2298 ЭИ
.pdfЗ А Д А Н И Е № 2
Решить систему линейных уравнений
a11x1 + a12 x2 + a13x3 = b1,a21x1 + a22 x2 + a23x3 = b2 ,a31x1 + a32 x2 + a33x3 = b3
методом Крамера. Сделать проверку. Коэффициенты системы приведены в таблице 1.
Таблица 1
№ варианта |
а11 |
а12 |
а13 |
а21 |
а22 |
а23 |
а31 |
а32 |
а33 |
b1 |
b2 |
b3 |
|
Коэффициенты системы линейных уравнений |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.1. |
3 |
–1 |
1 |
2 |
–5 |
–3 |
1 |
1 |
–1 |
4 |
–17 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2. |
1 |
1 |
1 |
2 |
–1 |
–6 |
3 |
–2 |
0 |
2 |
–1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3. |
2 |
–1 |
–3 |
3 |
4 |
–5 |
0 |
2 |
7 |
3 |
–8 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. |
1 |
1 |
1 |
2 |
–1 |
1 |
1 |
–1 |
2 |
6 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5. |
2 |
1 |
–3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
–1 |
2 |
7 |
4 |
–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6. |
1 |
1 |
1 |
2 |
3 |
–4 |
3 |
2 |
2 |
2 |
–4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.7. |
3 |
–1 |
0 |
–2 |
1 |
1 |
2 |
–1 |
4 |
5 |
0 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.8. |
2 |
–1 |
1 |
1 |
–3 |
–5 |
3 |
1 |
–7 |
8 |
6 |
–4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.9. |
4 |
3 |
–9 |
2 |
3 |
–5 |
1 |
8 |
–7 |
9 |
7 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.10. |
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
0 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.11. |
1 |
–2 |
3 |
2 |
3 |
–4 |
3 |
–2 |
–5 |
–7 |
17 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.12. |
4 |
–3 |
2 |
2 |
5 |
–3 |
5 |
6 |
–2 |
–7 |
12 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.13. |
1 |
1 |
2 |
2 |
–1 |
2 |
4 |
1 |
4 |
8 |
6 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.14. |
2 |
–1 |
–1 |
3 |
4 |
–2 |
3 |
–2 |
4 |
0 |
–5 |
–5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.15. |
3 |
4 |
2 |
2 |
–1 |
–3 |
1 |
5 |
1 |
24 |
2 |
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.16. |
1 |
1 |
–1 |
8 |
3 |
–6 |
–4 |
–1 |
3 |
–2 |
3 |
–3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.17. |
1 |
–4 |
–2 |
3 |
1 |
1 |
–3 |
5 |
6 |
1 |
–9 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.18. |
7 |
–5 |
1 |
4 |
1 |
–1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
7 |
–3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.19. |
1 |
2 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
–1 |
1 |
6 |
12 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.20. |
3 |
4 |
1 |
–1 |
1 |
0 |
–2 |
0 |
1 |
–1 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.21. |
–1 |
2 |
1 |
7 |
–10 |
–5 |
4 |
–7 |
–6 |
0 |
–2 |
–8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
№ варианта |
Коэффициенты системы линейных уравнений |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а11 |
а12 |
а13 |
а21 |
а22 |
а23 |
а31 |
а32 |
а33 |
b1 |
b2 |
b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.22. |
1 |
–1 |
–3 |
2 |
–1 |
–2 |
–1 |
3 |
2 |
10 |
9 |
–5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.23. |
–1 |
3 |
5 |
2 |
–3 |
–7 |
2 |
–3 |
–5 |
–9 |
12 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.24. |
1 |
–1 |
3 |
2 |
–5 |
1 |
–1 |
4 |
–1 |
–2 |
–2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.25. |
1 |
1 |
2 |
–1 |
2 |
1 |
4 |
–3 |
2 |
1 |
–4 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.26. |
2 |
1 |
–2 |
1 |
–3 |
0 |
0 |
3 |
–1 |
–9 |
20 |
–22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.27. |
3 |
7 |
6 |
4 |
2 |
1 |
2 |
3 |
7 |
2 |
–4 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.28. |
4 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
3 |
2 |
4 |
1 |
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.29. |
–1 |
2 |
4 |
–3 |
2 |
1 |
4 |
6 |
3 |
9 |
1 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.30. |
3 |
2 |
1 |
2 |
1 |
6 |
4 |
0 |
2 |
6 |
9 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З А Д А Н И Е № 3
Решить систему линейных уравнений
a11x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1,a21x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 ,a31x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
матричным методом. Коэффициенты системы приведены в таблице 1.
З А Д А Н И Е № 4
Решить систему линейных уравнений
a11x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1,a21x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 ,a31x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
методом Гаусса. Коэффициенты системы приведены в таблице 1.
З А Д А Н И Е № 5
Решить систему линейных уравнений АХ = В, заданной расширенной матрицей, методом последовательного исключения неизвестных. В случае неопределенности системы найти ее общее, базисное и любое частное решения. Сделать проверку.
12
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
5.1. |
|
2 |
|
||
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
1 |
|
5.3. |
|
2 |
|
||
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
− 2 |
|
|
|
5.5. |
|
1 |
|
||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
1 |
|
5.7. |
|
2 |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
− 1 |
|
|
|
5.9. |
|
2 |
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2
− 3
5.11. 0
12
0 |
1 |
0 |
2 |
1 |
|
|||
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|||
|
||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
. |
|||
1 |
−1 |
1 |
−1 |
0 |
|
|||
|
||||||||
4 |
2 |
3 |
4 |
3 |
|
|||
|
||||||||
0 |
1 |
2 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
2 |
0 |
−1 |
1 |
|
|
−1 . |
||
1 |
1 |
0 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||
4 |
3 |
4 |
0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|||||||||
1 |
1 |
−1 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
− 1 |
2 |
1 |
|
|
|
0 |
. |
|
−1 |
1 |
1 |
− 2 |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|||||||
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
1 |
−1 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|||||
1 |
1 |
0 |
−1 |
|
0 |
. |
|||
−1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
1 |
1 |
1 |
4 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|||||||
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
− 1 |
0 |
− 1 |
−1 |
|
|
0 |
. |
||
1 |
− 2 |
0 |
− 3 |
|
|
− 2 |
|
||
|
|
|
|||||||
2 |
3 |
1 |
−1 |
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
||||||
1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
||||||
1 |
0 |
− 1 |
− 1 |
|
|
2 |
|
||
|
|
||||||||
−1 |
1 |
1 |
− 1 |
|
1 |
. |
|||
0 |
− 1 |
− 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||
2 |
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
−1
−1
5.2. 2
10
−1
1
5.4. 2
−10
2
−1
5.6. 1
−13
0
−1
5.8. 2
− 2−1
2
− 1
5.10. − 2
12
2
0
5.12. − 2
−11
13
0 |
1 |
|
0 |
2 |
|
|
|
0 |
||||
1 |
−1 |
|
1 −1 |
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
0 |
|
−1 |
1 |
|
|
− 2 |
. |
||||
−1 |
1 |
|
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
||||||||
1 |
2 |
|
−1 |
4 |
|
|
−1 |
|
||||
|
|
|
|
|||||||||
1 |
1 |
0 |
1 |
|
− 2 |
|
|
|||||
|
|
|
||||||||||
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
− 1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
|
. |
|
|
|||
2 |
1 |
0 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|||||||||
3 |
4 |
2 |
3 |
|
− 4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||||
1 |
0 |
|
1 |
−1 |
|
|
0 |
|||||
|
|
|||||||||||
2 |
1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|||||||
− 2 |
1 |
|
− 2 |
0 |
|
|
|
1 |
|
. |
||
0 |
− 1 |
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
2 |
1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
2 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|||||||||
1 |
0 |
|
−1 |
2 |
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
−1 − 1 0 −1 |
− 2 |
. |
||||||||||
−1 |
1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||
1 |
4 |
|
1 |
2 |
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
−1 |
0 |
|
− 2 |
|
|
− 3 |
|||||
|
|
|||||||||||
0 |
1 |
|
− 1 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
−1 |
0 |
|
2 |
1 |
|
|
|
1 |
. |
|||
1 |
1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
0 |
|
1 |
|
− 2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
− 4 |
||||||||
0 |
0 |
1 |
|
− 1 |
|
1 |
||||||
|
|
|||||||||||
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
− 3 |
|||||||||
1 |
− 1 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
. |
||||
− 2 |
0 |
− 3 |
|
− 1 |
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
||||||||||
0 |
0 |
0 |
|
− 2 |
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− 2 |
|
|
|
5.13. |
|
1 |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
5.15. |
|
− 2 |
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
5.17. |
|
− 2 |
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
− 3 |
|
|
|
5.19. |
|
1 |
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
5.21. |
|
−1 |
|
||
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
5.23. |
|
− 2 |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
0 |
0 |
1 |
− 2 |
1 |
− 1 |
−1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
−1 |
0 |
−1 |
−1 |
1 |
2 |
1 1
00
−1 − 1
10
21
1 0
01
−3 −1
11
01
10
1 |
1 |
0 |
0 |
−1 |
− 2 |
2 |
−1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
−1 |
0 |
0 |
− 3 |
2 |
1 |
11
−1 −1
0− 2
10
2−1
1 |
−1 |
|
1 |
0 |
|
−1 |
1 |
|
0 |
1 |
|
2 |
0 |
|
1 |
1 |
|
|
||
− 1 |
0 |
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
|
2 |
3 |
|
1 |
2 |
|
− 1 |
− 2 |
|
− 2 |
−1 |
|
1 |
1 |
|
02
11
0 |
− 2 |
−1 |
1 |
10
21
00
11
− 1 |
− 2 |
1 |
0 |
1 |
− 1 |
−1
0.
−1
−2
0
1 −1 . 1 1
1
0 − 2 . 1 1
0
1 − 1 . 1 1
−1
− 2
0 .
5
1
1
− 3 0 .
2
1
|
|
− 2 |
|
|
|
|
0 |
|
5.14. |
|
1 |
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
5.16. |
|
− 3 |
|
||
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
5.18. |
|
−1 |
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
5.20. |
|
− 1 |
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
5.22. |
|
− 2 |
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
− 2 |
|
|
|
5.24. |
|
−1 |
|
||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
14
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|||
− 1 |
1 |
|
0 |
− 1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
0 |
0 |
|
1 |
0 |
− 2 |
. |
||
1 |
− 1 |
|
− 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||
2 |
2 |
|
− 1 |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
0 |
1 |
0 |
1 |
|
− 1 |
|
||
|
|
|||||||
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
− 1 |
1 |
0 |
|
|
1 |
. |
|
0 |
1 |
0 |
− 3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
2 |
2 |
2 |
− 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
1 |
|
0 |
1 |
|
− 3 |
||
|
|
|||||||
− 1 |
− 1 |
|
1 |
−1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
0 |
− 1 |
− 1 |
− 3 |
|
2 |
. |
||
− 1 |
0 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
2 |
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
− 3 |
||||||
− 1 |
1 |
|
0 |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||
1 |
−1 |
|
1 |
− 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
0 |
2 |
− 1 |
− 1 |
− 2 |
. |
|||
1 |
1 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
0 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
1 |
0 |
|
0 |
1 |
|
1 |
||
|
|
|||||||
− 2 |
1 |
|
0 |
−1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
1 |
−1 |
|
3 |
−1 |
− 2 . |
|||
1 |
1 |
|
−1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
2 |
1 |
|
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
0 |
0 |
|
1 |
− 2 |
|
1 |
||
|
|
|||||||
1 |
1 |
|
0 |
−1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
−1 |
−1 |
|
−1 |
4 |
|
0 |
. |
|
1 |
0 |
|
0 |
−1 |
|
|
|
|
|
− 3 |
|||||||
1 |
0 |
|
1 |
− 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1
− 2
5.25. −1
10
2
− 3
5.27. 0
12
2
− 2
5.29. −1
12
2 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
1 |
0 1 0 |
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
−1 1 |
0 − 3 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 0 |
1 |
|
0 |
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
0 |
− 2 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
5.26. |
|
−1 |
1 |
0 −1 |
1 |
|
|
− 2 |
|
|
|||
|
|
|
|
− 3 . |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
1 |
−1 2 1 0 |
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 2 2 |
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
3 |
1 |
0 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
− 1 |
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
−1 |
|
|
|
− 2 1 |
0 −1 1 |
|
− 4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
−1 |
− 2 |
−1 |
−1 |
|
|
− 4 |
|
5.28. |
|
0 |
− 2 |
−1 |
1 |
|
0 |
|
|
2 |
|
||||
|
|
. |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
1 −1 1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
2 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
2 |
1 |
|
0 |
|
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
0 |
0 |
− 2 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
1 |
2 |
1 |
|
0 |
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
−1 1 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 1 0 |
1 −1 |
0 |
|
|||||||||||
|
− 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
−1 |
− 2 |
0 |
2 |
|
|
|
1 |
|
5.30. |
|
1 |
0 |
− 1 |
− 1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
. |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
0 |
1 |
1 −1 |
|
1 |
|
|
−1 1 − 1 0 |
|
1 |
−1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 − 3 |
|
2 |
|
|
1 |
2 |
2 |
2 |
|
1 |
|
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 . М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
К К О Н Т Р О Л Ь Н О Й Р А Б О Т Е № 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 . 1 . |
Л И Н Е Й Н А Я А Л Г Е Б Р А |
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямоугольной m × n матрицей называется таблица чисел
a |
a |
... |
a |
|
|
||
|
11 |
|
12 |
|
1n |
|
|
A = a21 |
a22 |
... |
a2n |
, |
|||
a |
m1 |
a |
m2 |
... |
a |
|
|
|
|
|
mn |
|
содержащая m строк и n столбцов.
Числа aik называются элементами матрицы. Первый индекс i указывает
номер строки, в которой расположен элемент, а второй индекс k – номер столбца.
Матрица A называется квадратной матрицей n-го порядка, если m = n.
Квадратная матрица порядка n называется диагональной, если aik = 0 при i ≠ k . Она выглядит следующим образом:
a |
0 |
... |
0 |
|
|
|
11 |
a22 |
|
|
|
|
0 |
... |
0 |
|
|
A = |
|
... |
... |
... |
. |
n× n ... |
|
||||
|
0 |
0 |
... |
ann |
|
|
|
15 |
|
|
|
Элементы матрицы, для которых i = k называются диагональными и образуют главную диагональ.
Диагональная матрица порядка п называется единичной матрицей, если все ее диагональные элементы равны единице (aii = 1, i = 1, n) :
|
1 |
0 |
... |
0 |
|
|
0 |
1 |
... |
0 |
|
|
E = |
... |
... |
|
. |
|
n× n ... |
... |
|||
|
0 |
0 |
... |
1 |
|
Суммой m × n матриц A = (aik ) |
и B = ( bik ) называется m × n матрица |
||||
C = (cik ) с элементами |
|
|
|
|
|
|
cik |
= aik |
+ bik . |
(2.1) |
|
Произведением |
m × n матрицы A на число λ называется m × n матрица |
||||
В, для которой bik |
= λaik . |
|
|
|
|
Произведением m × n матрицы A = (aij ) |
на n × p матрицу B = (bij ) называ- |
ется m× p матрицаС, элементы cij |
которойвычисляются согласно следующему |
|
правилу: каждый элемент cij равен сумме произведений элементов |
i-ой строки |
|
матрицыАнасоответствующиеэлементыj-огостолбцаматрицыВ |
|
|
n |
|
|
cij = ∑aikbkj |
= ai1b1 j + ai2b2 j + K+ ainbnj . |
(2.2) |
k =1
При решении многих математических задач возникает необходимость в сопоставлении квадратной матрице некоторого числа, называемого определителем. Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка
a |
b |
|
A = 1 |
1 |
. |
a |
b |
|
2 |
2 |
|
Определителем (детерминантом) второго порядка матрицы А называется число
a1b2 − a2b1 .
Определитель обозначается следующим образом:
a |
b |
a |
b |
|
= det A |
= . |
|
a |
1 |
1 |
= det 1 |
1 |
|
||
2 |
b |
a |
b |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
Для квадратной матрицы третьего порядка определитель вводится с помощью формулы
a1 b1 c1
a2 b2 c2 = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a3b2c1 − a1b3c2 − a2b1c3 , a3 b3 c3
16
которая легко записывается с помощью правила треугольников:
|
• |
• |
• |
|
|
|
• |
• |
• |
|
|
|
• |
• |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
• • • |
|
= |
|
• • • |
|
− |
|
• • • |
|
. |
||||||
|
• |
• |
• |
|
|
|
• |
• |
• |
|
|
|
• |
• |
• |
|
|
П р и м е р . Вычислить определитель по правилу треугольников
|
1 |
0 |
−1 |
|
= 1 2 1+ 1 0 1+ 0 2 (−1) −1 2 (−1) − |
|
|
||||
|
0 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
−0 0 1− 1 2 3 = 2 + 0 + 0 + 2 − 0 − 6 = −2 . v
Минором Mik элемента aik определителя n-го порядка называется оп-
ределитель (n – 1)-го порядка, который получается из |
вычеркиванием i-ой |
|||
строки и k-ого столбца. |
|
|
|
|
Алгебраическим дополнением Aik |
элемента aik |
называется его минор |
||
Mik , умноженный на (−1)i+k : |
|
|
|
|
A = (−1)i+k M |
ik |
. |
|
|
ik |
|
|
|
Нетрудно видеть, что знаки, которые следует ставить перед соответствующими минорами при вычислении алгебраических дополнений, чередуются в шахматном порядке.
Для вычисления определителей второго и третьего порядков существуют простые правила. Приведем теорему, облегчающую процедуру вычисления определителей более высоких порядков.
Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения
n
= ∑aik Aik = a1k A1k + a2k A2k + ... + ank Ank i=1
(разложение по элементам k-ого столбца),
n
= ∑aik Aik = ai1Ai1 + ai2 Ai2 + ... + ain Ain k =1
(разложение по элементам i-ой строки). p
П р и м е р . Вычислить определитель разложением по элементам первой строки
1 |
3 |
1 |
|
|
−1 2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
−1 2 |
= 1 |
|
− 3 |
+ 1 |
= |
|||||||
3 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
|
3 |
1 |
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1(−1 1− 0 2) − 3(2 1− 3 2) + 1(2 0 − 3(−1)) = −1+ 12 + 3 = 14. v
17
С помощью определителей удобно записывать решение систем линейных уравнений.
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
a11x + a12 y + a13z = b1,a21x + a22 y + a23z = b2 ,a31x + a32 y + a33z = b3.
Обозначим через |
, |
x , y , |
z определитель системы |
и вспомогатель- |
||||||||||||||||
ные определители, полученные из |
заменой столбца коэффициентов при |
|||||||||||||||||||
соответствующей неизвестной столбцом свободных членов: |
|
|||||||||||||||||||
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
a21 |
a22 |
a23 |
|
, |
x = |
|
b2 |
a22 |
a23 |
|
, |
(2.3) |
|||||||
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|||
|
|
|
a11 |
b1 |
a13 |
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
b1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y |
= |
a21 |
b2 |
a23 |
|
, |
z = |
a21 |
a22 |
b2 |
|
. |
(2.4) |
|||||||
|
|
|
a31 |
b3 |
a33 |
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
b3 |
|
|
|
Будем считать, что ≠ 0.
Решением системы является совокупность значений х, у, z, определяемая так называемыми формулами Крамера
x = x , y = y , z = z , ≠ 0.
Рассмотрим систему п линейных уравнений с п неизвестными
a11x1 + a12 x2 |
+ ... + a1n xn = b1, |
|||||||||
a21x1 |
+ a22 x2 + ... + a2n xn = b2 , |
|||||||||
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
||||||||||
a |
x |
+ a |
n2 |
x |
2 |
+ ... + a |
nn |
x |
n |
= b . |
|
n1 1 |
|
|
|
|
n |
Введем соответствующие этой системе матрицы
a |
a |
|
11 |
12 |
|
a21 |
a22 |
|
A = |
|
|
... ... |
||
a |
n1 |
a |
|
n2 |
... |
a |
|
|
1n |
|
... |
a2n |
|
... |
... |
, X |
... |
a |
|
|
nn |
|
x |
|
|
b |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
= |
x2 |
|
B = |
b2 |
|
... |
, |
... . |
|||
|
x |
|
|
b |
|
|
n |
|
|
n |
|
Тогда систему можно записать в матричной форме
АХ = В.
Для решения матричного уравнения умножим обе части этого равенства слева на некоторую матрицу A−1 :
A−1 AX = A−1B, |
(2.5) |
18
а затем подберем (если это удастся) матрицу A−1 |
так, что |
A−1 A = E , |
(2.6) |
где Е – единичная матрица. |
|
Тогда из (2.5) сразу получим решение |
|
X = A−1B. |
|
Матрица A−1 , удовлетворяющая условию (2.6), называется обратной матрицей для матрицы А.
АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ:
1)вычислить det A и убедиться в том, что det A ≠ 0 (если det A = 0, обратная матрица не существует);
2)найти транспонированную матрицу АТ, т. е. матрицу, в которой строки меняются со столбцами (с теми же номерами)
a |
a |
11 |
12 |
A = a21 |
a22 |
a |
a |
31 |
32 |
a13 a23 a33
|
a |
a |
|
AT |
11 |
|
21 |
= a12 |
a22 |
||
|
a |
a |
23 |
|
13 |
|
a31 a32 ; a33
~
3) построить союзную (присоединенную) матрицу A путем замены в матрице АТ каждого элемента его алгебраическим дополнением:
~ |
|
A |
A |
A |
|
|
|
11 |
21 |
31 |
|
; |
|
A = |
A12 |
A22 |
A32 |
|
||
|
|
A |
A |
A |
|
|
|
|
13 |
23 |
33 |
|
|
~
4) вычислить обратную матрицу по формуле A−1 = A . det A
Рассмотрим СЛУ m уравнений с n неизвестными
a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1, |
|||||||||
a |
x + a |
22 |
x |
+ ... + a |
2n |
x |
= b , |
||
|
|
21 1 |
|
2 |
|
n |
2 |
||
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|||||||||
a |
|
x + a |
m2 |
x |
+ ... + a |
|
x |
= b . |
|
|
m1 1 |
2 |
|
mn n |
m |
Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) заключается в том, что с помощью элементарных преобразований СЛУ приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида.
Будем называть элементарными следующие преобразования:
9перестановка строк местами;
9умножение элементов какой-либо строки на одно и то же число не равное нулю и прибавление к соответствующим элементам другой строки.
19
3 . Р Е Ш Е Н И Е Т И П О В О Г О В А Р И А Н Т А К О Н Т Р О Л Ь Н О Й Р А Б О Т Ы № 1
2 З а д а н и е 1 . |
Вычислить D = (αA + βB)T C, где α = 3, |
β = −1/ 2 , |
||||||
−1 4 0 |
2 |
, |
8 − 2 2 |
0 |
5 |
1 |
4 |
|
A = |
− 1 1 |
|
B = |
|
, C = |
2 |
. |
|
5 |
−1 |
|
− 4 6 2 |
4 |
0 |
− 3 |
Р е ш е н и е . Выполним указанные операции с матрицами по действиям. Найдем сначала αА и βВ
|
− 1 4 0 |
2 |
|
− 3 12 0 |
6 |
; |
||||
αА = 3 |
5 − 1 1 |
|
= |
15 − 3 |
3 |
|
||||
|
|
−1 |
|
− 3 |
|
|||||
|
1 |
|
8 − 2 2 |
0 |
− 4 1 |
− 1 |
0 |
|||
βB = − |
|
|
− 4 6 2 |
|
= |
2 − 3 |
− 1 |
− 2 |
. |
|
2 |
||||||||||
|
|
4 |
|
|
Далее найдем сумму матриц αА + βВ по формуле (2.1) и протранспонируем ее, т. е. строки заменим столбцами (с теми же номерами)
− 3 12 0 |
6 |
− 4 1 |
−1 |
0 |
= |
− 7 13 |
−1 6 |
|
; |
|||||||
αA + βB = |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
15 |
− 3 3 |
|
|
2 |
− 3 |
−1 |
− 2 |
|
|
|
17 |
− 6 2 − 5 |
|
|
|
|
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
− 7 |
17 |
|
|
T |
|
13 |
− 6 |
|
(αA + βB) |
= |
−1 |
2 |
. |
|
|
|
||
|
|
6 |
− 5 |
|
Устанавливаем возможность выполнения действия умножения матриц. Первая матрица ((α A + βB)T) имеет порядок 4 × 2, вторая (С) – 2 × 3. Умножение возможно, поскольку число столбцов первой матрицы равно числу строк второй; врезультатеумножения получается матрица порядка4 × 3. Следовательно,
|
|
|
|
− 7 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
C = |
|
13 − 6 5 1 4 |
|
= |
|
|
||
|
|
(αA + βB) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
−1 2 0 2 |
− 3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
6 |
− 5 |
|
|
|
|
|
|
− 7 5 + 17 0 |
− 7 1+ 17 2 |
|
− 7 4 + 17 (− 3) |
− 35 27 − 79 |
||||||
|
13 5 + (− 6) 0 131+ (− 6) 2 13 4 + (− 6) (− 3) |
|
65 |
1 |
70 |
||||||
= |
− 15 + 2 0 |
−1 1+ 2 2 |
|
−1 4 + 2 (− 3) |
= |
− 5 |
3 |
− 10 . |
|||
|
6 5 + (−5) 0 |
6 1+ (−5) 2 |
|
6 4 + (−5) (− 3) |
30 |
− 4 |
39 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− 35 |
27 |
− 79 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
D = |
|
65 |
1 |
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. v |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 5 |
3 |
− 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
− 4 |
39 |
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|