Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2253 ЭИ

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
08.04.2018
Размер:
603.35 Кб
Скачать

2253

М И Н И С ТЕ Р С Т В О Т Р А Н С П О Р Т А Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц ИИ Ф Е Д Е Р А Л Ь Н О Е А Г Е Н Т С Т В О П У Т Е Й С О О Б Щ Е Н И Я

СамГУПС

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

 

 

К а ф е д р а в ы с ш е й м а т е м а т и к и

Т Р Е Н И Р О В О Ч Н Ы Е Т Е С Т Ы

Д Л Я С Т У Д Е Н Т О В З А О Ч Н О Й Ф О Р М Ы О Б У Ч Е Н И Я И Н Ж Е Н Е Р Н О - Т Е Х Н И Ч Е С К И Х

И Э К О Н О М И Ч Е С К И Х С П Е Ц И А Л Ь Н О С Т Е Й ( 1 С Е М Е С Т Р )

z

0

у

x

Cамара

2009

УДК 519.7

Высшая математика : Тренировочные тесты для студентов заочной формы обученияинженерно-техническихи экономических специальностей (1 семестр) / А.Д. Бочкарев, Л.В. Кайдалова. − Самара : СамГУПС, 2009. − 40 с.

Утверждены на заседании кафедры, протокол № 4 от 22.12.08.

Печатаются по решению редакционно-издательскогосовета университета.

Методические указания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом, с действующей программой по высшей математике для технических и экономических специальностей и охватывают следующие разделы курса высшей математики: абстрактная алгебра, линейная алгебра, аналитическая геометрия, комплексные числа, введение в теорию множеств, математическая логика и введение в математический анализ.

В методических указаниях приведены рабочая программа первого семестра, примеры решения тестовых задач, а также тест для самопроверки.

Рекомендуются студентам инженерно-техническихи экономических специальностей заочной формы обучения.

Ил. 17. Табл. 7. Библиогр.: 9 назв.

Составители:

А.Д. Бочкарев, к. ф.-м.н., доцент,

 

Л.В. Кайдалова, к. ф.-м.н., доцент

Рецензенты: к. т. н.,

доц. СамГТУ

Егорова Г.Ф.,

к. ф.-м.н., доц. СамГУПС

Харьковский С.И.

Бочкарев А.Д., 2009 © Кайдалова Л.В., 2009

Самарский государственный университет путей сообщения, 2009

2

– до 50 % баллов,
– от 50 до 69 % баллов,
– от 70 до 84 % баллов,
– более 85 % баллов.

В В Е Д Е Н И Е

Тесты предназначены для использования в процедурах подготовки и самопроверки студентов заочной формы обучения с целью оценки уровня остаточных знаний по курсу «Математика» за первый семестр.

Уровень сложности заданий и их содержание соответствует требованиям ГОС по математике для студентов инженерно-техническихи экономических специальностей.

Проверочный тест состоит из заданий с выбором одного ответа из пяти предложенных. Классификация уровня сложности заданий – решение типовой задачи (известное сочетание типовых действий).

Алгоритм проверки – за правильный ответ испытуемый получает 1 балл, за неправильный получает – 0,25 балла, за неуказанный ответ – 0 баллов.

Для данного теста установлены следующие критерии перевода тестовых баллов в 4-хбалльную шкалу оценок

неудовлетворительно

удовлетворительно

хорошо

отлично

Р А Б О Ч А Я П Р О Г Р А М М А

1 . А Б С Т Р А К Т Н А Я А Л Г Е Б Р А

1.1.Определение и свойства бинарной алгебраической операции.

1.2.Основные алгебраические структуры: группы, кольца, поля.

2 . Л И Н Е Й Н А Я А Л Г Е Б Р А

2.1.Определители второго и третьего порядков. Основные свойства определителей, минор и алгебраическое дополнение. Понятие об определителе n-огопорядка и его вычислении.

2.2.Матрицы. Их виды. Алгебра матриц. Обратная матрица.

2.3.Решение систем линейных уравнений (СЛУ) методом Крамера и матричным методом.

2.4.Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.Решение СЛУ методом Га-

усса.

3 . В Е К Т О Р Н А Я А Л Г Е Б Р А И А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я

3.1.Векторы. Линейные операции над векторами, их свойства. Базис в пространстве, орты, декартова система координат. Направляющие косинусы.

3.2.Скалярное произведение, его свойства, приложения.

3.3.Векторное произведение. Его свойства. Геометрический и механический смысл векторного произведения. Условие коллинеарности векторов.

3

3.4.Смешанное произведение. Его свойства, приложения смешанного произведения.

3.5.Линейные (векторные) пространства. Определения и примеры. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Базис и размерность линейного пространства. Евклидовы пространства (общие понятия). Норма вектора в евклидовом пространстве; нормирование векторов.

3.6.Нормальное уравнение плоскости в векторной и координатной формах. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

3.7.Векторное, канонические и параметрические уравнения прямой. Пересечение прямой и плоскости. Деление отрезка в данном отношении. Расстояние от точки до плоскости. Параллельность и перпендикулярность прямых; прямой и плоскости.

3.8.Уравнение линии на плоскости. Простейшие задачи аналитической геометрии.

3.9.Линейные операторы (отображения). Матрица линейного оператора в заданном базисе. Действия с операторами. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при преобразовании базиса.

3.10.Линии второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

3.11.Приведение к каноническому виду кривых второго порядка.

3.12.Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Приведение общего уравнения кривых второго порядка к каноническому виду. Приведение общего уравнения поверхностей второго порядка к каноническому виду.

3.13.Цилиндрические и сферические координаты.

3.14.Полярная система координат. Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах.

4 . Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И М Н О Ж Е С Т В

4.1.Понятия множества и подмножества. Операции над множествами.

4.2.Декартово произведение множеств. Мощность множества.

5 . Э Л Е М Е Н Т Ы М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Л О Г И К И

5.1.Понятие о высказывании. Логические операции.

5.2.Булева алгебра высказываний. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы. Кванторы.

6 . К О М П Л Е К С Н Ы Е Ч И С Л А

6.1.Комплексные числа, действия над ними. Изображение комплексного числа на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа.

6.2.Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа. Формула Муавра.

4

7 . В В Е Д Е Н И Е В М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й

АН А Л И З

7.1.Понятие отображения. Числовые функции одной (ФОП) и нескольких переменных (ФНП), вектор-функцияскалярного аргумента. Числовая последовательность. Элементы топологии: определение метрического пространства, предел отображения, пределы ФОП и ФНП.

7.2.Функции и графики. Область определения и область значений функции. Способы задания. Основные элементарные функции. Обратные и сложные функции.

7.3.Числовая последовательность. Предел последовательности. Пределы ФОП и ФНП

7.4.Понятие бесконечно малой (БМ) и бесконечно большой (ББ) величин, их свойства. Простейшие свойства пределов. Сравнение БМ и ББ. Свойства эквивалентных БМ и ББ.

7.5.Предельный переход в равенстве и неравенстве. Признаки существования предела. Первый и второй замечательные пределы и их следствия. Таблица основных эквивалентных БМ.

7.6.Непрерывность отображения. Непрерывность ФОП. Односторонние пределы функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке. Непрерывность ФНП.

7.7.Численные методы решения нелинейных уравнений. Отделение корней.

Метод половинного деления, хорд и касательных.

7.8. Интерполяция функций. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона.

Т Р Е Н И Р О В О Ч Н Ы Й Т Е С Т С Р Е Ш Е Н И Я М И П О К У Р С У « М А Т Е М А Т И К А » Д Л Я П Е Р В О Г О С Е М Е С Т Р А 1

 

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

 

Множество

N натуральных

На множестве N выполнимы только

 

чисел замкнуто относительно

операции сложения и умножения, так

1.

операций…

 

как в результате действия операций вы-

 

1)

вычитания; 2) сложения;

читания и деления могут появиться от-

 

3)

деления;

4) умножения.

рицательные и дробные числа.

 

Бинарная операция сложе-

 

 

ния выполнима и однозначна

 

 

на множестве чисел…

 

2.

1)

нечетных натуральных;

Только для множеств 2) и 4).

 

2)

натуральных;

 

 

3)

А= {x :1< x 3} ;

 

 

4)

целых.

 

 

1 Для экономических специальностей в первом семестре дополнительно изучается раздел «Дифференциальное исчисление».

5

З А Д А Н И Е

 

 

Р Е Ш Е Н И Е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Элемент b M называетсясиммет-

 

Дано множество рациональ-

ричным элементуa M, если справед-

 

ливо соотношение b o

a =a o b =e, где

 

ных чисел

с

операцией « o»

е – нейтральный элемент. Во множестве

3.

(умножение) и нейтральным

Q для бинарной операции умножение

элементом

1

(единица). Эле-

симметричный элемент а–1 дляа 0 бу-

 

мент, симметричный элементу

 

 

1

 

 

 

1

 

2 = 2

1

= 1 симмет-

 

1 / 2, равен…

 

 

 

 

дет

. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ричный элемент равен 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отношение R называется отношением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

эквивалентности, если оно рефлексивно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(aRa) , симметрично

(aRb bRa) и

 

Свойством

эквивалентно-

транзитивно (aRb,bRc aRc) .

 

сти обладает бинарное отно-

 

В 1) не выполняется условие рефлек-

 

шение…

 

 

 

 

 

сивности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В 2) все три условия выполняются.

4.

1) иметь разный рост;

 

 

В 3) не выполняются условия рефлек-

 

2) быть подобным;

 

 

сивности и симметричности.

 

3) быть отцом;

 

 

 

 

 

 

 

 

В 4) не выполняется условия рефлек-

 

4) быть перпендикулярным.

 

 

сивности

( aRa)

и

 

транзитивности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( aRb,bRc aRc ). Так что только от-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ношение «быть подобным» есть отно-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

шение эквивалентности.

 

Дана матрица

 

 

 

 

Элемент а21 расположен на пересече-

 

 

 

 

нии второй строки и первого столбца,

 

 

 

3

1

2

т.е. а21 = 0. Минор элементаа21 равен

 

 

 

 

1

2

 

. Тогда алгебраическое допол-

5.

А =

0

4

3 .

 

7

2

 

 

 

 

1

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нение равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

2

 

 

 

Алгебраическое дополнение

 

 

 

 

 

(–1)

 

,

 

элемента а21 равно…

 

 

 

 

 

 

 

7

 

2

 

 

так как (–1)2 + 1 =–1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определитель

 

 

 

 

Разложим определитель по элементам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

3

2

1

 

 

второй строки,

так

как в этой строке

 

 

 

 

0

b2

0

 

 

только один отличный от нуля элемент

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c1

0

c3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

 

равен…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

1

 

= b2

 

3 1

 

 

= b(3cc) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 b

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

с1

с3

 

 

 

 

2

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c1

0

c3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 3b2c3 b2c1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим определитель разложением

 

Определитель

 

 

 

 

 

по элементам второго столбца и далее

 

 

 

 

 

 

по элементам третьего столбца

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

4

3

 

 

 

 

 

 

 

1

0

4

 

3

 

 

 

 

1

4

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3 5 1

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

2 3 5 1

 

 

 

 

 

 

 

=

3

 

1 2 0

=

 

 

 

1

0

2

0

 

 

 

 

 

 

 

1

0

2

 

0

 

 

 

 

3

5

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

0

5

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

0

5

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 9(1 5 3 2)= −9 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

равен…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание. Разложение удобно осуще-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ствлять по строке (столбцу), содержа-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щей наибольшее количество нулей.

 

 

Если

 

 

 

1

 

2

и

 

 

Найдем сначала 2А: 2А =

2

4

 

 

 

A =

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

8.

 

 

 

 

5

 

 

Далее вычислим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B =

 

 

, то С = 2А +В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С = 2А+ В =

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

имеет вид…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Протранспонируем матрицу А, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

строки заменим столбцами (с теми же

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

номерами)

T

 

 

1

2

.

Умножение

 

 

 

 

 

 

1

1

 

A

=

 

 

 

 

 

 

Если

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

возможно, поскольку число

столбцов

9.

 

 

 

 

 

 

1

 

5

1

 

 

 

 

 

 

первой матрицы равно числу строк вто-

 

, то AT C равно…

 

 

C =

 

 

 

рой; в результате умножения получается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

 

 

 

 

 

 

матрица порядка 2 × 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 5 1

 

5 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AT C=

1

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0 2

 

 

5 1

 

Обратная

матрица

A–1

для

 

 

Матрица А имеет обратную, так как

 

определитель det A = 20.

 

 

 

 

10.

матрицы

 

 

3

2

 

 

 

 

 

Найдем

транспонированную матрицу

 

A =

 

равна…

 

 

 

 

3

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

AТ

, а затем союзную, состав-

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

З А Д А Н И Е

 

 

 

Р Е Ш Е Н И Е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ленную из алгебраических дополнений

 

 

 

 

 

 

АТ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

 

 

 

 

 

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–1

 

 

 

1

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

A

=

 

 

 

 

 

 

A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4 2

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

2,5

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

3

 

 

 

 

 

 

1,5

 

 

 

 

 

 

Из определения ранга матрицы следу-

 

 

 

 

 

 

ет:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) рангm × n матрицыА не превосхо-

 

 

 

 

 

 

дит меньшего из ее размеров, т. е. rang A

 

 

 

 

 

 

min (m,n);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ранг матрицы

 

б) rangA = 0 тогда и только тогда, ко-

 

 

гда

все элементы матрицы равны 0, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

0

6

5

0

А = О;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

 

в) для квадратной матрицыn-огопо-

 

3

0

0

1

 

рядка rang A =n тогда и только тогда,

 

 

 

 

 

 

 

 

когда матрица А невырожденная (detA

 

равен...

 

 

 

0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В данном примере rang A min (2, 4) =

 

 

 

 

 

 

2. Проверим, существует ли отличный

 

 

 

 

 

 

от нуля минор 2 порядка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

6

 

 

= −3 6 = −18 0

rang A = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если (x0,y0) – решение сис-

По формулам Крамера

 

 

 

 

 

 

темы

линейных

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +2 y = −3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(СЛУ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

2

 

 

 

12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

=

 

х

=

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x + 2y = 5,

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

то х0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

может определяться по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

формуле…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если (x0,y0) – решение СЛУ

Найдем решение СЛУ. Для этого из

 

 

x +2 y = −3;

второго

уравнения

 

 

вычтем

почленно

 

 

первое, получим уравнение относитель-

13.

 

3x + 2y = 5,

но х и решим его: 2x = 8x = 4 . Под-

 

 

 

 

 

 

ставим полученное значение в первое

 

то x0 +y0 равно…

 

уравнение

 

 

системы

 

 

 

и

получим:

8

З А Д А Н И Е

 

Р Е Ш Е Н И Е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 + 2y = −3

y = −3,5 . Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 = 4,у0 =–3,5

x0 +y0 = 0,5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СЛУ не имеет решений, если

= 0 ,

 

Дана СЛУ

 

 

 

 

 

x 0 ,

 

 

у

0 . Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

2 5

 

= 10 +5а =0 а = −2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 5y = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

 

 

 

аx + 5y= −2.

При этом

1 5

 

 

 

 

 

 

Система не имеет решений

 

x

=

 

 

= 510= −50 ,

 

 

 

 

 

 

2

5

 

 

 

 

 

 

 

при а равном…

 

 

 

 

у

=

 

 

2

 

1

 

= −4 +2 = −2 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составим расширенную матрицу

 

В СЛУ

 

 

 

 

 

 

 

1 312 1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

 

 

 

0 rang A=

 

x1

3x2

x3

2x4

+ x5 =0,

 

0 0

 

 

2

1 4

 

0

 

 

x

2

+ x

2x

4

+ x =0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

5

 

= 3 каждую из троек переменных

15.

2x

 

+ x

 

4x

= 0

 

3

4

 

можно брать за базисную (соответст-

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

базисными

 

(несвободными)

вующие им миноры матрицы не равны

 

 

0) С53 = 10 (х1,х2,х3), (х1,х2,х4), (х1,

 

переменными

 

 

можно счи-

х2,х5), (х1,

х3,х4),

(х1,

х3,

 

х5), (х1,

х4,х5),

 

тать…

 

 

 

 

 

 

 

 

(х2,х3,х4), (х2,х3,х5), (х2,х4,х5), (х3,х4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Система имеет бесчисленное множе-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ство решений, так как

rang A = rangB =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 < n = 4 (n – число неизвестных). Всего

 

Число

базисных

решений

групп переменных по 2 из четырех

 

шесть: (х1,х2), (х1,х3), (х1,х4), (х2,х3), (х2,

 

системы

 

 

 

 

 

 

 

х4), (х3,х4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

x

 

+ 3x

+ 2x

 

+ 3x = −1,

Только 3 из них (х1,х2), (х2,х3), (х2,х4)

 

 

можно выбирать за базисные (миноры

1

 

2

 

3

 

4

 

2x1+ 5x2+ 4x3+ 6x4= 0

матрицы системы при них соответствен-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

но не равны нулю). Полагая в общем

 

равно…

 

 

 

 

 

 

 

решении при каждом выборе базисных

 

 

 

 

 

 

 

 

переменных равными нулю свободные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

переменные, получаем одно базисное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение. Таким образом, система имеет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

три базисных решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

 

 

Базисное решение системы

Если базисные переменные – х1,х4, то

 

 

свободные – х2,х3,х5, тогда, полагаях2 =

 

 

x

 

x +2x x

+ x

 

= 1,

 

 

 

= х3 =х5 = 0, из системы имеем

 

 

 

 

 

1

2

 

3

4

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

 

x1 +x2 4x3 +2x4 2x5 =3,

 

 

х

х

4

= 1,

 

 

 

х

= 5,

 

 

если в качестве базисных пе-

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

ременных взять х1 их4, име-

 

х1 +2х4 =3

 

 

 

х4=

4

 

 

 

 

ет вид…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хбаз = (5; 0; 0; 4; 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Число линейно независимых

Однородная СЛУ имеет

 

ненулевые

 

решений

в

фундаментальной

решения, так как

rang A = rangB = 2 <n

 

системе однородной СЛУ

= 4 (n – число неизвестных). Число ре-

 

 

x + x

+ x +x

x

 

= 0,

 

 

 

18.

 

 

 

 

 

шений в фундаментальной системе рав-

 

 

1

2

 

3

4

5

 

 

 

 

 

 

x1+ 2x2+ 3x3+ x4+ 2x5= 0

но разности между числом неизвестных

 

при каждом из выборов базис-

и рангом матрицы n – rangA = 5 – 2 =

 

ных переменных равно…

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Собственные значения

 

λ

 

линейного

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оператора

~

 

, заданного матрицей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

Собственные

значения соб-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А =

11

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

ственных векторов линейного

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а22

 

 

 

 

 

 

преобразования,

 

 

заданного в

есть корни характеристического уравне-

19.

некотором

базисе

матрицей

ния

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11− λ

a12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, могут быть най-

 

 

 

 

 

 

 

= 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

a22− λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дены по формуле…

 

 

 

 

 

В нашем случае

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1− λ

2

 

 

= 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

4 − λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Даны векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a = ij+ k

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

= 6i 2 j +4k

;

 

 

 

 

 

20.

и b =

3i j + 2k . Тогда ли-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нейная

комбинация

 

a 2

 

 

 

 

 

a 2b = 5i +j 3k

.

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

этих векторов равна…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Координаты и длина вектора

 

 

= (4, 5,3),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

21.

 

A1A2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1A2

A1A2

,

если А1(4, 2, 5),

= (4)2 +52 +(3)2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50 = 5 2 .

 

 

А2(0, 7, 2), равны…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.

 

Даны вершины треугольни-

Координаты точки D (середина отрез-

ка

АВС:

 

А(3,

4),

 

В(–3,4),

10

Соседние файлы в предмете Высшая математика