Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2468

.pdf
Скачиваний:
36
Добавлен:
08.04.2018
Размер:
592.26 Кб
Скачать

2468

М И Н И С Т Е Р С Т В О Т Р А Н С П О Р Т А

Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И

 

Ф Е Д Е Р А Л Ь Н О Е

А Г Е Н Т С Т В О

 

Ж Е Л Е З Н О Д О Р О Ж Н О Г О Т Р А Н С П О Р Т А

СамГУПС

С а м а р с к и й

г о с у д а р с т в е н н ы й

у н и в е р с и т е т

п у т е й

с о о б щ е н и я

 

 

 

 

 

К а ф е д р а в ы с ш е й м а т е м а т и к и

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ инженерно-технических специальностей

Ч А С Т Ь 2

у

О х

Самара 2010

УДК 519.7

Высшая математика : контрольные задания для студентов заочной формы обучения инженерно-технических специальностей. Часть 2 / составители : А. Д. Бочкарев, В. А. Зыбин, Л. В. Кайдалова, В. П. Кузнецов, Е. Н. Самойлик. – Самара : СамГУПС, 2010. – 39 с.

Утверждены на заседании кафедры 17.12.2009 г., протокол № 5. Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

Контрольные задания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом, с действующей программой по высшей математике для технических специальностей и охватывают дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.

В работе приведены варианты индивидуальных заданий и решения типовых задач.

Предназначены для студентов I курса инженерно-технических специальностей заочной формы обучения.

Составители:

А. Д. Бочкарев, к. ф.-м. н., доцент,

 

В. А. Зыбин, доцент,

 

Л. В. Кайдалова, к. ф.-м. н., доцент,

 

В. П. Кузнецов, к. ф.-м. н., доцент,

 

Е. Н. Самойлик, к. п. н.

Рецензенты: к. ф.-м. н., доц. Орского гуманитарно-технологического института А. Н. Брыльков, к. ф.-м. н., доцент филиал СамГУПС И. Н. Михайличенко

© Самарский государственный университет путей сообщения, 2010

2

К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А № 3

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О Е И С Ч И С Л Е Н И Е Ф У Н К Ц И Й О Д Н О Й П Е Р Е М Е Н Н О Й

З А Д А Н И Е № 1

 

Найти дифференциалы dy

функций у = f (x) .

 

3.1.

а)

y = 5

 

2

+ 3x4

x9

;

б)

y =

 

4 (x 3)3

;

 

 

x4

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

(x + 2)5

 

 

г)

y = 32x + ctg(3x4 ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2.

а)

y = 6

+ 3

+ 5 x2

3x7

;

б)

y =

 

e3x

;

 

 

 

 

 

 

x

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 2x

 

 

г)

y = e3x

+ sin(4x5 ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3.

а)

y = 5x

4

4

3 x

3

+

4

;

б)

y =

 

4 (2 x)7

;

 

x

 

x3

 

(x + 3)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

y = 42x+1 + tg(2x6 ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

3.4.

а)

y = 3x4 +

5

3 x5

+

3

;

б)

y = ln5x ;

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x2

 

 

 

 

e2x

 

 

г)

y = e5x + sin(20x3 ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

3.5.

а)

y = 4x +

5

7 + 4 x3 ;

 

б) y =

3 (4 x)2

;

 

 

 

 

x4

x

 

 

 

 

 

 

 

(x 5)5

 

 

г)

y = cos 2x + 32хх2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

3.6.

а)

y = 4 x5

5

+

7x4

2

;

б)

 

 

 

 

x4

 

 

x

 

 

 

г)

y = sin 2x + ctg(4x3 )

 

 

 

3.7.

а)

y =

4 + 7

x4

+

8x3

6

;

б)

 

 

 

x7

 

 

 

x

 

 

 

г)

y = e3x + cos(5x6 )

 

 

 

3.8.

а)

y = 2x7 +

9 4

x9

3

;

б)

 

 

 

 

x

 

x8

 

 

 

г) y = tg x4 + e7 х2 ;

 

 

 

 

3.9.

а)

y =

x3

6

+

3 3x5

;

б)

 

 

 

 

x5

 

x

 

 

 

y =

e2x

;

 

 

ln5x

 

 

 

 

 

 

y =

 

(1 x)5

;

(x

4)6

 

 

y =

4x3 + 5х

 

;

 

3x

2

 

 

 

y =

4

(3 x)7

;

(2

+ x)4

 

 

в)

y = cos(5x6 ) arctg4 3x ;

д)

y = (arctg2x)sin x .

в)

y = tg(2x7 ) arcctg3 5x ;

д)

y = (ctgx) x .

в)

y = ctg

1

arcsin3 4x ;

 

 

 

 

x

д)

y = (ctg 5х)x .

в)

y = tg

 

x arccos5 3x ;

д)

y = (

x )arccos 3x .

в)

y = cos5 x arcsin2 х ;

д)

y = (tg3x) x .

в)

y = tg3 2x arccos2x3 ;

д)

y = (ctg7x)sin x .

в)

y = sin6 3x arctg3 x ;

д)

y = (arctg x)tg3x .

в)

y = arcctg2 5xln(x4 x) ;

д)

y = (sin 3x)ctg x .

в)

y = arctg3 x ln(7x3 x) ;

3

г)

y = 2x tg(3x4 ) ;

 

 

 

3.10. а)

y = 7 + 3 x2

+

3

+

x ;

б)

 

x

 

 

x7

 

 

 

 

 

г)

y = e2x + ctg(8x3 ) ;

 

 

 

3.11. а)

y = 8x

3 + 8

5

+ 3

x7

;

б)

 

 

x

x7

 

 

 

 

 

г)

y = 43x sin(5x4 ) ;

 

 

 

3.12. а)

y = 4

3x3 +

3

+

 

x5

;

б)

 

x3

 

 

x

 

 

 

 

 

г)

y = cos(x4 ) ctg3

x ;

 

 

 

3.13. а)

y = 9x2 +

x5

+ 5

5

;

б)

 

 

 

 

 

x

x4

 

 

г)

y = ln 2x cos(7x3 ) ;

 

 

 

3.14. а)

y = 3x6 + 3

x7

4

+ 6x4 ;

б)

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

г)

y = 52x + tg(2x3 ) ;

 

 

 

3.15. а)

y = 9

+ 3

x3

+ 3x7 ;

б)

 

x3

x

 

 

 

 

 

 

 

г)

y = 46x + сtg(x3 ) ;

 

 

 

3.16. а)

y = 3

8 5

x2

+ 8x3 ;

б)

 

x5

x

 

 

 

 

 

 

 

г)

y = e4x sin(6x2 ) ;

 

 

 

3.17. а)

y = 3 x4 10 + 5 4x5

;

б)

 

 

x3

x

 

 

 

г)

y = ctg8x + cos(7x2 ) ;

 

 

3.18. а)

y = 6x

4 1 +

3

x 2

;

б)

 

 

x2

 

 

 

x

 

 

г)

y = tg5x + sin(6x3 ) ;

 

 

 

3.19. а)

y = 6x

2 2

5

x2 +

7

;

б)

 

 

x

 

 

 

 

x2

 

 

y =

 

3x3 1

 

 

 

;

 

ctg x + х

 

 

 

 

 

 

y =

5

(2 x)6

 

 

 

(7 x)3 ;

y =

 

4x х

 

 

 

 

;

2x4

+ 3х3

 

 

 

 

y =

4

(6

x)3

 

;

 

(1 x)4

 

 

 

 

 

 

 

y =

 

 

e5x

 

 

;

 

4x5 2х

 

y =

5

(7 x)

2

 

;

 

(3 x)4

 

 

 

 

 

 

 

y =

4x6

 

;

 

 

 

 

 

e4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

(10 x)3

 

;

3 (2 x)5

 

 

 

 

 

 

y =

 

 

x2 5x

 

;

 

 

tg x + x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

ex

 

;

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

д) y = (ln(x + 3))sin x .

в) y = arccos4 7xln(x2 + x) ;

д)

y = (tg x)sin 5x .

в)

y = 3x arcsin 2x ;

д)

y = (cos5x)сtg x .

в)

y = tg4 3x arcctg7x2 ;

д)

y = (ln(x + 3))sin x .

в)

y = 5x2 arcsin2 3x ;

д)

y = (sin x)tg x .

в) y = ctg 2x log2 (2x3 1) ;

д) y = (ctg x )sin x .

в) y = log3 (x3 + 7)arcsin4 x ;

д) y = (sin х)ln 2x .

в) y = ctg3 4x arctg(2x5 ) ;

д) y = (cos x)x2 +1 .

в) y = ecos xarctg2 (7x5 ) ;

д) y = (cos x)sin 9x .

в) y = 2sin x arcctg2 (x2 ) ;

д) y = (ctg x)sin x .

в) y = 3x3 arctg3 (5x2 ) ;

г)

y = sin

x

 

+ ctg(6x3 ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.20. а)

y = 3x

4 +

 

6

+ 3x4

 

2

 

;

б)

 

 

x5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

г)

y = cos

 

x

 

ctg(3x5 ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.21. а)

y = 4x

6 3 3 x7 +

9

;

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x4

 

 

г) y =

 

 

 

 

 

 

 

ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

(2x2 x + 4)2

 

 

 

 

 

 

3.22. а)

y = 8x

4 +

4 x3 7 14

;

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x3

 

 

г)

y = ln

x

sin(7x3 ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.23. а)

y = 3 3

x7 4x7 +

5

;

б)

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x5

 

 

г)

y = e3x+1 ctg(5x3 ) ;

 

 

 

 

3.24. а)

y = 5x

3

13 x3 +

11 ;

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x5

 

 

г)

y = eх/ 2 ctg(7x2 ) ;

 

 

 

 

3.25. а)

y = 5x

5

3 x4 + 8

2

;

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

x

 

 

г)

y = e2x + sin(3x6 ) ;

 

 

 

 

 

 

3.26. а)

y = 11x

 

5 7 x4

6

;

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

x

 

 

г)

y = ex2

 

 

cos(4x3 ) ;

 

 

 

 

 

 

3.27. а)

y = 63

 

x 4 8x4

+

4

;

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x7

 

 

x

 

 

г)

y = ex + arccos(8x3 ) ;

 

 

3.28. а)

y = 4x

7 + 6 x5 3 11

;

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x3

 

 

г)

y = 7x tg(2x7 ) ;

 

 

 

 

 

 

y =

(x 4)

5

 

;

 

(4 x)3

y = ln 2x e3x4 ;

y =

ex + 2

 

;

(2x + 3)5

 

 

y =

ex 5

;

 

(x

5)7

 

 

 

 

y= cos8x 8 ; x4 + 16x

y= e5x 3x ;

5 + ctg x

y =

 

x3 6

;

 

x + sin 2x

y =

5x2 + x 2

;

 

e2x

 

 

 

y =

 

(x + 1)3

;

 

3 (2 x)5

 

 

 

5

д) y = (sin x)tg5x .

в) y = 3cos x arcsin2 3x ;

д) y = (cos x)sin 3x .

в) y = ln(x3 1)arccos2 4x ;

д) y = (sin 2x)ctg x .

в) y = lg(x4 + 2)arcsin2 3x ;

д) y = (ctg x)sin 4x .

в) y = 3sin x arctg2 3x ;

д) y = (tg4x)cos x .

в) y = 2cos x arcctg3 7x ;

д) y = (sin 7x)ctg x .

в) y = lg(x5 + 1)arcsin2 2x ;

д) y = (ctg7x)ln(x+1) .

в) y = log2 (x2 + 1)arccos2 x ;

д) y = (cos3x)ln x .

в) y = 2x2 arctg3 (4x) ;

д) y = (log5 x)arccos x .

в) y = ln(x2 1)arcctg4 3x ;

д) y = (ln 2x)ctg x .

3.29. а)

y =

5 5 x8

4x6 +

2 ;

б)

у =

5х2 х ;

 

 

в) y = cos(2x3 + 1)arctg2 x3 ;

 

 

x

 

 

 

x4

 

 

е3х 5

 

 

 

 

г)

y = 6x + ctg(2x5 ) ;

 

 

 

 

 

 

д)

y = (ln 2x)cos 4x .

 

 

 

3

4

2

 

 

y =

x + tg 2x

 

 

 

 

3.30. а)

y =

5x

 

x3

+ x + 43 x ;

б)

 

 

;

в) y = log6 (2x3 +1)arctg2 x3 ;

 

(3x 2)2

 

г)

y = 6x ctg(2x3 ) ;

 

 

 

 

 

 

д)

y = (ln x)ctg 6x .

 

 

 

 

 

 

З А Д А Н И Е №

2

 

 

Найти производные первого и второго порядков функций заданных а) явно; б) параметрически; в) неявно.

2.1.

а)

y = sin 2 3x ;

б)

x = t , y = 5 t ;

в)

4x + 5y = arcctg y .

2.2.

а)

y = cos2 4x ;

б)

y = t sin(t / 2) ,

в)

x2

y3

 

 

 

y = 4 cos(t / 2) ;

 

+

 

= 1.

 

 

 

5

3

2.3.

а)

y = e2x2 +1 ;

б)

x = 5(1sin t) ,

 

 

 

y = 5(1cos t) ;

 

2.4.

а)

y = cos2 3x ;

б)

x = 2t 2 + 4t,

y = 5t3 3t 2 ;

2.5.

а)

y = 7 sin 2 3x ;

б)

x = e9t , y = e9t ;

2.6.

а)

y = 8 cos2 4x ;

б)

x = e5t ; y = e2t ;

2.7.

а)

y = 9 + sin 2 5x ;

б)

x = e4t , y = e2t ;

2.8.

а)

y = 6 cos2 3x ;

б)

x = e3t , y = e6t ;

2.9.

а)

y = esin x ;

б)

x = 2t t3 , y = 2t 2 ;

2.10. а)

y = ecos x ;

б)

x = cos 2t, y = sin 2t ;

2.11. а)

y = 2 ex2 ;

б)

x = t sin t,

y = 1cos t ;

2.12. а)

y = 4 + e5x2 ;

б)

x = cos(t / 2),

y = t sin t ;

2.13. а)

y = 5 sin 2 4x ;

б)

x = cos 3t, y = sin 3t ;

2.14. а)

y = 13cos2 2x ;

б)

x = sin(t / 2),

y = cost ;

2.15. а)

y = sin 2 7x ;

б)

x = e2t , y = cos t ;

2.16. а)

y = ln(1+ x3 ) ;

б)

x = t 2 , y = t3 / 3 t ;

2.17. а)

y = ln(5 x2 ) ;

б)

x = 3t t3 , y = 3t 2 ;

2.18. а)

y = e2sin x1 ;

б)

x = t t 4 , y = t 2 t3 ;

2.19. а)

y = ln(8 x4 ) ;

б)

x = 2t t 2 , y = 3t t3;

в)

x2

+

y2

= 1 .

5

7

 

 

 

 

 

в)

y2 = 8x .

 

в)

y = x + arctg y .

в)

y2 = 25x 4 .

в)

y2 x = cos y .

в) tg y = 3x + 5y .

в)

y2 + x2 = sin y .

в)

4sin(x + y) = x .

в) tg y = 4 y 5x .

в)

xy 6 = cos y .

в)

ln( у/ х) = y2 x .

в) x + x2 y2 = 5y .

в) sin y = xy2 + 5 .

в) x + y = 7 . в) sin(3x + y2 ) = 5x . в) ctg(x + y) = 5x .

в) xy2 y3 = 4x 5.

6

2.20. а)

y = sin 2 9x 8 ;

б)

x = t 2 + t + 1, y = t3 + t ;

в)

2.21. а)

y = sin 2 (3x 1) ;

б)

x = 8cost, y = 3sin t ;

в)

2.22. а)

y = (x2 + 3)2 ;

б)

x = t3 + t 2 1, y = t 2 + t + 1 ;

в)

2.23. а)

y = sin(x2 5) ;

б)

x = t3 + t 2 + 1, y = 1/ t ;

в)

2.24. а)

y = cos(x3 + 2) ;

б)

x = 2t 2 + t, y = ln t ;

в)

2.25. а)

y = (7 x3 )3 ;

б)

x = e3t , y = e3t ;

в)

2.26. а)

y = ex2 +1 ;

б)

x = cos(t / 2), y = sin(t / 2) ;

в)

2.27. а)

y = 1sin(x3 2) ;

б)

x = e2t , y = e4t ;

в)

2.28. а)

y = ln(x4 4) ;

б)

x = 5cos t, y = 4sin t ;

в)

2.29. а)

y = 5 ex3 ;

б)

x = t 2 2t, y = t3 + t ;

в)

2.30. а)

y = ex4 ;

б)

x = e6t , y = e6t ;

в)

arcctg y = 4x + 5y. x2 y2 + xy = 11 . y2 4x3 = 0 .

sin y + 3x = 5y . xy = ctg y .

ln y у/ х = 7 . 7 y = 4x e y . sin y = 7x + 3y . y = 7x ctg y . 3y = 7 + xy3 .

x3 + y3 = 5x .

З А Д А Н И Е № 3

Найти пределы функций, используя правило Лопиталя.

3.1.

а)

lim

5x2 4x 1

 

;

б)

lim

5x2 4x 1

;

в)

6x2 5x 1

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

x→∞ 6x2 5x 1

 

 

3.2.

а)

lim

 

2x2 8

 

;

б)

lim

2x2 8

;

 

в)

 

x2 5x + 6

 

5x + 6

 

 

 

x2

 

 

 

 

x→∞ x2

 

 

 

 

3.3.

а)

lim

x2 7x + 12

;

б)

lim

x2

7x + 12

;

в)

 

 

9 x2

 

 

 

 

x3

 

9 x2

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

lim

ех x 1

.

(sin 3x)2

 

 

x0

 

 

 

lim 1 2sin

x→π

/ 6 1 3tg

lim

ех еx

.

 

 

 

 

x0 ln(1+ x)

 

 

 

x . x

3.4.

а)

lim

 

x2

5x + 6

;

 

б)

lim

x2

5x + 6

 

 

;

3x2

+ 2x 33

 

 

+ 2x 33

 

 

x3

 

 

 

 

x→∞ 3x2

 

3.5.

а)

lim

2x

2 + x 1

;

 

б)

lim

2x2 + x 1

;

 

4x2

+ 2x

2

 

 

+ 2x

2

 

 

 

x→−1

 

 

 

 

x→∞ 4x2

 

 

 

3.6.

а)

lim

6x2

+ x 7

 

;

 

 

 

б)

lim

6x2

+ x 7

;

 

 

4x2

x 3

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

x→∞ 4x2

 

 

 

 

3.7.

а)

lim

5x2

4x 1

;

 

 

 

б)

lim

5x2

4x 1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6x2

5x 1

 

 

 

 

5x 1

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

x→∞ 6x2

 

 

 

3.8.

а)

lim

4x2 + 10x 6

;

б)

lim

4x2

+ 10x 6

;

x2 + x 6

 

 

 

+ x 6

 

 

 

 

x→−3

 

 

 

 

x→∞ x2

 

 

 

3.9.

а)

lim

4x2

3x 1

;

 

 

 

б)

lim

4x2

3x 1

;

 

 

7x2

x 6

 

 

 

 

x 6

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

x→∞ 7x2

 

 

 

в)

lim1 + cos πx .

 

x1

tg πx

в)

lim ln x .

 

x→π

х3

в)

lim

сtg (x 1) .

 

x1

ln(1 x)

в)

lim(1 х) tg

πx

.

 

 

 

x1

2

 

в)

lim

x sin x

.

 

 

x0

x2

в)

lim ln 2x .

 

x0 ctg х

7

3.10.

а)

lim

 

 

3x

2 + 4x + 1

 

;

 

 

 

9x2 + 5x 4

 

 

 

x→−1

 

 

 

 

3.11.

а)

lim

5x2

12x + 4

 

;

 

 

 

x2

+ 3x 10

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

3.12.

а)

lim

 

7x

2 + 10x 8

;

 

3x2 + 5x

2

 

 

 

 

x→−2

 

 

 

 

3.13.

а)

lim

 

2x2 + x 21

 

;

 

3x2

5x 12

 

 

 

x3

 

 

 

3.14.

а)

lim

 

 

2x

2 + 2x 12

;

 

 

 

3х+ x2

 

 

 

 

 

 

 

 

x→−3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.15.

а)

lim

2x2

+ x 36

 

;

 

 

 

 

 

x2

2x 8

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

3.16.

а)

lim

 

 

4 4x2 3х

;

 

 

 

5х+ x2 +

4

 

 

 

 

x→−4

 

 

 

 

 

3.17.

а)

lim

 

 

4x2

+ 3x 7

;

 

 

 

 

 

5x2 + x 6

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

3.18.

а)

lim

 

 

2x2 3x 5

;

 

 

 

3x2 x

4

 

 

 

 

 

 

x→−1

 

 

 

 

 

 

 

3.19.

а)

lim

4x2

x 14

;

 

 

 

3x2

2x 8

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

3.20.

а)

lim

 

 

2x

2 + x 6

;

 

 

 

 

 

x2

+ 3x + 2

 

 

 

 

 

x→−2

 

 

 

 

 

 

 

3.21.

а)

lim

 

 

2хx2 + 3

;

 

 

 

 

5x 2x2 + 3

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

3.22.

а)

lim

 

 

2x2 + 3x 9

;

 

 

4хx2

3

 

 

x→−3

 

 

 

 

3.23.

а)

lim

3x2

10x 8

;

 

 

 

x2

+ x 20

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

3.24.

а)

lim

 

 

2x

2 + 10x + 8

;

 

 

6хx2 +

40

 

 

 

 

x→−4

 

 

 

 

3.25.

а)

lim

 

 

x2

6x + 5

 

 

 

;

 

2x2

3x 35

 

 

 

x5

 

 

 

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

lim

 

3x

2 + 4x + 1

 

 

;

 

 

 

 

2 + 5x

4

 

 

x→−∞ 9x

 

 

 

lim

5x2

12x + 4

 

 

;

 

 

 

 

+ 3x 10

 

 

 

x→∞ x2

 

 

 

 

 

lim

7x2

+ 10x 8

 

 

;

 

 

 

2 + 5x 2

 

 

 

x→∞ 3x

 

 

 

 

lim

2x2 + x 21

 

 

 

;

 

 

2

5x 12

 

 

x→∞ 3x

 

 

 

lim

2x2

+ 2x 12

;

 

 

3х+ x2

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

2x2

+ x 36

;

 

 

 

 

 

2x

8

 

 

x→∞ x2

 

 

 

 

 

 

lim

4

4x2 3х

;

 

 

 

 

+ x2 +

4

 

 

x→∞ 5х

 

 

 

 

 

lim

4x2

+ 3x 7

;

 

 

 

 

2 + x

6

 

 

 

x→∞ 5x

 

 

 

 

 

 

lim

2x2

3x 5

;

 

 

 

 

2 x

4

 

 

 

x→∞ 3x

 

 

 

 

 

 

lim

4x2

x 14

 

;

 

 

 

2

2x 8

 

x→∞ 3x

 

 

 

 

lim

2x2

+ x 6

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞ x2 + 3x + 2

 

 

 

 

 

 

lim

2х

 

x2 + 3

 

;

 

 

 

2x2 + 3

 

x→∞ 5x

 

 

 

 

lim

2x2 + 3x 9

 

;

4хx2

3

 

x→∞

 

 

 

 

lim

3x2

10x 8

 

 

;

 

x

2

+ x 20

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

lim

2x2

+ 10x + 8

 

 

;

 

 

 

x2 +

40

 

 

 

x→∞ 6х

 

 

 

 

lim

 

x2

6x + 5

 

 

 

;

 

 

 

 

3x 35

x→∞ 2x2

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) lim x arctg x .

x0 2x3

в)

lim(cos х)1/ x .

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ x2

 

.

 

 

 

lim(cos х)

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

lim

 

(π − 2х)cos x .

 

 

x→π / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

lim (хex ) .

 

 

 

 

 

 

x→+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

lim ln 2x tg x .

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

lim

1cos 4 x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

lim

 

x

2 + 6 x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

lim

 

 

sin 7πx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 sin 8πx

 

 

 

 

 

в)

lim

 

 

 

 

1x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 cos

 

πx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

lim

 

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→π sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

lim

ln x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 e2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

lim

 

e x

e

x

 

.

 

 

 

 

ln(1x)

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

в)

lim

 

e x

e

x 2x

 

.

 

 

 

x sin x

 

x0

 

 

 

в)

lim

x + ln(1+ x)

.

 

 

 

 

 

x0

 

 

e x 1

 

 

 

 

 

в)

lim

x 2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞ e2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+ 6x + 5

 

 

 

 

x

2

+ 6x + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

3.26. а)

lim

 

 

;

б)

lim

 

 

 

;

в)

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→−5

2x2 + 3x 35

 

x→∞ 2x2 + 3x 35

 

 

x0 e x 1

 

 

 

 

x

 

3.27. а)

lim

3x2 + 2x 5

;

 

 

б)

lim

3x2 + 2x 5

;

 

в)

lim x3 ln x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 x2 + 9x 10

 

 

 

x→∞ x2 + 9x 10

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.28. а)

lim

3x2 2x 5

 

;

б)

lim

3x2

2x 5

 

;

 

в)

lim

e2x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9x 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→−1 x2

 

 

 

x→∞ x2 9x 10

 

 

 

 

x→∞ x5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.29. а)

lim

 

2x2 10x + 8

;

б)

lim

2x2

10x + 8

;

в)

lim

1x

2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40 6хx2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

x→∞ 40 6хx2

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.30. а)

lim

2x

2 x 36

;

б)

lim

2x2

x 36

 

;

 

в)

lim

 

 

 

1e2x

 

.

 

 

 

x→−4

x2 + 2x 8

 

 

 

x→∞ x2

+

2x 8

 

 

 

 

x0 ln(1

2x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З А Д А Н И Е

№ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1.

Записать уравнения касательной и нормали к кривой y =

 

 

 

8

 

 

 

 

 

в точке

4

+ x2

 

при х0 = 2. Сделать чертеж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.2.

Составить уравнения касательной и нормали к астроиде x2 / 3 + y2 / 3 = 1 в

 

1

 

;

1

 

 

. Сделать чертеж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точке

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.3.

Составить

уравнения

касательной

и нормали

к

астроиде x = соs3t,

y = sin 3 t

в точке при t0 = π / 4 . Сделать чертеж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.4.

Найти уравнения касательной и нормали к гиперболе

x

2

 

y2

 

= 1 в точ-

 

6

 

8

 

 

ке (9;8). Сделать чертеж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.5.

Составить уравнения касательной и нормали к эллипсу

 

 

 

x

2

 

+

 

 

y2

= 1 в

18

 

 

 

8

точке (3;2). Сделать чертеж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.6.Составить уравнения касательной и нормали к кривой у = x3 + 2x2 1 в точке пересечения ее с параболой у = 2х2. Сделать чертеж.

4.7.Найти величину угла, под которым пересекаются параболы y = (x 2)2

иy = − x 2 + 6x 4 (при х < 3). Сделать чертеж.

4.8.Составить уравнения нормали и касательной к кривой x = t 3; у = t 2 при t0 = –1. Сделать чертеж.

4.9.Найти величину угла между кривыми х2 + у2 = 5 и у2 = 4х в точке их пересечения при y > 0. Сделать чертеж.

9

4.10. Найти угол между кривыми y = 2 sin x; y = 2 cos x

в точках их пере-

сечений. Сделать чертеж.

кривой x = t 2 + 1;

4.11. Составить уравнения касательной и нормали к

y = 2t 3 t 2 в точке (х0, у0), в которой касательная параллельна прямой у = 2х . 4.12. Составить уравнения касательной прямой к пространственной линии

r (t) = t3i + t 2 j + 4tk в точке t0 = 1.

4.13. Составить уравнения касательной прямой к пространственной линии r (t) = R cost i + R sin t j + 4t k (R = const) в точке t0 = π / 2 . Сделать чертеж.

4.14. Составить

уравнения

касательной

и

нормали

к

линии

y = ch

x

=

 

ex / 2 + ex / 2

в точке при x = 2ln 2 . Сделать чертеж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

0

 

 

 

 

4.15. Определить

величину

угла, который

 

касательная

к

кривой

y = sh x =

ex ex

в точке (0; 0) составляет с осью Ох. Составить уравнения ка-

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сательной и нормали к этой кривой в точке (0; 0). Сделать чертеж.

4.16.Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением s = t ln(1+ t) . Найти скорость и ускорение движения при t0 = 2 .

4.17.По параболе у = (8 – х) х движется точка (х, у) так, что абсцисса изменя-

ется по закону х = t t . Найти скорость изменения ординаты в точке М(1, 7). 4.18. При бурении нефтяной скважины глубина проходки изменяется по за-

кону s = t3 + 12t + 5 (t – время в часах, s – в метрах). В какой момент времени скорость проходки будет 15 м / ч?

4.19. Тело движется прямолинейно по закону s(t) = 92 sin π2t + 3 . Найти ско-

рость и ускорение движения тела в момент времени t0 = 4 .

4.20. Ракета движется прямолинейно по закону x(t) = 0,25e4t + 12 , где x

расстояние от поверхности Земли в метрах, t – время в секундах. Определить скорость и ускорение движения ракеты в момент времени t0 = 2 сек.

4.21. Определить вектор и численное значение скорости вращательного движения по винтовой линии r (t) = R cost i + R sin t j + 4t k (R = const) в момент t0 = π / 2 .

 

 

4.22. Найти

вектор и численное значение ускорения движения по закону

 

 

(t) = cos2 t i + sin 2 t j

в момент t0 = π / 6 .

r

 

 

4.23. Найти

вектор

и численное значение скорости движения по закону

r (t) = e2t i + et j в момент t0 = ln 2 .

10

Соседние файлы в предмете Высшая математика