1) = ? 2) k₀ = ? 3)

Решение:

1. Вероятность того, что клемма, полученная при штамповке, будет нестандартной, определяется как

q = 1 – p = 0,1.

Общее число клемм в партии составляет n, следовательно, можно говорить о n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность того, что клемма будет признана стандартной, составляет p. Тогда в соответствии с интегральной теоремой Лапласа вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р, событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, приближенно равна

где – функция Лапласа,

В нашем случае:

Используя табулированные значения функции Лапласа, получаем

Следовательно,

2. Наивероятнейшее число k₀ стандартных клемм высчитывается из следующего неравенства:

,

где в нашем случае n = 900; p = 0,9; q = 0,1:

Учитывая, что k₀ – целое число, k₀ = 810.

3. Поскольку k₀ велико, вероятность наивероятнейшего числа попаданий высчитывается при помощи локальной теоремы Лапласа:

где

Подставляя исходные данные, вычисляем аргумент функции Лапласа

далее воспользуемся табличным значением функции φ(x):

Тогда

Ответ: 1) 0,8533; 2) 810; 3) 0,0443.

Задание №6(327)

Задан закон распределения случайной величины X (в первой строке таблицы даны возможные значения величины X, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).

Вычислить: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(Х); 3) среднее квадратическое отклонение σ.

	110	120	130	140	150
	0,2	0,3	0,3	0,1	0,1

Решение:

Математическое ожидание дискретной случайной величины X числа появлений события А в i независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p_i, равно

Дисперсия дискретной случайной величины X равна

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно

Ответ: 1) М(Х) = 126; 2) D(Х) = 144; 3) σ = 12.