Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2298 ЭИ

.pdf
Скачиваний:
36
Добавлен:
08.04.2018
Размер:
856.81 Кб
Скачать

Составить каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом F(0, –5). в) Найти уравнение равносторонней гиперболы, проходящей через точку (3,–1).

8.29. а) Определить фокусы и полуоси эллипса

x2

+

 

y2

= 1 . б) Составить

25

169

 

 

 

каноническое уравнение гиперболы, если действительная ось равна 16, а угол между асимптотой и осью абсцисс определяется условием tg ϕ = 3 / 4. в) Составить каноническое уравнение параболы, если расстояние от фокуса до вершины равно 3.

8.30. а) Составить каноническое уравнение эллипса, если большая полуось равна 26 и эксцентриситет ε = 12 / 13. б) Составить каноническое уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 2. в) Определить

полуоси, фокусы и асимптоты гиперболы

x2

y2

= 1 .

225

 

64

 

 

 

 

З А Д А Н И Е №

 

9

 

Привести к каноническому виду уравнение

кривой второго порядка

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 , определить тип линии и построить эту кривую (таблица 4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

-

 

Коэффициенты

 

-

 

Коэффициенты

 

вари№ анта

A

C

D

E

F

вари№ анта

A

C

D

E

F

 

 

уравнений кривой

 

 

уравнений кривой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.1.

1

1

6

10

 

15

9.16.

4

4

12

4

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.2.

1

4

0

1

 

5

9.17.

9

5

18

30

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.3.

2

0

8

1

 

12

9.18.

36

4

72

16

 

88

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.4.

9

4

54

32

 

109

9.19.

4

9

16

18

 

29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.5.

4

9

8

36

 

68

9.20.

4

36

16

72

 

92

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.6.

4

9

40

36

 

100

9.21.

9

4

54

8

 

49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.7.

9

26

54

64

 

127

9.22.

1

4

2

56

 

181

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.8.

3

3

24

12

 

58

9.23.

7

2

42

16

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.9.

5

1

10

6

 

6

9.24.

9

4

0

24

 

72

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.10.

1

1

6

0

 

8

9.25.

1

4

4

8

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.11.

1

7

6

28

 

12

9.26.

1

1

6

4

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.12.

3

8

6

24

 

36

9.27.

1

1

4

6

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

-

 

Коэффициенты

 

-

 

Коэффициенты

 

№ вари анта

 

 

№ вари анта

 

 

 

уравнений кривой

 

 

уравнений кривой

 

A

C

D

E

 

F

A

C

D

E

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.13.

9

4

18

8

 

19

9.28.

1

4

4

16

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.14.

2

0

4

1

 

4

9.29.

1

1

0

4

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.15.

9

4

36

8

 

4

9.30.

25

9

100

54

 

44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З А Д А Н И Е № 1 0

Даны уравнения линии r = r (ϕ) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам на промежутке от ϕ = 0 до ϕ = 2π с шагом, равным π / 8; 2) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) назвать линию, найти координаты центра и полуоси.

10.1. r =

 

16

 

 

 

 

.

 

 

 

10.2. r =

 

16

 

 

.

 

 

 

 

5 3cos ϕ

 

 

 

3 5cos ϕ

 

 

 

 

10.4. r =

 

6

.

 

 

 

 

 

10.5. r =

 

1

 

.

 

 

 

 

 

2 + cos ϕ

 

 

 

 

 

2 + cos ϕ

 

 

 

 

 

10.7. r =

 

5

 

 

 

 

 

.

10.8. r =

 

10

 

.

 

 

 

 

 

3 4 cos ϕ

2 + cos ϕ

 

 

 

 

 

10.10. r =

3

 

 

 

 

 

 

.

10.11. r =

 

 

5

 

 

 

 

 

 

.

 

12 cos ϕ

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

cos

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

10.13. r =

3

 

 

.

 

 

 

10.14. r =

 

 

12

 

.

 

 

 

 

 

 

1+ cos ϕ

 

 

 

 

2 cos ϕ

 

 

 

10.16. r =

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

10.17. r =

 

 

5

 

 

 

 

 

.

 

 

5 + 4 cos ϕ

 

3 + 2 cos ϕ

10.19. r =

1

 

.

 

 

 

10.20. r =

 

 

1

 

 

 

.

 

1+ cos ϕ

 

 

 

3 3cos ϕ

10.22. r =

8

 

 

 

.

 

 

 

10.23. r =

 

 

5

 

 

 

 

.

 

 

3 cos ϕ

 

 

 

6 + 3cos ϕ

10.25. r =

18

 

 

 

 

 

 

 

 

.

10.26. r =

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 5cos ϕ

 

3

 

2 cos ϕ

10.28. r =

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.29. r =

 

 

144

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

5 + 3cos ϕ

 

 

5 + 13cos ϕ

32

10.3. r =

 

5

 

.

 

 

 

 

 

 

 

1cos ϕ

 

 

 

 

 

 

 

10.6. r =

 

1

 

 

 

 

.

 

 

6 + 3cos ϕ

 

 

10.9. r =

 

4

 

 

 

 

 

.

 

 

2 3cos ϕ

 

 

10.12. r =

6

 

 

.

 

 

 

 

 

 

1cos ϕ

 

 

 

 

10.15. r =

1

 

 

 

 

 

.

 

 

3 3cos ϕ

10.18. r =

 

10

 

 

 

 

 

 

 

.

1

3

cos ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.21. r =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

2 + 2 cos ϕ

10.24. r =

3

 

.

 

 

 

 

1cos ϕ

 

 

 

10.27. r =

21

 

 

 

 

 

 

.

 

 

5 2 cos ϕ

10.30. r =

4

 

.

 

 

 

1cos ϕ

 

 

5 . М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я К К О Н Т Р О Л Ь Н О Й Р А Б О Т Е № 2

5 . 1 . А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я

Выберем в пространстве две упорядоченные точки А и В. Соответствую-

щий направленный отрезок AB называется вектором.

Расстояние между точками А и В называется модулем или длиной вектора. Для модуля вектора AB используются обозначения AB , a , а. Вектор a

называется единичным вектором, если a = 1.

Несколько векторов называются коллинеарными, если все они расположе-

ны на прямых, параллельных одной и той же прямой. Если векторы a и b

коллинеарны, то записывают a b.

Несколько векторов называются компланарными, если существует плоскость, параллельная всем прямым, на которых эти векторы расположены.

Составим суммы векторов, умноженных на числа

n

λ1a1 + λ2a2 + ... + λnan = λiai , λi R.

i=1

Выражения такого вида называются линейными комбинациями векторов. Если некоторый вектор представлен в виде линейной комбинации каких-

либо векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Базисом в пространстве называют любые три упорядоченных некомпланарных вектора. При этом любой вектор пространства является их линейной комбинацией.

Если ( e1,e2 ,e3 ) – базис в пространстве, то любой вектор a = λ1e1 + λ 2e2 + λ3e3 ,

при этом числа λ1,λ2 ,λ3 называются координатами вектора a в базисе

( e1,e2 ,e3 ). Записывают a = (λ1,λ2 ,λ3).

Выберем в пространстве точку О и возьмем упорядоченную тройку орто-

гональных единичных векторов ( i , j, k ) базис в пространстве.

Совокупность точки О и базиса ( i , j, k ) называется ортогональной де-

картовой системой координат. При этом принята следующая терминология: О – начало координат; прямые, проходящие через начало в направлении базисных векторов – оси координат; плоскости, проходящие через оси коорди-

нат – координатные плоскости. На рисунке 5.1 показана правая система координат.

33

z

 

 

 

Если

А(х1, у1, z1), B(х2, у2, z2) – точки, задан-

 

ные в декартовой системе координат, то коорди-

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

наты и

модуль

вектора

 

AB

можно

найти по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формулам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

= (x2 x1, y2 y1, z2 z1 ) ,

(5.1)

i 0

y

AB

 

(x

x )2 + ( y

 

y )2

+ (z

 

z )2 . (5.2)

 

 

 

 

AB =

2

2

x

 

 

2

1

 

 

1

 

 

1

 

 

Скалярным произведением двух векторов на-

Р и с у н о к

5.1

зывается

число,

равное

 

произведению

модулей

 

 

 

 

 

векторов, умноженному на косинус угла между векторами

a b = a b cos(a, b ).

Если векторы заданы координатами, то скалярное произведение вычисляется по формуле

a

b

= axbx + ayby + azbz.

(5.3)

С помощью скалярного произведения можно найти угол между векторами через их координаты:

cr = ar × br

0

a

Р и с у н о к 5.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos(a,

 

) =

a

b

.

(5.4)

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Векторным произведением вектора a на вектор

 

 

 

 

называется вектор

c , модуль которого равен пло-

 

b

 

щади параллелограмма, построенного на векторах a

 

и

 

, а направление ортогонально к векторам a и

 

,

r

b

b

b

причем векторы ( a,

 

, c ) образуют правую тройку

b

векторов (рисунок 5.2).

c = a b sin(a,b ) .

Обозначается векторное произведение c = a×b .

Если векторы заданы координатами, то векторное произведение находится по формуле

 

 

 

i

j

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

a ×

 

=

ax

ay

az

.

(5.5)

b

 

 

 

bx

by

bz

 

 

С помощью векторного произведения можно вычислить площадь треуголь-

ника S = 12 a × b , где a , b – векторы, на которых построен треугольник.

Смешанное произведение трех векторов определяется следующим образом:

34

(a × b )c = (ab c).

Модуль смешанного произведения выражает объем параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах.

Если известны координаты векторов, то

 

 

 

ax

ay

az

 

 

(a

b

c) =

bx

by

bz

.

(5.6)

 

 

 

cx

cy

cz

 

 

Линейное уравнение вида

 

 

 

 

Ax + By + Cz + D = 0

(5.7)

называется общим уравнением плоскости.

Вектор n = ( A, B, C) , составленный из коэффициентов при x, y, z , на-

правлен по нормали к плоскости (5.7) и называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М( x0 , y0 , z0 ) име-

ет вид

A(x x0 ) + B( y y0 ) + C(z z0 ) = 0 .

Уравнение плоскости, проходящей через три точки M1(x1, y1, z1) , M2 (x2 , y2 , z2 ) , M3 (x3, y3, z3 ) , не лежащие на одной прямой, имеет вид

x x1 x2 x1 x3 x1

y y1 y2 y1 y3 y1

z z1

z2 z1 = 0 . (5.8) z3 z1

Канонические уравнения прямой линии имеют вид

 

 

 

 

x x0

=

y y0

 

=

z z0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

n

 

 

 

 

p

 

Здесь M 0 (x0 , y0 , z0 ) некоторая фиксированная точка,

принадлежащая

данной прямой;

s = (m, n,

p)

направляющий вектор прямой, т. е. вектор,

лежащий на прямой, параллельной данной.

 

 

 

 

 

 

M1(x1, y1, z1) ,

Уравнение

прямой,

проходящей

через две точки

M 2 (x2 , y2 , z2 ) , имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x1

=

y y1

=

z z1

.

(5.9)

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

y

2

y

 

z

2

z

 

 

2

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

Если точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и M(x, y, z) лежат на одной прямой и AM = λMB , то координаты точки M можно найти по формулам

x =

x1 + λx2

;

y =

y1 + λy2

;

z =

z1 + λz2

, λ R .

(5.10)

1+ λ

1 + λ

1+ λ

 

 

 

 

 

 

 

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид

35

Ах+ By + C = 0 ,

причем хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Ненулевой вектор n = (А, В), перпендикулярный к данной прямой, называется нормальным вектором прямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом k имеет вид y = kx + b (k = tg ϕ, где ϕ – угол наклона прямой к оси ).

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых с угловыми коэффициентами k1 и k2 определяются соответственно равенствами

k1 = k2, k1 = –1 / k2.

Уравнение прямой, проходящей через точку М(х0, у0), параллельно данной

прямой y = k2x + b имеет вид

 

y y0 = k2 (x x0 ) .

(5.11)

Уравнение прямой, проходящей через точку М(х0, у0), перпендикулярно

данной прямой y = k1x + b имеет вид

1

 

 

y y = −

(x x ) .

(5.12)

 

0

0

 

 

k1

 

Расстояние d от точки M(x0, y0) до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется по формуле

d =

Ax0

+ By0

+ C

.

(5.13)

 

A2 + B2

 

 

 

 

5 . 2 . К Р И В Ы Е В Т О Р О Г О П О Р Я Д К А

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух постоянных точек – фокусов, есть величина постоянная, равная 2а. Каноническое уравнение эллипса имеет вид

x2

+

y2

= 1

(a b).

(5.14)

a2

b2

 

 

 

 

 

a

y

 

 

График эллипса симметричен от-

 

 

 

носительно осей координат, а, b

 

 

 

 

 

 

 

M

d

полуоси эллипса (рисунок 5.3). Точки

b

 

 

r

 

F (c, 0)

и F (c, 0) , гдеc =

a2 b2 ,

 

 

 

 

1

 

2

 

 

F1

 

O

F2

 

называются фокусами эллипса. Число

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

c

 

ε = c < 1

называется

эксцентриси-

а / ε

 

 

a

 

 

 

 

 

а / ε

тетом эллипса.

 

 

 

 

 

 

 

Если а > b, то прямые х = ± а / ε

 

Р и с у н о к

5.3

 

называются

директрисами

эллипса

 

 

 

 

 

(если а < b, то директрисы опреде-

ляются уравнениями у = ± b / ε). Каждая директриса обладает следующим

свойством: если r – расстояние от произвольной точки эллипса до некоторого

 

 

 

 

 

36

 

 

 

 

фокуса, d – расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение r / d есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса: r / d = ε.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

x2

y2

= 1

(a > 0, b > 0) .

(5.15)

a2

b2

 

 

 

 

График (рисунок 5.4) симметричен относительно осей координат. Точки

F (c,0)

и F (c,0) , где c = a2

+ b2

называются фокусами гиперболы. Чис-

1

 

2

 

 

ло ε =

c

> 1 – эксцентриситет гиперболы. Если а > b, то прямые х = ± а / ε

a

 

 

 

 

называются директрисами гиперболы.

 

y

 

 

а / ε

а / ε

 

B2

M(x, y)

b

 

 

 

F1(–c, 0) A1

O

A2 F2(c, 0) x

 

B1

a

Р и с у н о к 5.4

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Каноническое уравнение параболы имеет вид

y2 = 2 px

( p > 0).

(5.16)

Графиксимметриченотносительнооси Ox (рисунок5.5). Точка F(p / 2, 0) называется фокусом параболы. Пря-

мая х = –р / 2 называется директрисой параболы. Считают, что для параболы ε = 1 .

Линия, которая в пространстве R2 определяется уравнением

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 ,

называется линией второго порядка.

37

y

M(x, y)

–p/2 O F(p/2, 0) x

Р и с у н о к 5.5

 

После преобразования этого уравнения приходим к уравнению эллипса,

гиперболы, параболы или вырожденной кривой.

 

y

 

 

 

Для определения положения точки на плоскости,

 

М

 

кроме рассмотренной декартовой системы применя-

 

 

 

 

r

 

 

ется полярная система координат. В этой системе

y

 

 

любая точка M фиксируется путем задания ее рас-

ϕ

 

 

0

 

x

стояния r до точки O и угла ϕ между осью Ox и век-

x

 

тором OM . При этом точка O и ось Ox выбираются

 

 

 

 

Р и с у н о к

5.6

 

заранее, точка O называется полюсом, Ox полярной

 

 

 

 

осью, r = OM

полярным радиусом точки M, ϕ

полярным углом точки M. Запись M (r, ϕ ) означает, что точка M имеет коор-

динаты r и ϕ (рисунок 5.6). В соответствии с определением r 0,

ϕ R .

 

Формулы, выражающие декартовы координаты точки через полярные,

имеют вид

 

 

x = r cos ϕ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = r sin ϕ.

 

 

Формулы, позволяющие определить полярные координаты r

и ϕ по де-

картовым координатам x, y точки M, имеют вид

 

r = x2 + y2 , tg ϕ = y / x.

6 . Р Е Ш Е Н И Е Т И П О В О Г О В А Р И А Н Т А К О Н Т Р О Л Ь Н О Й Р А Б О Т Ы № 2

2 Задание 6 . По трем заданным точкам А(3, 1), В(–13, –11), С(–6, 13)

построить треугольник и средствами векторной алгебры найти: 1) длину стороны ВС; 2) уравнение линии ВС; 3) уравнение высоты, проведенной из точки А; 4) длину высоты, проведенной из точки А; 5) площадь треугольника АВС; 6) угол между сторонами ВА и ВС; 7) координаты точки N – середины стороны АС; 8) координаты точки М, делящей сторону АВ в отношении 2 : 3, считая от точки А.

Решение. Чертеж треугольника приведен на рисунке 6.1.

1. Вычислим координаты вектора BC по формуле (5.1)

BC = (–6 – (–13); 13 – (–11)) = (7, 24).

Вычислим длину вектора по формуле (5.2)

 

 

 

 

 

BC

=

 

72 + 242 =

49 + 576 = 625 = 25 .

 

2. Запишем уравнение прямой ВС в виде (5.9)

 

x (13)

 

=

 

y (11)

 

 

x + 13

=

y + 11

24(x + 13) = 7(y + 11)

 

6 (13)

 

13 (11)

 

7

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24x + 312 = 7 y + 77 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38

 

 

Уравнение прямой ВС: 24x 7 y + 235 = 0 .

у

C(–6, 13)

13

 

 

N(–1,5; 7)

 

7

 

D(–8,52; 4,36)

 

 

 

4,36

 

–13

–10

 

–3,4

1

 

A(3, 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

–8,52

–6

–1,5 0

3

х

 

M(–3,4; 3,8)

 

–3,8

 

 

α

 

 

 

–11

 

В(–13,–11)

 

Р и с у н о к 6.1

3.

Уравнение высоты АD может быть получено различными способами.

1

с п о с о б . Заметим, что вектор

 

является нормальным вектором

BC

для прямой АD и точка А(3, 1) принадлежит прямой АD, следовательно,

 

7(х3)+ 24(у1) = 0 7x 21+ 24 y 24 = 0 .

Итак, АD: 7x + 24 y 45 = 0 .

2

с п о с о б . Запишем уравнение высоты, проведенной из точки А в

форме уравнения прямой с угловым коэффициентом k, при этом воспользуемся свойствами угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых.

Определим угловой коэффициент прямой ВС. Для этого разрешим урав-

нение прямой относительно у, имеем

 

 

 

 

 

 

y =

24

x +

235

kBC =

24

kАD = −

1

= −

7

.

7

7

7

kBC

24

 

 

 

 

 

 

Подставим полученные данные в (5.12) и получим

39

y 1 = − 247 (x 3).

Запишем полученное уравнение в форме общего уравнения плоскости: 24(y 1) = −7(x 3) 24 y 24 = −7x + 21 7x + 24 y 45 = 0 .

Заметим, что результаты в первом и втором слyчаях совпадают. Итак, прямая АD задается уравнением 7x + 24 y 45 = 0 .

4.Длину высоты АD также можно определить различными способами.

1с п о с о б . Поскольку координаты точки А известны, найдем координаты точки D. Заметим, что точка D лежит на пересечении прямых ВС и АD, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых. Составляем систему из уравнений, задающих прямые ВС и АD:

24x 7 y + 235 = 0;7x + 24y 45 = 0.

Решим систему по формулам Крамера:

24x 7 y = −235,

 

 

=

 

24

7

 

= 576 + 49

= 625 0 ,

 

 

 

 

24 y = 45,

 

 

 

7

24

 

7x +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

=

 

235

7

 

= −5325

,

 

y =

 

 

24

235

 

= 2725 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

45

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

45

 

 

x = x = −

5325

= −8,52 ;

y =

 

y

=

2725

= 4,36 D(–8,52; 4,36).

625

 

 

625

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь воспользуемся формулой (5.2) для вычисления длины отрезка

AD = (8,52 3)2 + (4,36 1)2 12 .

2 с п о с о б . Длину отрезка АD можно рассматривать как расстояние от точки А(3, 1) до прямой ВС ( 24x 7 y + 235 = 0 ), поэтому воспользуемся

формулой (5.13)

AD = d = 24 3 7 1+ 235 =

300 = 12 .

242 + (7)2

625

5.Найти площадь треугольника АВС.

Впредыдущих пунктах были определены величина основания ВС = 25 и

длина

 

 

высоты

 

АD

 

= 12 .

Поэтому целесообразно применить формулу

 

 

S =

1

 

 

BC

 

 

 

AD

 

. Имеем S

=

1

25 12 = 150 (кв. ед.).

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Для вычисления величины угла между сторонами ВА и ВС (угол α) воспользуемся формулой (5.4):

BC = (7, 24) , BA = (3 (13), 1(11)) = (16, 12) ,

40

Соседние файлы в предмете Высшая математика