2468
.pdf2468
М И Н И С Т Е Р С Т В О Т Р А Н С П О Р Т А |
Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И |
|||
|
Ф Е Д Е Р А Л Ь Н О Е |
А Г Е Н Т С Т В О |
||
|
Ж Е Л Е З Н О Д О Р О Ж Н О Г О Т Р А Н С П О Р Т А |
|||
СамГУПС |
С а м а р с к и й |
г о с у д а р с т в е н н ы й |
||
у н и в е р с и т е т |
п у т е й |
с о о б щ е н и я |
||
|
|
|
|
|
К а ф е д р а в ы с ш е й м а т е м а т и к и
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ инженерно-технических специальностей
Ч А С Т Ь 2
у
О х
Самара 2010
УДК 519.7
Высшая математика : контрольные задания для студентов заочной формы обучения инженерно-технических специальностей. Часть 2 / составители : А. Д. Бочкарев, В. А. Зыбин, Л. В. Кайдалова, В. П. Кузнецов, Е. Н. Самойлик. – Самара : СамГУПС, 2010. – 39 с.
Утверждены на заседании кафедры 17.12.2009 г., протокол № 5. Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.
Контрольные задания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом, с действующей программой по высшей математике для технических специальностей и охватывают дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.
В работе приведены варианты индивидуальных заданий и решения типовых задач.
Предназначены для студентов I курса инженерно-технических специальностей заочной формы обучения.
Составители: |
А. Д. Бочкарев, к. ф.-м. н., доцент, |
|
В. А. Зыбин, доцент, |
|
Л. В. Кайдалова, к. ф.-м. н., доцент, |
|
В. П. Кузнецов, к. ф.-м. н., доцент, |
|
Е. Н. Самойлик, к. п. н. |
Рецензенты: к. ф.-м. н., доц. Орского гуманитарно-технологического института А. Н. Брыльков, к. ф.-м. н., доцент филиал СамГУПС И. Н. Михайличенко
© Самарский государственный университет путей сообщения, 2010
2
К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А № 3
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О Е И С Ч И С Л Е Н И Е Ф У Н К Ц И Й О Д Н О Й П Е Р Е М Е Н Н О Й
З А Д А Н И Е № 1
|
Найти дифференциалы dy |
функций у = f (x) . |
|
|||||||||||||
3.1. |
а) |
y = 5 |
|
− |
2 |
+ 3x4 − |
x9 |
; |
б) |
y = |
|
4 (x − 3)3 |
; |
|||
|
|
x4 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2)5 |
|
||
|
г) |
y = 32x + ctg(3x4 ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.2. |
а) |
y = 6 |
+ 3 |
+ 5 x2 |
− 3x7 |
; |
б) |
y = |
|
e−3x |
; |
|
||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2x |
|
||
|
г) |
y = e3x |
+ sin(4x5 ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.3. |
а) |
y = 5x |
4 |
− |
4 |
− 3 x |
3 |
+ |
4 |
; |
б) |
y = |
|
4 (2 − x)7 |
; |
|
|
x |
|
x3 |
|
(x + 3)3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
г) |
y = 42x+1 + tg(2x6 ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.4. |
а) |
y = 3x4 + |
5 |
− 3 x5 |
+ |
3 |
; |
б) |
y = ln5x ; |
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
e2x |
|
|
|
г) |
y = e−5x + sin(20x3 ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.5. |
а) |
y = 4x + |
5 |
− 7 + 4 x3 ; |
|
б) y = |
3 (4 − x)2 |
; |
||||||||
|
|
|
|
x4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
(x − 5)5 |
|
||
|
г) |
y = cos 2x + 32х− х2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.6. |
а) |
y = 4 x5 − |
5 |
+ |
7x4 − |
2 |
; |
б) |
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
x |
|
|
|
г) |
y = sin 2x + ctg(4x3 ) |
|
|
|
||||
3.7. |
а) |
y = |
4 + 7 |
x4 |
+ |
8x3 − |
6 |
; |
б) |
|
|
|
x7 |
|
|
|
x |
|
|
|
г) |
y = e3x + cos(5x6 ) |
|
|
|
||||
3.8. |
а) |
y = 2x7 + |
9 − 4 |
x9 − |
3 |
; |
б) |
||
|
|
|
|
x |
|
x8 |
|
|
|
|
г) y = tg x4 + e7 х2 ; |
|
|
|
|
||||
3.9. |
а) |
y = |
x3 − |
6 |
+ |
3 − 3x5 |
; |
б) |
|
|
|
|
|
x5 |
|
x |
|
|
|
y = |
e−2x |
; |
|
|
|||
ln5x |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
y = |
|
(1 − x)5 |
; |
||||
(x |
− 4)6 |
||||||
|
|
||||||
y = |
4x3 + 5х |
|
; |
||||
|
3x |
− 2 |
|||||
|
|
|
|||||
y = |
4 |
(3 − x)7 |
; |
||||
(2 |
+ x)4 |
||||||
|
|
в) |
y = cos(5x6 ) arctg4 3x ; |
|||
д) |
y = (arctg2x)sin x . |
|||
в) |
y = tg(2x7 ) arcctg3 5x ; |
|||
д) |
y = (ctgx) x . |
|||
в) |
y = ctg |
1 |
arcsin3 4x ; |
|
|
||||
|
|
|
x |
|
д) |
y = (ctg 5х)x . |
|||
в) |
y = tg |
|
x arccos5 3x ; |
|
д) |
y = ( |
x )arccos 3x . |
||
в) |
y = cos5 x arcsin2 х ; |
|||
д) |
y = (tg3x) x . |
|||
в) |
y = tg3 2x arccos2x3 ; |
|||
д) |
y = (ctg7x)sin x . |
|||
в) |
y = sin6 3x arctg3 x ; |
|||
д) |
y = (arctg x)tg3x . |
|||
в) |
y = arcctg2 5xln(x4 − x) ; |
|||
д) |
y = (sin 3x)ctg x . |
|||
в) |
y = arctg3 x ln(7x3 − x) ; |
3
г) |
y = 2− x − tg(3x4 ) ; |
|
|
|
|||||
3.10. а) |
y = 7 + 3 x2 |
+ |
3 |
+ |
x ; |
б) |
|||
|
x |
|
|
x7 |
|
|
|
|
|
г) |
y = e−2x + ctg(8x3 ) ; |
|
|
|
|||||
3.11. а) |
y = 8x |
3 + 8 |
− |
5 |
+ 3 |
x7 |
; |
б) |
|
|
|
x |
x7 |
|
|
|
|
|
|
г) |
y = 4−3x − sin(5x4 ) ; |
|
|
|
|||||
3.12. а) |
y = 4 |
− 3x3 + |
3 |
+ |
|
x5 |
; |
б) |
|
|
x3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
г) |
y = cos(x4 ) − ctg3 |
x ; |
|
|
|
||||
3.13. а) |
y = 9x2 + |
x5 |
+ 5 − |
5 |
; |
б) |
|||
|
|
|
|
|
x |
x4 |
|
|
|
г) |
y = ln 2x − cos(7x3 ) ; |
|
|
|
|||||
3.14. а) |
y = 3x6 + 3 |
x7 |
− |
4 |
+ 6x4 ; |
б) |
|||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
г) |
y = 5−2x + tg(2x3 ) ; |
|
|
|
|||||
3.15. а) |
y = 9 |
+ 3 − |
x3 |
+ 3x7 ; |
б) |
||||
|
x3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
г) |
y = 4−6x + сtg(x3 ) ; |
|
|
|
|||||
3.16. а) |
y = 3 |
− 8 − 5 |
x2 |
+ 8x3 ; |
б) |
||||
|
x5 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
г) |
y = e4x − sin(6x2 ) ; |
|
|
|
|||||
3.17. а) |
y = 3 x4 − 10 + 5 − 4x5 |
; |
б) |
||||||
|
|
x3 |
x |
|
|
|
|||
г) |
y = ctg8x + cos(7x2 ) ; |
|
|
||||||
3.18. а) |
y = 6x |
4 − 1 + |
3 |
x − 2 |
; |
б) |
|||
|
|
x2 |
|
|
|
x |
|
|
|
г) |
y = tg5x + sin(6x3 ) ; |
|
|
|
|||||
3.19. а) |
y = 6x |
2 − 2 |
− 5 |
x2 + |
7 |
; |
б) |
||
|
|
x |
|
|
|
|
x2 |
|
|
y = |
|
3x3 − 1 |
|
|
|
; |
|
|||||
ctg x + х |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
y = |
5 |
(2 − x)6 |
|
|
||||||||
|
(7 − x)3 ; |
|||||||||||
y = |
|
4x − х |
|
|
|
|
; |
|||||
2x4 |
+ 3х3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
y = |
4 |
(6 |
− x)3 |
|
; |
|||||||
|
(1 − x)4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
y = |
|
|
e−5x |
|
|
; |
|
|||||
4x5 − 2х |
|
|||||||||||
y = |
5 |
(7 − x) |
2 |
|
; |
|||||||
|
(3 − x)4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
y = |
4x6 |
|
; |
|
|
|
|
|
||||
e−4x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = |
(10 − x)3 |
|
; |
|||||||||
3 (2 − x)5 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
y = |
|
|
x2 − 5x |
|
; |
|
||||||
|
tg x + x3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y = |
e− x |
|
; |
|
|
|
|
|
||||
cos x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
д) y = (ln(x + 3))sin x .
в) y = arccos4 7xln(x2 + x) ;
д) |
y = (tg x)sin 5x . |
в) |
y = 3− x arcsin 2x ; |
д) |
y = (cos5x)сtg x . |
в) |
y = tg4 3x arcctg7x2 ; |
д) |
y = (ln(x + 3))sin x . |
в) |
y = 5− x2 arcsin2 3x ; |
д) |
y = (sin x)tg x . |
в) y = ctg 2x log2 (2x3 − 1) ;
д) y = (ctg x )sin x .
в) y = log3 (x3 + 7)arcsin4 x ;
д) y = (sin х)ln 2x .
в) y = ctg3 4x arctg(2x5 ) ;
д) y = (cos x)x2 +1 .
в) y = e− cos xarctg2 (7x5 ) ;
д) y = (cos x)sin 9x .
в) y = 2sin x arcctg2 (x2 ) ;
д) y = (ctg x)sin x .
в) y = 3− x3 arctg3 (5x2 ) ;
г) |
y = sin |
x |
|
+ ctg(6x3 ) ; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.20. а) |
y = 3x |
4 + |
|
6 |
+ 3x4 − |
|
2 |
|
; |
б) |
|||||||||
|
|
x5 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||
г) |
y = cos |
|
x |
|
− ctg(3x5 ) ; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.21. а) |
y = 4x |
6 − 3 − 3 x7 + |
9 |
; |
б) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x4 |
|
|
||||
г) y = |
|
|
|
|
|
|
|
e− x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(2x2 − x + 4)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3.22. а) |
y = 8x |
4 + |
4 x3 − 7 − 14 |
; |
б) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x3 |
|
|
|||
г) |
y = ln |
x |
− sin(7x3 ) ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.23. а) |
y = 3 − 3 |
x7 − 4x7 + |
5 |
; |
б) |
||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|||
г) |
y = e3x+1 − ctg(5x3 ) ; |
|
|
|
|
||||||||||||||
3.24. а) |
y = 5x |
3 − |
13 − x3 + |
11 ; |
б) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x5 |
|
|
|||||
г) |
y = eх/ 2 − ctg(7x2 ) ; |
|
|
|
|
||||||||||||||
3.25. а) |
y = 5x |
5 − |
3 x4 + 8 |
− |
2 |
; |
б) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
x |
|
|
||
г) |
y = e−2x + sin(3x6 ) ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.26. а) |
y = 11x − |
|
5 − 7 x4 |
− |
6 |
; |
б) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
x |
|
|
||||
г) |
y = ex2 |
|
|
− cos(4x3 ) ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.27. а) |
y = 63 |
|
x − 4 − 8x4 |
+ |
4 |
; |
б) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x7 |
|
|
x |
|
|
|||
г) |
y = e− x + arccos(8x3 ) ; |
|
|
||||||||||||||||
3.28. а) |
y = 4x |
7 + 6 x5 − 3 − 11 |
; |
б) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x3 |
|
|
|||
г) |
y = 7x − tg(2x7 ) ; |
|
|
|
|
|
|
y = |
(x − 4) |
5 |
|
; |
|
|
(4 − x)3 |
y = ln 2x − e3x4 ;
y = |
ex + 2 |
|
; |
||
(2x + 3)5 |
|||||
|
|
||||
y = |
ex − 5 |
; |
|
||
(x |
− 5)7 |
|
|||
|
|
|
y= cos8x − 8 ; x4 + 16x
y= e5x − 3x ;
5 + ctg x
y = |
|
x3 − 6 |
; |
|
x + sin 2x |
||
y = |
5x2 + x − 2 |
; |
|
|
e2x |
||
|
|
|
|
y = |
|
(x + 1)3 |
; |
|
3 (2 − x)5 |
||
|
|
|
5
д) y = (sin x)tg5x .
в) y = 3cos x arcsin2 3x ;
д) y = (cos x)sin 3x .
в) y = ln(x3 − 1)arccos2 4x ;
д) y = (sin 2x)ctg x .
в) y = lg(x4 + 2)arcsin2 3x ;
д) y = (ctg x)sin 4x .
в) y = 3− sin x arctg2 3x ;
д) y = (tg4x)cos x .
в) y = 2cos x arcctg3 7x ;
д) y = (sin 7x)ctg x .
в) y = lg(x5 + 1)arcsin2 2x ;
д) y = (ctg7x)ln(x+1) .
в) y = log2 (x2 + 1)arccos2 x ;
д) y = (cos3x)ln x .
в) y = 2− x2 arctg3 (4x) ;
д) y = (log5 x)arccos x .
в) y = ln(x2 − 1)arcctg4 3x ;
д) y = (ln 2x)ctg x .
3.29. а) |
y = |
5 − 5 x8 |
− 4x6 + |
2 ; |
б) |
у = |
5х2 − х ; |
|
|
в) y = cos(2x3 + 1)arctg2 x3 ; |
|||
|
|
x |
|
|
|
x4 |
|
|
е3х − 5 |
|
|
|
|
г) |
y = 6x + ctg(2x5 ) ; |
|
|
|
|
|
|
д) |
y = (ln 2x)cos 4x . |
||||
|
|
|
3 |
4 |
2 |
|
|
y = |
x + tg 2x |
|
|
|
|
3.30. а) |
y = |
5x |
|
− x3 |
+ x + 43 x ; |
б) |
|
|
; |
в) y = log6 (2x3 +1)arctg2 x3 ; |
|||
|
(3x − 2)2 |
|
|||||||||||
г) |
y = 6− x − ctg(2x3 ) ; |
|
|
|
|
|
|
д) |
y = (ln x)ctg 6x . |
||||
|
|
|
|
|
|
З А Д А Н И Е № |
2 |
|
|
Найти производные первого и второго порядков функций заданных а) явно; б) параметрически; в) неявно.
2.1. |
а) |
y = sin 2 3x ; |
б) |
x = t , y = 5 t ; |
в) |
4x + 5y = arcctg y . |
|||
2.2. |
а) |
y = cos2 4x ; |
б) |
y = t − sin(t / 2) , |
в) |
x2 |
y3 |
||
|
|
|
y = 4 cos(t / 2) ; |
|
+ |
|
= 1. |
||
|
|
|
5 |
3 |
2.3. |
а) |
y = e2x2 +1 ; |
б) |
x = 5(1− sin t) , |
|
|
|
|
y = 5(1− cos t) ; |
|
|
2.4. |
а) |
y = cos2 3x ; |
б) |
x = 2t 2 + 4t, |
y = 5t3 − 3t 2 ; |
2.5. |
а) |
y = 7 − sin 2 3x ; |
б) |
x = e9t , y = e−9t ; |
|
2.6. |
а) |
y = 8 − cos2 4x ; |
б) |
x = e−5t ; y = e−2t ; |
|
2.7. |
а) |
y = 9 + sin 2 5x ; |
б) |
x = e4t , y = e−2t ; |
|
2.8. |
а) |
y = 6 − cos2 3x ; |
б) |
x = e−3t , y = e6t ; |
|
2.9. |
а) |
y = esin x ; |
б) |
x = 2t − t3 , y = 2t 2 ; |
|
2.10. а) |
y = ecos x ; |
б) |
x = cos 2t, y = sin 2t ; |
||
2.11. а) |
y = 2 − ex2 ; |
б) |
x = t − sin t, |
y = 1− cos t ; |
|
2.12. а) |
y = 4 + e−5x2 ; |
б) |
x = cos(t / 2), |
y = t − sin t ; |
|
2.13. а) |
y = 5 − sin 2 4x ; |
б) |
x = cos 3t, y = sin 3t ; |
||
2.14. а) |
y = 1− 3cos2 2x ; |
б) |
x = sin(t / 2), |
y = cost ; |
|
2.15. а) |
y = sin 2 7x ; |
б) |
x = e2t , y = cos t ; |
||
2.16. а) |
y = ln(1+ x3 ) ; |
б) |
x = t 2 , y = t3 / 3 − t ; |
||
2.17. а) |
y = ln(5 − x2 ) ; |
б) |
x = 3t − t3 , y = 3t 2 ; |
||
2.18. а) |
y = e2sin x−1 ; |
б) |
x = t − t 4 , y = t 2 − t3 ; |
||
2.19. а) |
y = ln(8 − x4 ) ; |
б) |
x = 2t − t 2 , y = 3t − t3; |
в) |
x2 |
+ |
y2 |
= 1 . |
|
5 |
7 |
|
|||
|
|
|
|
||
в) |
y2 = 8x . |
|
|||
в) |
y = x + arctg y . |
||||
в) |
y2 = 25x − 4 . |
||||
в) |
y2 − x = cos y . |
||||
в) tg y = 3x + 5y . |
|||||
в) |
y2 + x2 = sin y . |
||||
в) |
4sin(x + y) = x . |
||||
в) tg y = 4 y − 5x . |
|||||
в) |
xy − 6 = cos y . |
||||
в) |
ln( у/ х) = y2 − x . |
в) x + x2 y2 = 5y .
в) sin y = xy2 + 5 .
в) x + y = 7 . в) sin(3x + y2 ) = 5x . в) ctg(x + y) = 5x .
в) xy2 − y3 = 4x − 5.
6
2.20. а) |
y = sin 2 9x − 8 ; |
б) |
x = t 2 + t + 1, y = t3 + t ; |
в) |
2.21. а) |
y = sin 2 (3x − 1) ; |
б) |
x = 8cost, y = 3sin t ; |
в) |
2.22. а) |
y = (x2 + 3)2 ; |
б) |
x = t3 + t 2 −1, y = t 2 + t + 1 ; |
в) |
2.23. а) |
y = sin(x2 − 5) ; |
б) |
x = t3 + t 2 + 1, y = 1/ t ; |
в) |
2.24. а) |
y = cos(x3 + 2) ; |
б) |
x = 2t 2 + t, y = ln t ; |
в) |
2.25. а) |
y = (7 − x3 )3 ; |
б) |
x = e3t , y = e−3t ; |
в) |
2.26. а) |
y = ex2 +1 ; |
б) |
x = cos(t / 2), y = sin(t / 2) ; |
в) |
2.27. а) |
y = 1−sin(x3 − 2) ; |
б) |
x = e−2t , y = e4t ; |
в) |
2.28. а) |
y = ln(x4 − 4) ; |
б) |
x = 5cos t, y = 4sin t ; |
в) |
2.29. а) |
y = 5 − ex3 ; |
б) |
x = t 2 − 2t, y = t3 + t ; |
в) |
2.30. а) |
y = e− x4 ; |
б) |
x = e−6t , y = e6t ; |
в) |
arcctg y = 4x + 5y. x2 − y2 + xy = 11 . y2 − 4x3 = 0 .
sin y + 3x = 5y . xy = ctg y .
ln y − у/ х = 7 . 7 y = 4x − e y . sin y = 7x + 3y . y = 7x − ctg y . 3y = 7 + xy3 .
x3 + y3 = 5x .
З А Д А Н И Е № 3
Найти пределы функций, используя правило Лопиталя.
3.1. |
а) |
lim |
5x2 − 4x −1 |
|
; |
б) |
lim |
5x2 − 4x −1 |
; |
в) |
|||||
6x2 − 5x −1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
x→∞ 6x2 − 5x −1 |
|
|
|||||||
3.2. |
а) |
lim |
|
2x2 − 8 |
|
; |
б) |
lim |
2x2 − 8 |
; |
|
в) |
|||
|
x2 − 5x + 6 |
|
− 5x + 6 |
|
|||||||||||
|
|
x→2 |
|
|
|
|
x→∞ x2 |
|
|
|
|
||||
3.3. |
а) |
lim |
x2 − 7x + 12 |
; |
б) |
lim |
x2 |
− 7x + 12 |
; |
в) |
|||||
|
|
9 − x2 |
|
|
|||||||||||
|
|
x→3 |
|
9 − x2 |
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
lim |
ех − x −1 |
. |
|||
(sin 3x)2 |
|
|
|||
x→0 |
|
|
|
||
lim 1 − 2sin |
|||||
x→π |
/ 6 1 − 3tg |
||||
lim |
ех − е− x |
. |
|
||
|
|
|
|||
x→0 ln(1+ x) |
|
|
|
x . x
3.4. |
а) |
lim |
|
x2 |
− 5x + 6 |
; |
|
б) |
lim |
x2 |
− 5x + 6 |
|
|
; |
|||||
3x2 |
+ 2x − 33 |
|
|
+ 2x − 33 |
|||||||||||||||
|
|
x→3 |
|
|
|
|
x→∞ 3x2 |
|
|||||||||||
3.5. |
а) |
lim |
2x |
2 + x − 1 |
; |
|
б) |
lim |
2x2 + x −1 |
; |
|
||||||||
4x2 |
+ 2x − |
2 |
|
|
+ 2x − |
2 |
|
||||||||||||
|
|
x→−1 |
|
|
|
|
x→∞ 4x2 |
|
|
|
|||||||||
3.6. |
а) |
lim |
6x2 |
+ x − 7 |
|
; |
|
|
|
б) |
lim |
6x2 |
+ x − 7 |
; |
|
|
|||
4x2 |
− x − 3 |
|
|
|
|
− x − 3 |
|
|
|||||||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
x→∞ 4x2 |
|
|
|
|
|||||||
3.7. |
а) |
lim |
5x2 |
− 4x −1 |
; |
|
|
|
б) |
lim |
5x2 |
− 4x −1 |
; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6x2 |
− 5x −1 |
|
|
|
|
− 5x −1 |
|
|
|||||||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
x→∞ 6x2 |
|
|
|
||||||||
3.8. |
а) |
lim |
4x2 + 10x − 6 |
; |
б) |
lim |
4x2 |
+ 10x − 6 |
; |
||||||||||
x2 + x − 6 |
|
|
|
+ x − 6 |
|
|
|||||||||||||
|
|
x→−3 |
|
|
|
|
x→∞ x2 |
|
|
|
|||||||||
3.9. |
а) |
lim |
4x2 |
− 3x −1 |
; |
|
|
|
б) |
lim |
4x2 |
− 3x −1 |
; |
|
|
||||
7x2 |
− x − 6 |
|
|
|
|
− x − 6 |
|
|
|
||||||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
x→∞ 7x2 |
|
|
|
в) |
lim1 + cos πx . |
||||
|
x→1 |
tg πx |
|||
в) |
lim ln x . |
||||
|
x→π |
х3 |
|||
в) |
lim |
сtg (x − 1) . |
|||
|
x→1 |
ln(1 − x) |
|||
в) |
lim(1 − х) tg |
πx |
. |
||
|
|
||||
|
x→1 |
2 |
|
||
в) |
lim |
x − sin x |
. |
||
|
|||||
|
x→0 |
x2 |
|||
в) |
lim ln 2x . |
||||
|
x→0 ctg х |
7
3.10. |
а) |
lim |
|
|
3x |
2 + 4x + 1 |
|
; |
|
||||||
|
|
9x2 + 5x − 4 |
|
||||||||||||
|
|
x→−1 |
|
|
|
|
|||||||||
3.11. |
а) |
lim |
5x2 |
−12x + 4 |
|
; |
|
||||||||
|
|
x2 |
+ 3x −10 |
|
|||||||||||
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
||||||||
3.12. |
а) |
lim |
|
7x |
2 + 10x − 8 |
; |
|||||||||
|
3x2 + 5x − |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
x→−2 |
|
|
|
|
|||||||||
3.13. |
а) |
lim |
|
2x2 + x − 21 |
|
; |
|
||||||||
3x2 |
− 5x − 12 |
|
|||||||||||||
|
|
x→3 |
|
|
|
||||||||||
3.14. |
а) |
lim |
|
|
2x |
2 + 2x −12 |
; |
||||||||
|
|
|
3х+ x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x→−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.15. |
а) |
lim |
2x2 |
+ x − 36 |
|
; |
|
|
|
||||||
|
|
x2 |
− 2x − 8 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
x→4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.16. |
а) |
lim |
|
|
4 − 4x2 − 3х |
; |
|
||||||||
|
|
5х+ x2 + |
4 |
|
|
||||||||||
|
|
x→−4 |
|
|
|
|
|
||||||||
3.17. |
а) |
lim |
|
|
4x2 |
+ 3x − 7 |
; |
|
|
|
|||||
|
|
5x2 + x − 6 |
|
|
|
||||||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.18. |
а) |
lim |
|
|
2x2 − 3x − 5 |
; |
|
||||||||
|
|
3x2 − x − |
4 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.19. |
а) |
lim |
4x2 |
− x −14 |
; |
|
|
|
|||||||
3x2 |
− 2x − 8 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.20. |
а) |
lim |
|
|
2x |
2 + x − 6 |
; |
|
|
|
|||||
|
|
x2 |
+ 3x + 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.21. |
а) |
lim |
|
|
2х− x2 + 3 |
; |
|
|
|
||||||
|
5x − 2x2 + 3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.22. |
а) |
lim |
|
|
2x2 + 3x − 9 |
; |
|||||||||
|
|
− 4х− x2 − |
3 |
||||||||||||
|
|
x→−3 |
|
|
|
|
|||||||||
3.23. |
а) |
lim |
3x2 |
−10x − 8 |
; |
|
|||||||||
|
|
x2 |
+ x − 20 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
x→4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.24. |
а) |
lim |
|
|
2x |
2 + 10x + 8 |
; |
||||||||
|
|
6х− x2 + |
40 |
|
|
||||||||||
|
|
x→−4 |
|
|
|
|
|||||||||
3.25. |
а) |
lim |
|
|
x2 |
− 6x + 5 |
|
|
|
; |
|
||||
2x2 |
− 3x − 35 |
|
|||||||||||||
|
|
x→5 |
|
|
|
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
lim |
|
3x |
2 + 4x + 1 |
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
2 + 5x − |
4 |
|
|
||||||
x→−∞ 9x |
|
|
|
||||||||||
lim |
5x2 |
−12x + 4 |
|
|
; |
||||||||
|
|
|
|
+ 3x −10 |
|
|
|
||||||
x→∞ x2 |
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
7x2 |
+ 10x − 8 |
|
|
; |
||||||||
|
|
|
2 + 5x − 2 |
|
|
|
|||||||
x→∞ 3x |
|
|
|
|
|||||||||
lim |
2x2 + x − 21 |
|
|
|
; |
||||||||
|
|
2 |
− 5x −12 |
|
|
||||||||
x→∞ 3x |
|
|
|
||||||||||
lim |
2x2 |
+ 2x − 12 |
; |
||||||||||
|
|
3х+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
2x2 |
+ x − 36 |
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
− 2x − |
8 |
|
|
||||||
x→∞ x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
4 − |
4x2 − 3х |
; |
|
|||||||||
|
|
|
+ x2 + |
4 |
|
|
|||||||
x→∞ 5х |
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
4x2 |
+ 3x − 7 |
; |
|
|||||||||
|
|
|
2 + x − |
6 |
|
|
|
||||||
x→∞ 5x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
2x2 |
− 3x − 5 |
; |
|
|||||||||
|
|
|
2 − x − |
4 |
|
|
|
||||||
x→∞ 3x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
4x2 |
− x −14 |
|
; |
|
||||||||
|
|
2 |
− 2x − 8 |
|
|||||||||
x→∞ 3x |
|
|
|
|
|||||||||
lim |
2x2 |
+ x − 6 |
; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→∞ x2 + 3x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
2х |
|
− x2 + 3 |
|
; |
|
|||||||
|
|
− 2x2 + 3 |
|
||||||||||
x→∞ 5x |
|
|
|
|
|||||||||
lim |
2x2 + 3x − 9 |
|
; |
||||||||||
− 4х− x2 − |
3 |
|
|||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|||||||||
lim |
3x2 |
− 10x − 8 |
|
|
; |
||||||||
|
x |
2 |
+ x − 20 |
|
|
|
|||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
2x2 |
+ 10x + 8 |
|
|
; |
||||||||
|
|
|
− x2 + |
40 |
|
|
|
||||||
x→∞ 6х |
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
x2 |
− 6x + 5 |
|
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
− 3x − 35 |
|||||||||
x→∞ 2x2 |
|
||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) lim x − arctg x .
x→0 2x3
в) |
lim(cos х)1/ x . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ x2 |
|
. |
|
|
|
||||
lim(cos х) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) |
lim |
|
(π − 2х)cos x . |
|
|||||||||||||||||||||
|
x→π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в) |
lim (хe− x ) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в) |
lim ln 2x tg x . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) |
lim |
1− cos 4 x |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) |
lim |
|
x |
2 + 6 x |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
в) |
lim |
|
|
sin 7πx |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→2 sin 8πx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
в) |
lim |
|
|
|
|
1− x |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→1 cos |
|
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) |
lim |
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→π sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
в) |
lim |
ln x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x→1 e2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в) |
lim |
|
e x |
− e |
− x |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
ln(1− x) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
в) |
lim |
|
e x |
− e |
− x − 2x |
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
x − sin x |
||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
в) |
lim |
x + ln(1+ x) |
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
e x − 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
в) |
lim |
x 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ e2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ 6x + 5 |
|
|
|
|
x |
2 |
+ 6x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
3.26. а) |
lim |
|
|
; |
б) |
lim |
|
|
|
; |
в) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→−5 |
2x2 + 3x − 35 |
|
x→∞ 2x2 + 3x − 35 |
|
|
x→0 e x − 1 |
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3.27. а) |
lim |
3x2 + 2x − 5 |
; |
|
|
б) |
lim |
3x2 + 2x − 5 |
; |
|
в) |
lim x3 ln x . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→1 x2 + 9x −10 |
|
|
|
x→∞ x2 + 9x − 10 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.28. а) |
lim |
3x2 − 2x − 5 |
|
; |
б) |
lim |
3x2 |
− 2x − 5 |
|
; |
|
в) |
lim |
e2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
− 9x −10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→−1 x2 |
|
|
|
x→∞ x2 − 9x −10 |
|
|
|
|
x→∞ x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3.29. а) |
lim |
|
2x2 −10x + 8 |
; |
б) |
lim |
2x2 |
−10x + 8 |
; |
в) |
lim |
1− x |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
40 − 6х− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x→4 |
|
|
|
|
|
x→∞ 40 − 6х− x2 |
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3.30. а) |
lim |
2x |
2 − x − 36 |
; |
б) |
lim |
2x2 |
− x − 36 |
|
; |
|
в) |
lim |
|
|
|
1− e2x |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x→−4 |
x2 + 2x − 8 |
|
|
|
x→∞ x2 |
+ |
2x − 8 |
|
|
|
|
x→0 ln(1 |
− 2x) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З А Д А Н И Е |
№ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.1. |
Записать уравнения касательной и нормали к кривой y = |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
в точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
+ x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при х0 = 2. Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4.2. |
Составить уравнения касательной и нормали к астроиде x2 / 3 + y2 / 3 = 1 в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
; |
1 |
|
|
. Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
точке |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.3. |
Составить |
уравнения |
касательной |
и нормали |
к |
астроиде x = соs3t, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = sin 3 t |
в точке при t0 = π / 4 . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4.4. |
Найти уравнения касательной и нормали к гиперболе |
x |
2 |
|
− |
y2 |
|
= 1 в точ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
8 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ке (− 9;−8). Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4.5. |
Составить уравнения касательной и нормали к эллипсу |
|
|
|
x |
2 |
|
+ |
|
|
y2 |
= 1 в |
||||||||||||||||||||||||||||||||
18 |
|
|
|
8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точке (− 3;−2). Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.6.Составить уравнения касательной и нормали к кривой у = x3 + 2x2 −1 в точке пересечения ее с параболой у = 2х2. Сделать чертеж.
4.7.Найти величину угла, под которым пересекаются параболы y = (x − 2)2
иy = − x 2 + 6x − 4 (при х < 3). Сделать чертеж.
4.8.Составить уравнения нормали и касательной к кривой x = t 3; у = t 2 при t0 = –1. Сделать чертеж.
4.9.Найти величину угла между кривыми х2 + у2 = 5 и у2 = 4х в точке их пересечения при y > 0. Сделать чертеж.
9
4.10. Найти угол между кривыми y = 2 sin x; y = 2 cos x |
в точках их пере- |
сечений. Сделать чертеж. |
кривой x = t 2 + 1; |
4.11. Составить уравнения касательной и нормали к |
y = 2t 3 − t 2 в точке (х0, у0), в которой касательная параллельна прямой у = 2х . 4.12. Составить уравнения касательной прямой к пространственной линии
r (t) = t3i + t 2 j + 4tk в точке t0 = 1.
4.13. Составить уравнения касательной прямой к пространственной линии r (t) = R cost i + R sin t j + 4t k (R = const) в точке t0 = π / 2 . Сделать чертеж.
4.14. Составить |
уравнения |
касательной |
и |
нормали |
к |
линии |
||||||
y = ch |
x |
= |
|
ex / 2 + e− x / 2 |
в точке при x = 2ln 2 . Сделать чертеж. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
||
4.15. Определить |
величину |
угла, который |
|
касательная |
к |
кривой |
||||||
y = sh x = |
ex − e− x |
в точке (0; 0) составляет с осью Ох. Составить уравнения ка- |
||||||||||
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сательной и нормали к этой кривой в точке (0; 0). Сделать чертеж.
4.16.Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением s = t ln(1+ t) . Найти скорость и ускорение движения при t0 = 2 .
4.17.По параболе у = (8 – х) х движется точка (х, у) так, что абсцисса изменя-
ется по закону х = t t . Найти скорость изменения ординаты в точке М(1, 7). 4.18. При бурении нефтяной скважины глубина проходки изменяется по за-
кону s = t3 + 12t + 5 (t – время в часах, s – в метрах). В какой момент времени скорость проходки будет 15 м / ч?
4.19. Тело движется прямолинейно по закону s(t) = 92 sin π2t + 3 . Найти ско-
рость и ускорение движения тела в момент времени t0 = 4 .
4.20. Ракета движется прямолинейно по закону x(t) = 0,25e4t + 12 , где x –
расстояние от поверхности Земли в метрах, t – время в секундах. Определить скорость и ускорение движения ракеты в момент времени t0 = 2 сек.
4.21. Определить вектор и численное значение скорости вращательного движения по винтовой линии r (t) = R cost i + R sin t j + 4t k (R = const) в момент t0 = π / 2 .
|
|
4.22. Найти |
вектор и численное значение ускорения движения по закону |
|
|
|
(t) = cos2 t i + sin 2 t j |
в момент t0 = π / 6 . |
|
r |
||||
|
|
4.23. Найти |
вектор |
и численное значение скорости движения по закону |
r (t) = e2t i + e−t j в момент t0 = ln 2 .
10