2298 ЭИ

2298		М И Н И С Т Е Р С Т В О Т Р А Н С П О Р Т А Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И
		Ф Е Д Е Р А Л Ь Н О Е А Г Е Н Т С Т В О П У Т Е Й С О О Б Щ Е Н И Я
	СамГУПС		САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
			УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

К а ф е д р а в ы с ш е й м а т е м а т и к и

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, РАБОЧАЯ ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

	Ч А С Т Ь						1
	у ′		у
		7
		5
		3
							π / 8
	–9 –7 –5 О′	–3				3
			О				5 7 9
					1
								х, х′
		–5

–7

–9

Cамара

2009

УДК 519.7

Высшая математика : Методические указания, рабочая программа и контрольные задания для студентов заочной формы обучения инженернотехнических специальностей. Часть 1 / составители : Ю.В. Гуменникова, Л.В. Кайдалова, О.Е. Лаврусь. – Самара : СамГУПС, 2009. – 71 с.

Утверждены на заседании кафедры 11.02.2009 г., протокол № 6 от 11.2.09. Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

Методические указания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом, с действующей программой по высшей математике для технических специальностей и охватывают разделы линейная алгебра, аналитическая геометрия, комплексные числа, введение в математический анализ, численные методы решения нелинейных уравнений.

В методических указаниях приведены индивидуальные задания, необходимые теоретические сведения, а также примеры решения задач.

Предназначены для студентов 1-го курса инженерно-технических специальностей заочной формы обучения.

Ил. 24. Табл. 7. Библиогр.: 8 назв.

Составители: Ю.В. Гуменникова, к. т. н., доцент, Л.В. Кайдалова, к. ф.-м. н., доцент, О.Е. Лаврусь, к. т. н., доцент

Рецензенты: к. ф.-м. н., доц. СамГУ	Воскресенская Л.А.,
доцентСамГУПС	Маркович О.Ф.

Под редакцией составителей

Подписано в печать 19.03.2009. Формат 60 × 90 1/16. Заказ № 32.

♥Гуменникова Ю.В., Кайдалова Л.В., Лаврусь О.Е.,2009

♥Самарский государственный университет путей сообщения, 2009

2

П О Р Я Д О К В Ы П О Л Н Е Н И Я И З А Щ И Т Ы К О Н Т Р О Л Ь Н Ы Х Р А Б О Т П О В Ы С Ш Е Й

МА Т Е М А Т И К Е

1.Выполнение учебного задания проводится по графику, устанавливаемому кафедрой высшей математики.

2.Решения задач необходимо представлять в письменном виде. Нумерация задач должна совпадать с их нумерацией в учебном задании.

3.Во время защиты студент должен уметь отвечать на теоретические вопросы, пояснять решения примеров из задания, решать примеры аналогичного типа.

4.Студенты, не получившие зачет по контрольной работе, не допускаются к сдаче экзамена по курсу.

5.В семестре выполняются три контрольные работы. Задачи для контрольных работ разбиты на 30 вариантов. Номер варианта контрольных работ определяется остатком от деления на 30 числа, образованного последними двумя цифрами учебного шифра, который стоит в зачетке. Например, студент

сшифром 09-АТС-1083 имеет номер варианта 23:

3083 = 2 3023 .

Если последние две цифры шифра меньше 30, то они и определяют номер варианта.

При выполнении контрольных работ необходимо соблюдать следующие правила:

9 на обложке тетради указать свою фамилию, имя, отчество, предмет, номер учебного шифра и фамилию преподавателя, например,

С а м а р с к и й г о с у д а р с т в е н н ы й у н и в е р с и т е т п у т е й с о о б щ е н и й К а ф е д р а « В ы с ш а я м а т е м а т и к а »

Контрольная работа № 1 по высшей математике ( вариант № 3 )

студента Иванова Сергея Николаевича,

шифр	0 9 - АТС1083
Проверил	доцент Кузнецов В. П.

Cамара – 2009

9представлять решения задач последовательно со всеми развернутыми расчетами и краткими пояснениями;

9рисунки выполнять карандашом с использованием чертежного инструмента;

9проверять правильность решения задач;

9в конце контрольной работы привести список используемых литературных источников, поставить подпись и дату.

3

Р А Б О Ч А Я П Р О Г Р А М М А

1 . А Б С Т Р А К Т Н А Я А Л Г Е Б Р А

1.1.Определение и свойства бинарной алгебраической операции.

1.2.Основные алгебраические структуры: группы, кольца, поля.

2 . Л И Н Е Й Н А Я А Л Г Е Б Р А

2.1.Определители второго и третьего порядков. Основные свойства определителей, минор и алгебраическое дополнение. Понятие об определителе n- ого порядка и его вычислении.

2.2.Матрицы. Их виды. Алгебра матриц. Обратная матрица.

2.3.Решение систем линейных уравнений (СЛУ) методом Крамера и матричным методом.

2.4.Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛУ методом

Гаусса.

3 . В Е К Т О Р Н А Я А Л Г Е Б Р А И А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я

3.1.Векторы. Линейные операции над векторами, их свойства. Базис в пространстве, орты, декартова система координат. Направляющие косинусы.

3.2.Скалярное произведение, его свойства, приложения.

3.3.Векторное произведение. Его свойства. Геометрический и механический смысл векторного произведения. Условие коллинеарности векторов.

3.4.Смешанное произведение. Его свойства, приложения смешанного произведения.

3.5.Линейные (векторные) пространства. Определения и примеры. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Базис и размерность линейного пространства. Евклидовы пространства (общие понятия). Норма вектора в евклидовом пространстве; нормирование векторов.

3.6.Нормальное уравнение плоскости в векторной и координатной формах. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

3.7.Векторное, канонические и параметрические уравнения прямой. Пересечение прямой и плоскости. Деление отрезка в данном отношении. Расстояние от точки до плоскости. Параллельность и перпендикулярность прямых; прямой и плоскости.

3.8.Уравнение линии на плоскости. Простейшие задачи аналитической геометрии.

3.9.Линейные операторы (отображения). Матрица линейного оператора в заданном базисе. Действия с операторами. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при преобразовании базиса.

3.10.Линии второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

3.11.Приведение к каноническому виду кривых второго порядка.

4

3.12.Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Приведение общего уравнения кривых второго порядка к каноническому виду. Приведение общего уравнения поверхностей второго порядка к каноническому виду.

3.13.Цилиндрические и сферические координаты.

3.14.Полярная система координат. Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах.

4 . Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И М Н О Ж Е С Т В

4.1.Понятия множества и подмножества. Операции над множествами.

4.2.Декартово произведение множеств. Мощность множества.

5 . Э Л Е М Е Н Т Ы М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й

ЛО Г И К И

5.1.Понятие о высказывании. Логические операции.

5.2.Булева алгебра высказываний. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы. Кванторы.

6 . К О М П Л Е К С Н Ы Е Ч И С Л А

6.1.Комплексные числа, действия над ними. Изображение комплексного числа на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа.

6.2.Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа. Формула Муавра.

7 . В В Е Д Е Н И Е В М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й А Н А Л И З

7.1.Понятие отображения. Числовые функции одной (ФОП) и нескольких переменных (ФНП), вектор-функция скалярного аргумента. Числовая последовательность. Элементы топологии: определение метрического пространства, предел отображения, пределы ФОП и ФНП.

7.2.Функции и графики. Область определения и область значений функции. Способы задания. Основные элементарные функции. Обратные и сложные функции.

7.3.Числовая последовательность. Предел последовательности. Пределы ФОП и ФНП

7.4.Понятие бесконечно малой (БМ) и бесконечно большой (ББ) величин, их свойства. Простейшие свойства пределов. Сравнение БМ и ББ. Свойства эквивалентных БМ и ББ.

7.5.Предельный переход в равенстве и неравенстве. Признаки существования предела. Первый и второй замечательные пределы и их следствия. Таблица основных эквивалентных БМ.

5

7.6. Непрерывность отображения. Непрерывность ФОП. Односторонние пределы функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке. Непрерывность ФНП.

7.7.Численные методы решения нелинейных уравнений. Отделение корней. Метод половинного деления, хорд и касательных.

7.8.Интерполяция функций. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона.

Б И Б Л И О Г Р А Ф И Ч Е С К И Й С П И С О К

1.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 2004. 376 с.

2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. В 2-х томах. Т. I. М.: Интеграл-пресс, 2007. 416 с.

3.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. М.: Высшая школа, 2007. 416 с.

4.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и практикум. Ч. 1. Под ред. Кремера Н.Ш. М.: Высшее образование, 2005. 486 с.

5.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике (часть 1). М.: Айрис-

пресс, 2004. 288 с.

6.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. СПб.: Профессия, 2008. 432 с.

7.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. СПб.: Профессия, 2007. 200 с.

8.Климова Е.Н., Маркович О.Ф. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Конспект лекций для студентов первого курса всех специальностей и форм обучения. Самара: СамГАПС, 2003. 64 с.

9.Высшая математика. Тренировочные тесты для студентов инженернотехнических и экономических специальностей / А.П. Зубарев, Л.В. Кайдалова; Самара: СамГАПС, 2005. 28 с.

6

1 . З А Д А Н И Я Д Л Я К О Н Т Р О Л Ь Н О Й Р А Б О Т Ы № 1

З А Д А Н И Е № 1

Выполнить указанные действия с матрицами.

Для вариантов 1.1–1.5 вычислить D = (αAT + βB) C.

1.1. α = 3, β = –2,

	1 2	0			5 −1 2
	− 3 5	− 4		,
A =					B = −1 8 6			,
	6 2	− 1				2	3 1
1.2. α = –4, β = 3,
	5 0	−1			− 8 − 3 4
	− 4 3					− 2 0		2		,
А =		7 ,			В =
	0 8					5	3
		−1						− 1

1.3. α = 2, β = –5,

3		− 2	6
	9	0	1
C =					.
	5	− 3	8
3		−1	3
	7	2	1
С =				.
	7	−1	0

									1	3
									2	4
	− 3 2 1 0 − 6																	2 − 5
						,	В =		3 − 6			,
А =																	С =		.
	3 − 7 2 3 10								4 6									1 4
									0	9
1.4. α = 1 / 2, β = –3,										− 7
	0 4 − 6								1							2 7		− 8 0 1
				,			B =		2 −		5		,	C
A =																=					.
																	−1 4 4 2 3
	2 10 −14								−1	4
1.5. α = −2,			β = 6 ,
	− 5 4		2						5 7 1 − 2									1 − 5
	3 − 7 0																	2	0
							В =		0 1 0				8		,
A =	1	0 − 4		,													С =	3 − 4		.
									2 5 − 7 3
	2	3	8															− 1	6
Для вариантов 1.6–1.10 вычислить D = (αА+ βВ)Т С .
1.6. α = –1 / 2, β = 1 / 3,
	0 4 − 6						B =		9		3 − 6							2 −1 3
A =			,											,			С =			.
									− 21 15 −12
	2 10 14																	5 −1 0
									7

1.7. α = 2,			β = −1,
1		9 − 8		5		5	2	5		−1	2
А =	7	4	3 ,	B =	1	0	− 2 ,	С =	7	− 6	− 3 .
	− 2 0				1	3			0	4
			2				4				− 2

1.8. α = –1 / 3, β = 1 / 2,

	6 − 9 − 27 21										0 − 2 − 2 20						2 4
A =		− 3 0					9	− 3		, B =		− 4 0		8	− 2	, C =		− 6 0 .
		− 6 9					15 −18					− 6 0
														4 − 8				1 3
1.9.	α = 3,				β = −2,
		5 − 6 − 4						,				3 − 4 − 2			,			2 −1 0
A =		1 0								B =						C =		3 6 1		.
						3						0 6 − 4
1.10. α = 4,					β = −1/ 2,
	5		0 1								1 − 3 1						3 1
A =		5 25 1 ,								В =		0	2 4 ,			C =		0 − 5 .
	− 5 2 3										− 1 − 2 3						7 2
Для вариантов 1.11–1.15 вычислить D = (αА+ βВT )С .
1.11. α = 2,					β = – 3,
	5 − 3 1									− 1 2 2						1 − 3 10
А =		0	2 4 ,							B =	6 5 4 ,				С =		0	2 − 4 .
	−1 2 3									7 0 3						− 1 − 2 3
1.12. α = –1,					β = 4,					− 2		4						3
		2	−1		0												7
											6 8				C		− 3	−
А =						,				B =			,			=			1 .
		3 6 1									0	1					1
1.13. α =			1 / 3, β = 1 / 4,															4
		6		− 3								8 4 − 4						7 −1 0
A =		9		12			,								,
										B =						С =				.
																		5 6 1
		−15		0							12 16 8
1.14. α = 2, β = –1,
		3	4									3 − 1 0						5	− 6
А =		− 1 3			,
										В =		2 4 − 5		,		С =			.
		8	9															7 8
												8

1.15. α = 1 / 2, β = –1 / 3,

10 16			,		−15 18	,	3 − 6	− 2 0
А =	− 4			В =			С =	1 4	.
0					9 − 3		− 5 3

Для вариантов 1.16–1.20 вычислить D = (αА+ βВ)СT .

1.16. α = 5, β = –1 / 2,

	1	− 3 10 8			,	12 4 0 − 2					,			5 6 7				− 8
А =						В =		− 6 10 4				С =		1 0 2 4					.
	0 2 − 4 5					0
1.17. α = –1, β = 2,
	3 0 − 5					4 6 − 2							5 − 8 1
А = −1 2 6 ,						В =	6 8 0 ,					С =		2 − 3 6 .
	7 0 8					− 1 0 2							0 2 1
1.18. α =		1 / 3, β = –1,
	3	− 6					2	−1						3	− 5
А =				,			− 4 6
	15 0					В =			,			С =			.
		− 6					− 7 5							4	9
	6
1.19. α = 2, β = –1 / 4,																	6
	2	−1 3				1		− 2 3						4	− 5
												С =		3 0 1
А =				,		В =			,									.
	4 6 8					4		− 5 7						8	−1		2
1.20. α = 1 / 2, β = –3,
															−1
	2	− 5				−		3 4						2
				,								С =		− 4 6
А =		−18				В =			,							.
	6					1 8								6	5
Для вариантов 1.21–1.25 вычислить D = αАT C + βB .
1.21. α =		–1, β = –1 / 2,
	4 7 8					8 − 2 0							5 − 4 4
А = − 1 0 5 ,						В =	2	4 10 ,				С =		3 0 − 6 .
	3 2 − 4					− 4 6 8							5 2 − 2
1.22. α = 1 / 2, β = 3,
	6	2												1	2
		− 4					− 3 5							3 − 4
А =	0			,		В =						С =						.
									,
		− 6												− 5 6
	10						6 7
		12												7	− 8
	14
								9

1.23. α = 3, β = 4,

А =

3 − 4

В

=

8

2

,

3 1

,

С =

.

− 2

− 5 − 6

− 3

5 − 7

1.24. α = 2, β = –1,

4

− 3 0 7

1

3

5 1 − 2

А =

,

В =

− 2 4 5

,

С =

.

5 6 − 9

4

− 1 6

− 5

6

0

1.25. α = 1 / 5, β = –2,

−1 5 4

0

9

1 2

А =

2 4 − 5 ,

В =

1

− 2 ,

С =

− 3 5 .

− 5 6 0

− 7 3

− 4 6

Для вариантов 1.26–1.30 вычислить D = αАC + βBТ .

1.26. α = –1,			β = –1 / 3,
6		−1
А =	− 9 − 3 ,
	− 8	0
1.27. α = –2,			β = 3,
5		− 8
А =			,
	− 3	4
1.28. α = 1 / 2, β = 4,
2		0	− 2
А =	4 − 6		8 ,
		14
12			− 16

1.29. α = 1 / 3, β = 1						/ 4,
		3	− 6
А =		− 12	15		,
		− 21	6

1.30.α = 2, β = –1,

3		4	− 5		,
А =
	0	−1	− 2

		5		− 2		4						2	− 3	4
В	=		1	4 − 3				,		С	=
														.
													0
			− 3	6		1						7		− 1
В	=	3		1						С	=	1	− 5
				,									.
			0 − 2									2	7
2 − 1 0										1 − 5 6
В =	3		9 − 5			,				С =	5 3 − 9 .
	− 4 3			1							4 0		− 3
		16		0		−1						2	5	1
В	=		− 4 8			4			,	С	=
														.
													1
			1	−12		3						− 3		0
3 − 4										1 − 2 6
В =	1		0	,						С =	4	0	7 .
	− 5 6										8 5
													− 1

10