Задача №97

В двух цилиндрах, имеющих объемы V₁ = 3 л и V₂ = 5 л, находится одинаковый газ при давлениях P₁ = 0,4 МПа и P₂ = 0,6 МПа и температурах T₁ = 270 °С и T₂ = 127 °С. Цилиндры соединяют трубкой с краном. Определите, какая температура Т и какое давление Р установятся в цилиндрах после того, как кран соединительной трубки будет открыт.

Дано:

V₁ = 3 л = 3∙10^-3 м³

V₂ = 5 л = 5∙10^-3 м³

P₁ = 0,4 МПа = 0,4∙10⁶ Па

P₂ = 0,6 МПа = 0,6∙10⁶ Па

T₁ = 270 °С = 543 K

T₂ = 127 °С = 400 K

Найти: 1) Т = ? 2) Р = ?

Решение:

Внутренние энергии газа в первом цилиндре, газа во втором цилиндре и газа в цилиндрах после смешивания соответственно равны:

U₁ = bν₁T₁,

U₂ = bν₂T₂ ,

U = b(ν₁ + ν₂)T.

Здесь b – коэффициент пропорциональности, зависящий от природы газа (для одноатомного газа b = 3R/2); ν₁ – число молей газа в первом цилиндре; ν₂ – число молей газа во втором цилиндре; R – универсальная газовая постоянная.

Согласно закону сохранения энергии

U = U₁ + U₂,

следовательно,

ν₁T₁ + ν₂T₂ = (ν₁ + ν₂)T.

Отсюда искомая температура после открытия крана

Из уравнений состояния до смешивания газов следует, что:

P₁V₁ = ν₁RT₁,

P₂V₂ = ν₂RT₂.

Выразим отсюда количество вещества газа в каждом баллоне:

Подставив значения ν₁ и ν₂ в формулу температуры, получим

Аналогично из уравнения состояния для смеси газов

получаем, что давление, установившееся в системе, будет равно

Подставляя исходные данные и проверяя размерность, имеем

Ответ: 1) 432,5 K; 2) 0,525 МПа.