2298 ЭИ
.pdfСоставить каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом F(0, –5). в) Найти уравнение равносторонней гиперболы, проходящей через точку (3,–1).
8.29. а) Определить фокусы и полуоси эллипса |
x2 |
+ |
|
y2 |
= 1 . б) Составить |
|
25 |
169 |
|||||
|
|
|
каноническое уравнение гиперболы, если действительная ось равна 16, а угол между асимптотой и осью абсцисс определяется условием tg ϕ = 3 / 4. в) Составить каноническое уравнение параболы, если расстояние от фокуса до вершины равно 3.
8.30. а) Составить каноническое уравнение эллипса, если большая полуось равна 26 и эксцентриситет ε = 12 / 13. б) Составить каноническое уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 2. в) Определить
полуоси, фокусы и асимптоты гиперболы |
x2 |
− |
y2 |
= 1 . |
|
225 |
|
64 |
|||
|
|
|
|
||
З А Д А Н И Е № |
|
9 |
|
||
Привести к каноническому виду уравнение |
кривой второго порядка |
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 , определить тип линии и построить эту кривую (таблица 4).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
- |
|
Коэффициенты |
|
- |
|
Коэффициенты |
|
||||||
вари№ анта |
A |
C |
D |
E |
F |
вари№ анта |
A |
C |
D |
E |
F |
||
|
|
уравнений кривой |
|
|
уравнений кривой |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.1. |
1 |
1 |
–6 |
10 |
|
–15 |
9.16. |
4 |
4 |
–12 |
4 |
|
–3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.2. |
1 |
4 |
0 |
–1 |
|
–5 |
9.17. |
9 |
5 |
18 |
–30 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.3. |
2 |
0 |
8 |
–1 |
|
12 |
9.18. |
36 |
–4 |
–72 |
16 |
|
–88 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.4. |
9 |
4 |
–54 |
–32 |
|
109 |
9.19. |
–4 |
9 |
16 |
18 |
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.5. |
4 |
–9 |
–8 |
–36 |
|
–68 |
9.20. |
4 |
36 |
–16 |
72 |
|
–92 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.6. |
4 |
9 |
–40 |
36 |
|
100 |
9.21. |
9 |
4 |
54 |
8 |
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.7. |
9 |
–26 |
–54 |
–64 |
|
–127 |
9.22. |
1 |
4 |
–2 |
56 |
|
181 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.8. |
3 |
3 |
–24 |
12 |
|
58 |
9.23. |
7 |
–2 |
–42 |
–16 |
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.9. |
5 |
1 |
10 |
–6 |
|
–6 |
9.24. |
9 |
–4 |
0 |
24 |
|
–72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.10. |
1 |
–1 |
6 |
0 |
|
8 |
9.25. |
–1 |
4 |
–4 |
8 |
|
–4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.11. |
1 |
7 |
6 |
–28 |
|
–12 |
9.26. |
1 |
1 |
6 |
–4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.12. |
3 |
–8 |
–6 |
–24 |
|
–36 |
9.27. |
1 |
1 |
–4 |
6 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31
- |
|
Коэффициенты |
|
- |
|
Коэффициенты |
|
||||||
№ вари анта |
|
|
№ вари анта |
|
|
||||||||
|
уравнений кривой |
|
|
уравнений кривой |
|
||||||||
A |
C |
D |
E |
|
F |
A |
C |
D |
E |
|
F |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.13. |
9 |
4 |
18 |
–8 |
|
–19 |
9.28. |
1 |
4 |
4 |
–16 |
|
–8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.14. |
2 |
0 |
–4 |
–1 |
|
–4 |
9.29. |
1 |
–1 |
0 |
–4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.15. |
9 |
–4 |
–36 |
–8 |
|
–4 |
9.30. |
25 |
9 |
–100 |
54 |
|
–44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З А Д А Н И Е № 1 0
Даны уравнения линии r = r (ϕ) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам на промежутке от ϕ = 0 до ϕ = 2π с шагом, равным π / 8; 2) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) назвать линию, найти координаты центра и полуоси.
10.1. r = |
|
16 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
10.2. r = |
|
16 |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
5 − 3cos ϕ |
|
|
|
3 − 5cos ϕ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
10.4. r = |
|
6 |
. |
|
|
|
|
|
10.5. r = |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
2 + cos ϕ |
|
|
|
|
|
2 + cos ϕ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
10.7. r = |
|
5 |
|
|
|
|
|
. |
10.8. r = |
|
10 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
3 − 4 cos ϕ |
2 + cos ϕ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
10.10. r = |
3 |
|
|
|
|
|
|
. |
10.11. r = |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
1− 2 cos ϕ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
cos |
ϕ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
10.13. r = |
3 |
|
|
. |
|
|
|
10.14. r = |
|
|
12 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1+ cos ϕ |
|
|
|
|
2 − cos ϕ |
|
|
|
||||||||||||||||||
10.16. r = |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
10.17. r = |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
5 + 4 cos ϕ |
|
3 + 2 cos ϕ |
||||||||||||||||||||||||
10.19. r = |
1 |
|
. |
|
|
|
10.20. r = |
|
|
1 |
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
1+ cos ϕ |
|
|
|
3 − 3cos ϕ |
|||||||||||||||||||||||
10.22. r = |
8 |
|
|
|
. |
|
|
|
10.23. r = |
|
|
5 |
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
3 − cos ϕ |
|
|
|
6 + 3cos ϕ |
||||||||||||||||||||||
10.25. r = |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
10.26. r = |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4 − 5cos ϕ |
|
3 − |
|
2 cos ϕ |
||||||||||||||||||||||
10.28. r = |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.29. r = |
|
|
144 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
5 + 3cos ϕ |
|
|
5 + 13cos ϕ |
32
10.3. r = |
|
5 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1− cos ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10.6. r = |
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||
6 + 3cos ϕ |
|
|
||||||||||||||
10.9. r = |
|
4 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
2 − 3cos ϕ |
|
|
||||||||||||||
10.12. r = |
6 |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
1− cos ϕ |
|
|
|
|
||||||||||
10.15. r = |
1 |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
3 − 3cos ϕ |
||||||||||||||
10.18. r = |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
1− |
3 |
cos ϕ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10.21. r = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
2 + 2 cos ϕ |
||||||||||||||
10.24. r = |
3 |
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
1− cos ϕ |
|
|
|
||||||||||||
10.27. r = |
21 |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
5 − 2 cos ϕ |
||||||||||||||
10.30. r = |
4 |
|
. |
|
|
|||||||||||
|
1− cos ϕ |
|
|
5 . М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я К К О Н Т Р О Л Ь Н О Й Р А Б О Т Е № 2
5 . 1 . А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я
Выберем в пространстве две упорядоченные точки А и В. Соответствую-
щий направленный отрезок AB называется вектором.
Расстояние между точками А и В называется модулем или длиной вектора. Для модуля вектора AB используются обозначения AB , a , а. Вектор a
называется единичным вектором, если a = 1.
Несколько векторов называются коллинеарными, если все они расположе-
ны на прямых, параллельных одной и той же прямой. Если векторы a и b
коллинеарны, то записывают a b.
Несколько векторов называются компланарными, если существует плоскость, параллельная всем прямым, на которых эти векторы расположены.
Составим суммы векторов, умноженных на числа
n
λ1a1 + λ2a2 + ... + λnan = ∑λiai , λi R.
i=1
Выражения такого вида называются линейными комбинациями векторов. Если некоторый вектор представлен в виде линейной комбинации каких-
либо векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.
Базисом в пространстве называют любые три упорядоченных некомпланарных вектора. При этом любой вектор пространства является их линейной комбинацией.
Если ( e1,e2 ,e3 ) – базис в пространстве, то любой вектор a = λ1e1 + λ 2e2 + λ3e3 ,
при этом числа λ1,λ2 ,λ3 называются координатами вектора a в базисе
( e1,e2 ,e3 ). Записывают a = (λ1,λ2 ,λ3).
Выберем в пространстве точку О и возьмем упорядоченную тройку орто-
гональных единичных векторов ( i , j, k ) – базис в пространстве.
Совокупность точки О и базиса ( i , j, k ) называется ортогональной де-
картовой системой координат. При этом принята следующая терминология: О – начало координат; прямые, проходящие через начало в направлении базисных векторов – оси координат; плоскости, проходящие через оси коорди-
нат – координатные плоскости. На рисунке 5.1 показана правая система координат.
33
z |
|
|
|
Если |
А(х1, у1, z1), B(х2, у2, z2) – точки, задан- |
|||||||||||||
|
ные в декартовой системе координат, то коорди- |
|||||||||||||||||
k |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
наты и |
модуль |
вектора |
|
AB |
можно |
найти по |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
j |
|
|
= (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1 ) , |
(5.1) |
|||||||||||
i 0 |
y |
AB |
||||||||||||||||
|
(x |
− x )2 + ( y |
|
− y )2 |
+ (z |
|
− z )2 . (5.2) |
|||||||||||
|
|
|
|
AB = |
2 |
2 |
||||||||||||
x |
|
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||
|
Скалярным произведением двух векторов на- |
|||||||||||||||||
Р и с у н о к |
5.1 |
|||||||||||||||||
зывается |
число, |
равное |
|
произведению |
модулей |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
векторов, умноженному на косинус угла между векторами
a b = a b cos(a, b ).
Если векторы заданы координатами, то скалярное произведение вычисляется по формуле
a |
b |
= axbx + ayby + azbz. |
(5.3) |
С помощью скалярного произведения можно найти угол между векторами через их координаты:
cr = ar × br
0
a
Р и с у н о к 5.2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
cos(a, |
|
) = |
a |
b |
. |
(5.4) |
||||||
|
b |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторным произведением вектора a на вектор |
|||||||||||||
|
|
|
|
называется вектор |
c , модуль которого равен пло- |
||||||||||||
|
b |
||||||||||||||||
|
щади параллелограмма, построенного на векторах a |
||||||||||||||||
|
и |
|
, а направление ортогонально к векторам a и |
|
, |
||||||||||||
r |
b |
b |
|||||||||||||||
b |
причем векторы ( a, |
|
, c ) образуют правую тройку |
||||||||||||||
b |
векторов (рисунок 5.2).
c = a b sin(a,b ) .
Обозначается векторное произведение c = a×b .
Если векторы заданы координатами, то векторное произведение находится по формуле
|
|
|
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
||||
a × |
|
= |
ax |
ay |
az |
. |
(5.5) |
||
b |
|||||||||
|
|
|
bx |
by |
bz |
|
|
С помощью векторного произведения можно вычислить площадь треуголь-
ника S = 12 a × b , где a , b – векторы, на которых построен треугольник.
Смешанное произведение трех векторов определяется следующим образом:
34
(a × b )c = (ab c).
Модуль смешанного произведения выражает объем параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах.
Если известны координаты векторов, то
|
|
|
ax |
ay |
az |
|
|
(a |
b |
c) = |
bx |
by |
bz |
. |
(5.6) |
|
|
|
cx |
cy |
cz |
|
|
Линейное уравнение вида |
|
|
|
|
|||
Ax + By + Cz + D = 0 |
(5.7) |
называется общим уравнением плоскости.
Вектор n = ( A, B, C) , составленный из коэффициентов при x, y, z , на-
правлен по нормали к плоскости (5.7) и называется нормальным вектором плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М( x0 , y0 , z0 ) име-
ет вид
A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 .
Уравнение плоскости, проходящей через три точки M1(x1, y1, z1) , M2 (x2 , y2 , z2 ) , M3 (x3, y3, z3 ) , не лежащие на одной прямой, имеет вид
x − x1 x2 − x1 x3 − x1
y − y1 y2 − y1 y3 − y1
z − z1
z2 − z1 = 0 . (5.8) z3 − z1
Канонические уравнения прямой линии имеют вид
|
|
|
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
|
= |
z − z0 |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
n |
|
|
|
|
p |
|
|||
Здесь M 0 (x0 , y0 , z0 ) − некоторая фиксированная точка, |
принадлежащая |
|||||||||||||||||
данной прямой; |
s = (m, n, |
p) |
− направляющий вектор прямой, т. е. вектор, |
|||||||||||||||
лежащий на прямой, параллельной данной. |
|
|
|
|
|
|
M1(x1, y1, z1) , |
|||||||||||
Уравнение |
прямой, |
проходящей |
через две точки |
|||||||||||||||
M 2 (x2 , y2 , z2 ) , имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x − x1 |
= |
y − y1 |
= |
z − z1 |
. |
(5.9) |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
− x |
|
y |
2 |
− y |
|
z |
2 |
− z |
|
||||||
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
Если точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и M(x, y, z) лежат на одной прямой и AM = λMB , то координаты точки M можно найти по формулам
x = |
x1 + λx2 |
; |
y = |
y1 + λy2 |
; |
z = |
z1 + λz2 |
, λ R . |
(5.10) |
|
1+ λ |
1 + λ |
1+ λ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид
35
Ах+ By + C = 0 ,
причем хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.
Ненулевой вектор n = (А, В), перпендикулярный к данной прямой, называется нормальным вектором прямой на плоскости.
Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом k имеет вид y = kx + b (k = tg ϕ, где ϕ – угол наклона прямой к оси Oх).
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых с угловыми коэффициентами k1 и k2 определяются соответственно равенствами
k1 = k2, k1 = –1 / k2.
Уравнение прямой, проходящей через точку М(х0, у0), параллельно данной
прямой y = k2x + b имеет вид |
|
y − y0 = k2 (x − x0 ) . |
(5.11) |
Уравнение прямой, проходящей через точку М(х0, у0), перпендикулярно
данной прямой y = k1x + b имеет вид |
1 |
|
|
|
y − y = − |
(x − x ) . |
(5.12) |
||
|
||||
0 |
0 |
|
||
|
k1 |
|
Расстояние d от точки M(x0, y0) до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется по формуле
d = |
Ax0 |
+ By0 |
+ C |
. |
(5.13) |
|
A2 + B2 |
||||
|
|
|
|
5 . 2 . К Р И В Ы Е В Т О Р О Г О П О Р Я Д К А
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух постоянных точек – фокусов, есть величина постоянная, равная 2а. Каноническое уравнение эллипса имеет вид
x2 |
+ |
y2 |
= 1 |
(a ≥ b). |
(5.14) |
|
a2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
|
a |
y |
|
|
График эллипса симметричен от- |
||||
|
|
|
носительно осей координат, а, b – |
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
M |
d |
полуоси эллипса (рисунок 5.3). Точки |
||||
b |
|
|
r |
|
F (−c, 0) |
и F (c, 0) , гдеc = |
a2 − b2 , |
||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
F1 |
|
O |
F2 |
|
называются фокусами эллипса. Число |
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
c |
|
ε = c < 1 |
называется |
эксцентриси- |
||
а / ε |
|
|
a |
|
|
|
|
||
|
а / ε |
тетом эллипса. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Если а > b, то прямые х = ± а / ε |
||||
|
Р и с у н о к |
5.3 |
|
называются |
директрисами |
эллипса |
|||
|
|
|
|
|
(если а < b, то директрисы опреде- |
||||
ляются уравнениями у = ± b / ε). Каждая директриса обладает следующим |
|||||||||
свойством: если r – расстояние от произвольной точки эллипса до некоторого |
|||||||||
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
фокуса, d – расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение r / d есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса: r / d = ε.
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
x2 |
− |
y2 |
= 1 |
(a > 0, b > 0) . |
(5.15) |
|
a2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
График (рисунок 5.4) симметричен относительно осей координат. Точки
F (−c,0) |
и F (c,0) , где c = a2 |
+ b2 |
называются фокусами гиперболы. Чис- |
||
1 |
|
2 |
|
|
|
ло ε = |
c |
> 1 – эксцентриситет гиперболы. Если а > b, то прямые х = ± а / ε |
|||
a |
|||||
|
|
|
|
называются директрисами гиперболы.
|
y |
|
|
а / ε |
а / ε |
|
B2 |
M(x, y) |
b |
|
|
|
|
|
F1(–c, 0) A1 |
O |
A2 F2(c, 0) x |
|
B1 |
a |
Р и с у н о к 5.4
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Каноническое уравнение параболы имеет вид
y2 = 2 px |
( p > 0). |
(5.16) |
Графиксимметриченотносительнооси Ox (рисунок5.5). Точка F(p / 2, 0) называется фокусом параболы. Пря-
мая х = –р / 2 называется директрисой параболы. Считают, что для параболы ε = 1 .
Линия, которая в пространстве R2 определяется уравнением
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 ,
называется линией второго порядка.
37
y
M(x, y)
–p/2 O F(p/2, 0) x
Р и с у н о к 5.5
|
После преобразования этого уравнения приходим к уравнению эллипса, |
|||||
гиперболы, параболы или вырожденной кривой. |
|
|||||
y |
|
|
|
Для определения положения точки на плоскости, |
||
|
М |
|
кроме рассмотренной декартовой системы применя- |
|||
|
|
|
||||
|
r |
|
|
ется полярная система координат. В этой системе |
||
y |
|
|
любая точка M фиксируется путем задания ее рас- |
|||
ϕ |
|
|
||||
0 |
|
x |
стояния r до точки O и угла ϕ между осью Ox и век- |
|||
x |
|
тором OM . При этом точка O и ось Ox выбираются |
||||
|
|
|
||||
|
Р и с у н о к |
5.6 |
|
заранее, точка O называется полюсом, Ox – полярной |
||
|
|
|
|
осью, r = OM |
– полярным радиусом точки M, ϕ – |
|
полярным углом точки M. Запись M (r, ϕ ) означает, что точка M имеет коор- |
||||||
динаты r и ϕ (рисунок 5.6). В соответствии с определением r ≥ 0, |
ϕ R . |
|||||
|
Формулы, выражающие декартовы координаты точки через полярные, |
|||||
имеют вид |
|
|
x = r cos ϕ , |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = r sin ϕ. |
|
|
|
Формулы, позволяющие определить полярные координаты r |
и ϕ по де- |
||||
картовым координатам x, y точки M, имеют вид |
|
r = x2 + y2 , tg ϕ = y / x.
6 . Р Е Ш Е Н И Е Т И П О В О Г О В А Р И А Н Т А К О Н Т Р О Л Ь Н О Й Р А Б О Т Ы № 2
2 Задание 6 . По трем заданным точкам А(3, 1), В(–13, –11), С(–6, 13)
построить треугольник и средствами векторной алгебры найти: 1) длину стороны ВС; 2) уравнение линии ВС; 3) уравнение высоты, проведенной из точки А; 4) длину высоты, проведенной из точки А; 5) площадь треугольника АВС; 6) угол между сторонами ВА и ВС; 7) координаты точки N – середины стороны АС; 8) координаты точки М, делящей сторону АВ в отношении 2 : 3, считая от точки А.
Решение. Чертеж треугольника приведен на рисунке 6.1.
1. Вычислим координаты вектора BC по формуле (5.1)
BC = (–6 – (–13); 13 – (–11)) = (7, 24).
Вычислим длину вектора по формуле (5.2)
|
|
|
|
|
BC |
= |
|
72 + 242 = |
49 + 576 = 625 = 25 . |
|
|||
2. Запишем уравнение прямой ВС в виде (5.9) |
|
||||||||||||
x − (− 13) |
|
= |
|
y − (− 11) |
|
|
x + 13 |
= |
y + 11 |
24(x + 13) = 7(y + 11) |
|
||
− 6 − (− 13) |
|
13 − (−11) |
|
7 |
24 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
24x + 312 = 7 y + 77 . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
Уравнение прямой ВС: 24x − 7 y + 235 = 0 .
у
C(–6, 13)
13
|
|
N(–1,5; 7) |
|
7 |
|
|
D(–8,52; 4,36) |
|
|
|
4,36 |
|
|
–13 |
–10 |
|
–3,4 |
1 |
|
A(3, 1) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
–8,52 |
–6 |
–1,5 0 |
3 |
х |
|
|
M(–3,4; 3,8) |
|
–3,8 |
|
|
α |
||
|
|
|
–11 |
|
В(–13,–11) |
||
|
Р и с у н о к 6.1 |
||
3. |
Уравнение высоты АD может быть получено различными способами. |
||
1 |
с п о с о б . Заметим, что вектор |
|
является нормальным вектором |
BC |
|||
для прямой АD и точка А(3, 1) принадлежит прямой АD, следовательно, |
|||
|
7(х− 3)+ 24(у−1) = 0 7x − 21+ 24 y − 24 = 0 . |
||
Итак, АD: 7x + 24 y − 45 = 0 . |
|||
2 |
с п о с о б . Запишем уравнение высоты, проведенной из точки А в |
форме уравнения прямой с угловым коэффициентом k, при этом воспользуемся свойствами угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых.
Определим угловой коэффициент прямой ВС. Для этого разрешим урав-
нение прямой относительно у, имеем |
|
|
|
|
|
|
|||||
y = |
24 |
x + |
235 |
kBC = |
24 |
kАD = − |
1 |
= − |
7 |
. |
|
7 |
7 |
7 |
kBC |
24 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Подставим полученные данные в (5.12) и получим
39
y −1 = − 247 (x − 3).
Запишем полученное уравнение в форме общего уравнения плоскости: 24(y −1) = −7(x − 3) 24 y − 24 = −7x + 21 7x + 24 y − 45 = 0 .
Заметим, что результаты в первом и втором слyчаях совпадают. Итак, прямая АD задается уравнением 7x + 24 y − 45 = 0 .
4.Длину высоты АD также можно определить различными способами.
1с п о с о б . Поскольку координаты точки А известны, найдем координаты точки D. Заметим, что точка D лежит на пересечении прямых ВС и АD, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых. Составляем систему из уравнений, задающих прямые ВС и АD:
24x − 7 y + 235 = 0;7x + 24y − 45 = 0.
Решим систему по формулам Крамера:
24x − 7 y = −235, |
|
|
= |
|
24 |
− 7 |
|
= 576 + 49 |
= 625 ≠ 0 , |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
24 y = 45, |
|
|
|
7 |
24 |
|
||||||||||||||
7x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
= |
|
− 235 |
− 7 |
|
= −5325 |
, |
|
y = |
|
|
24 |
− 235 |
|
= 2725 , |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
45 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
45 |
|
|
|||
x = x = − |
5325 |
= −8,52 ; |
y = |
|
y |
= |
2725 |
= 4,36 D(–8,52; 4,36). |
|||||||||||||
625 |
|
|
625 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь воспользуемся формулой (5.2) для вычисления длины отрезка
AD = (−8,52 − 3)2 + (4,36 −1)2 ≈ 12 .
2 с п о с о б . Длину отрезка АD можно рассматривать как расстояние от точки А(3, 1) до прямой ВС ( 24x − 7 y + 235 = 0 ), поэтому воспользуемся
формулой (5.13)
AD = d = 24 3 − 7 1+ 235 = |
300 = 12 . |
242 + (−7)2 |
625 |
5.Найти площадь треугольника АВС.
Впредыдущих пунктах были определены величина основания ВС = 25 и
длина |
|
|
высоты |
|
АD |
|
= 12 . |
Поэтому целесообразно применить формулу |
|||||||||
|
|
||||||||||||||||
S = |
1 |
|
|
BC |
|
|
|
AD |
|
. Имеем S |
= |
1 |
25 12 = 150 (кв. ед.). |
||||
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Для вычисления величины угла между сторонами ВА и ВС (угол α) воспользуемся формулой (5.4):
BC = (7, 24) , BA = (3 − (−13), 1− (−11)) = (16, 12) ,
40