2253 ЭИ

№	З А Д А Н И Е	Р Е Ш Е Н И Е
		А \ В

В

На диаграмме Эйлера-Венна

А

приведена

геометрическая

А В = A + B

А ∩ В =А В

иллюстрация понятия…

В

А

В

62.

А

А

В

А \ В.

В условиях задания отмечены точки

множества А, не входящие в множество

В, поэтому имеем геометрическую ил-

люстрацию понятия разности множеств

Аи В.

Всложном высказывании А В используются 2 операции: « » и « ».

Правильная						таблица		истин-			Вначале выполняется « », затем «																			».
											Для каждой из них имеем таблицы ис-
ности			высказывания						А В ,
											тинности:
63. где	,				– обозначения опе-
раций конъюнкции (умноже-													А		В			А В
																								А В
ния) и отрицания, имеет вид…
													0		0		0					1
													0		1		0					1
													1		0		0					1
													1		1		1					0
											Имеем					сложное						высказывание
Укажите правильную табли-											р q r .				Составим						таблицу истинно-
цу	истинности						логического				сти, выполняя сначала операцию умно-
высказывания						р q r …					жения ( ), а затем сложения ( ) выска-
											зываний:
					p	q	r					p			q			r		p q				р q r
			0			0	0
												0			0			0			0			0
64.			0			0	1
												0			0			1			0			1
			0			1	0
												0			1			0			0			0
			0			1	1
												0			1			1			0			1
			1			0	0
												1			0			0			0			0
			1			0	1
												1			0			1			0			1
			1			1	1
												1			1			1			1			1
			1			1	1
												1			1			1			1			1
																						21

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

Даны

комплексные

числа

3z1 = 3 − 3i , –2 z2 = −6 − 8i ,

65.

z1 = 1− i

и

z2 = 3 + 4i .

Тогда

3z1 − 2z2 = –3 – 11i.

3z1 − 2z2

равно…

Если

z = 1− i ,

z

2

= 2 + i ,

то

z z

2

= (1− i)(2 + i) = 2 − 2i + i − i2 ,

так

66.

1

1

z1 z2 равно…

как i 2 = –1, то

z z

= 3 − i .

2

1

z

1− i

(1− i)(2 − i)

2 − 2i − i + i

2

Если

z1 = 1− i ,

z2 = 2 + i ,

то

1

=

=

=

=

2 + i

(2 + i)(2 − i)

4 +

1

67.

z2

z1 / z2

равно…

1− 3i

1

3

=

=

−

i .

5

5

5

На

рисунке

y

z

представлена

2

Тригонометрическая

форма

записи

геометриче-

r

y

имеет вид

z = r(cos ϕ + i sin ϕ) , где

ϕ =

ская

иллюст-

68.

рация

ком-

ϕ

π / 4,

r =

x2 + y2

=

22 + 22

= 2

2

(см.

0

2

x

плексного

x

π

числа

рисунок) z = 2

π

z = x + iy . Тогда

тригономет-

2 cos

4

+ i sin

.

рическая форма записи этого

4

числа имеет вид…

Произведение комплексного

z = x − iy = 4 + 3i.

z z = (4 − 3i)(4 + 3i) = 16 − (−1)9 = 25 .

69.

числа

z = 4 − 3i

на сопряжен-

Замечание. Можно использовать свой-

ное число z

равно…

ство z z =

z

2 .

Модуль и аргумент комплексного чис-

ла определяются по формулам

r =

z =

x2 + y2

,

arg z = ϕ

Модуль и главное значение

(см.

рисунок

из

№

68).

70.

аргумента комплексного числа

z =

(−4)2 + 02 = 4 . Так как

y = r sin ϕ ,

z = −4 равны…

x

x = r cos ϕ, ,

то

cos ϕ =

=

−4

y

0

r

=

= −1, sin ϕ =

=

= 0 ϕ = π.

r

4

4

71.

Показательная форма записи

Комплексное

число

в

показательной

числа

форме имеет вид z = r eiϕ , где

22

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

z = −1 + i 3

z = (−1)2 + ( 3)2 = 2 ,

z

= r,

имеет вид…

x

y

3

cos ϕ =

= −1/ 2, sin ϕ = r

= 2

r

ϕ = 2π / 3. Тогда z = 2 ei2π / 3 .

Если

f (z) = 4z2 –

4i,

тогда

f ′(z) = 8z f ′(2 − 2i) =

8(2 − 2i) =

72.

значение

производной

этой

функции

в точке

z0 = 2 − 2i

= 16 −16i .

равно…

На

числовой

прямой

дана

ε-окрестностью точки х0

служит ин-

точка

х

= 5,6.

Тогда ее «ε-

тервал (x0 − ε; x0 + ε) интервал дол-

73.окрестностью» может являтьжен быть симметричен относительно х ся интервал… х х + ε− ε +

			а) (5,6; 5,8),									б) (0, 6),			х0 =	0			0											(5,4; 5,8)
																			2
			в) (5,4; 5,8);									г) (5; 6).		ответ в).
			Задано множество точек на
	числовой										прямой:		а = 1,2;	ε-окрестности точки х = 1 при ε = 1,1
	b = 2, c = 2,3, d = 0,5,												e =–0,01,
														есть интервал (–0,1; 2,1). Поэтому в ок-
	74. f = –1,3. Тогда количество то-
	чек этого множества, принад-													рестности содержатся 4 точки заданного
	лежащих ε-окрестности точки													множества: 1,2; 2; 0,5 и –0,01 4 точки.
	х = 1 при ε = 1,1, равно…
			Мера множества, изобра-											Мерой точечного множества в R2 яв-
	женного на рисунке, равна…													ляется площадь фигуры. Площадь дан-
											у			ной фигуры находим как разность пло-
												3		щадей двух прямоугольных треугольни-
	75.											2		ков. Получаем
																		1	31 −		1				2 1 =							1
												у = –3х				S =
																2					2									2
					у = –2х																					1
									–1		0	1	x	мера множества равна														.
																									2
			Три первых члена числовой											В каждом из случаев для первых 3
	последовательности												есть
	76.	1	,			1	,		1	.	Тогда		формула	элементов имеем							1				1					1
																1
	4				10			18
														1) аn =						:			,						,				;
	общего								члена			последователь-					n (n + 3)				4						10				18
	ности имеет вид…
																														23

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

1)

1

;

2)

1

;

2) аn =

1

:

1 , 1

,

1

;

n (n + 3)

6n − 2

6n − 2

4 10

16

1

1

3) аn =

1

1

1

1

3)

(n + 2) (n + 1)

;4)

2n (n + 1) .

(n + 2) (n + 1) :

6 , 12 ,

20 ;

4) аn =

1

:

1 ,

1

,

1 .

2n (n + 1)

4

12

32

Поэтому

формула

общего члена

по-

следовательности аn =

1

n (n + 3) .

Числовая

последователь-

Так как а3 = а2

а1, а4 = а3

а2, то име-

77.

ность

задана

рекуррентно

ем

формулой аn + 1 = аn аn – 1, где

а3 = 6,

а4 = 18.

а1 = 2, а2 = 3. Тогда значение

элемента а4

равно…

Так что а4 = 18.

Функция

Это

немонотонная

y

функция на промежут-

5

у= х2–4

y = x2

− 4

ке

(− 1; 3].

Построим

78.

график функции у = х2

–1

– 4. Множество

−

–2

0

2 3 x

отображает множество

(− 1; 3]

(

1; 3]

по оси Ох отображает-

–3

на множество …

ся на множество [–4; 5]

–4

по оси Оу.

Предел

lim

2x2 − 2

=

0

= lim

2(x − 1)(x +

1)

=

2x

2

− 2

3x

2

+ 9x + 6

3(x +

1)(x +

2)

79.

lim

x→−1

0

x

→−1

3x2 + 9x + 6

2(x −

1)

x→−1

= lim

= −4 / 3 .

равен…

3(x + 2)

x

→ −1

1 способ. lim

2x + 1

∞

=

2

− 3

=

∞

x→∞ x

Предел

= lim

x(2 +1/ х)

= 0 .

80.

lim 2x + 1

x→∞ x2(1− 3/

х2)

2x + 1

∞

x→∞ x2 − 3

2 способ. lim

=

равен…

2

− 3

=

∞

x→∞ x

= lim

f ′(x) =

lim

2

= 0 .

x→∞

ϕ′(x)

x→∞

2x

24

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

Предел

lim(1+ 4х)3/ х = 1∞

=

x→0

81.

lim(1+ 4х)3/ х

4 х

3

12х

x→0

1

lim

равен…

= lim

(1+ 4х)

х

= еx→0

х

= е12 .

4

х

x→0

82.

Функция

y =

x − 2

– беско-

x = 2 , так как lim

x − 2

= 0 .

x + 2

x + 2

нечно малая в точке…

x

→2

Скачок функции

Найдем

lim

f (x)

и

lim

f (x) :

x→−1−0

x→−1+0

2,

x < −1,

lim

f (x) = 2 ,

lim

0

f (x) =

lim

83.

y =

x→−1−0

x→−1+

x→−1+0

2 − 2x, − 1 ≤ x ≤ 1,

(2 − 2x) = 4 s(–1) =

lim

f (x) –

x→−1+0

ln x, x > 1.

lim

f (x) = 2.

в точке x = –1 равен…

x→−1−0

1)

lim

f (x) =

lim

f (x) ≠ f (a) x

x→a−0

x→a+0

= a – точка разрыва первого рода (уст-

ранимого), так как односторонние пре-

Установите

соответствие

делы равны, конечны, не равны значе-

между

графиком

функции

и

нию функции;

f (x) x = a –

характером

разрыва

в точке

2)

lim

f (x) ≠

lim

x = a.

x→a−0

x→a+0

точка разрыва I рода (неустранимого),

84.

так как односторонние пределы конеч-

у

1

2

3

4

ны, не равны между собой;

3)

lim f (x) = f (a)

x = a – точка

x→a

непрерывности;

0

a

a

a

a

x

4)

lim

f (x) = ∞;

lim

f (x)

сущест-

x→a−0

x→a+0

вует и конечен x = a – точка разрыва

II рода (хотя бы один из односторонних

пределов бесконечен либо не существу-

ет).

Р(х) = (х+ 1)(х− 1)(х+ 1,5)

Действительными корнями многочле-

является разложением много-

85.

на Р(х) являются –1,5; –1; 1, которые

члена над полем действитель-

принадлежат множеству

ных чисел. Тогда его корни

А = {x R

− 1,5 ≤ x ≤ 1}.

принадлежат множеству А…

25

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

1

способ.

у

у1

= х

3

Отделим

кор-

А(–0,5;1,25)

ни

графиче-

у2=1–х2–х

1

ски.

Для этого

0

1

х

построим

гра-

фики функций

у1 = х3 и у2 = 1 – х – х2.

Из рисунка видно, что положительный

корень уравнения принадлежит

интер-

валу (0, 1).

Для уточнения интервала

вычислим

значения функции на концах интервалов

1) у(1,5) = 1,53 + 1,52 + 1,5 – 1 > 0;

Действительный

корень

у(2) = 23 + 22 + 2 – 1 > 0

–

–

+

уравнения

на интервале (1,5; 2)

0

0,5

1

х

х3 + х2 + х – 1 = 0

корней нет;

86.

2) у(0) = – 1 < 0; у(0,5) = 0,53 + 0,52 +

принадлежит интервалу…

+ 0,5 – 1 < 0 на интервале (0; 0,5)

корней нет;

1) (1,5; 2),

2) (0; 0,5),

3)

у(1) = 13

+ 12 + 1 – 1 > 0; у(1,5) =

1,53 + 1,52 + 1,5 – 1 > 0 на интервале

3) (1; 1,5),

4) (0,5; 1).

(0; 0,5) корней нет;

4) у(0,5) = 0,53 + 0,52 + 0,5 – 1 < 0;

у(1) = 13 + 12 + 1 – 1 > 0

интервал

(0,5; 1) содержит корень.

2 способ. Функции у1 = х3

и у2 = 1 – х –

х2 имеют противоположный характер

монотонности

при х

(0,

1):

у′ (x) = 3х2 > 0, у′ (x) = −1− 2х < 0,

по-

1

2

этому на интервале (0, 1) только один

корень уравнения. Интервалы 1) и 3) не

содержат корней.

у(1) > 0, у(1,5) > 0, у(0,5) < 0 интер-

вал (0,5; 1) содержит корень.

Три итерации метода поло-

Вычислим значения функции на кон-

винного деления при решении

цах и в середине отрезка [0, 8]:

уравнения

у(0) =– 2,4 < 0; у(8) = 82 – 2,4 > 0;

87.

х2 – 2,4 = 0

у(4) = 42 – 2,4 > 0

на отрезке [0, 8] требуют по-

корень содержит отрезок [0, 4].

Вычислим значение функции в сере-

следовательного

вычисления

дине отрезка [0, 4]: у(2) = 23 + 22 + 1 – 1

26

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

значений функции

> 0 корень содержит отрезок [0, 2].

у = х2 – 2,4

Далее у(1) = 13 + 12 + 1 – 1 > 0 ко-

рень содержит отрезок [0, 1].

в точках…

Итак, х1 = 4, х2 = 2, х3 = 1.

Интерполяционный

много-

член Лагранжа второго поряд-

ка для функции y

= f (x),

график которой проходит че-

рез точки с абсциссами x = 1,

x = 3, x = 5, имеет вид…

1) P(x) = (x –3)(x– 5) f (1)+(x–1)

(x – 5)f (3) + (x– 1)(x – 3)f (5);

Интерполяционный

многочлен

Ла-

2)

Р(х) =

(х− 3)(х− 5)

f (1) +

гранжа P(x) в точках x = 1, x = 3, x = 5

8

должен принимать соответственно зна-

+

(х− 1)(х− 5)

f (3) +

чения f (1), f (3), f (5). Эти условия вы-

полняются только для многочлена 2:

4

+

(х−1)(х− 3)

f (5) ;

Р(1) =

(−2)(−4)

f (1) + 0 + 0 = f (1)

;

88.

8

(х− 3)(х− 5)

8

3)

Р(х) =

f (1) −

Р(3) = 0 +

2(−2)

f (3) + 0 = f (3) ;

8

(х−1)(х− 5)

−

f (3) +

4

4

4 2

+

(х−1)(х− 3)

f (5) ;

Р(5) = 0 + 0 +

f (5) = f (5) .

8

(х− 3)(х− 5)

8

4)

Р(х) =

f (1) +

15

+

(х−1)(х− 5)

f (3) +

5

+

(х−1)(х− 3)

f (5) .

3

27

П Р О В Е Р О Ч Н Ы Й Т Е С Т З А П Е Р В Ы Й С Е М Е С Т Р

№	З А Д А Н И Я															В А Р И А Н Т Ы О Т В Е Т О В
	Какие операции							определены							на	А. Только 1) и 3);
	множестве целых чисел Z?															Б. Только 2);
1.																В. Все;
	1) a ob = a − b ;		2)					a ob = ab ;
	3) a ob = a/b ;				4) aob = a b.											Г. Только 4);
																Д. Только 1) и 4).
	Разложение определителя															А. −	3						2			3					+							2			3					− 5				2			2				;
																							2			1												1			1									4			2
		2 2 3														Б. −			2					3			+							2					3			−						2	2				;
																			2 1															1 1														4 2
2.		3	1					− 5									2 3															2 3																			2 2
		4 2 1														В. 3										−															+ (−5)																	;
																	2							1								1							1												4		2
	по второй строке имеет вид…															Г. −	3				2			3							+					2			3							− (−5)									2			2		.
																					2 1															4 1																			4 2
					1			2		1	3					А. 1;
					0			4		2	0
3.	Определитель														ра-	Б. 2;
					3			1		0	0					В. 4;
					0			2		1	0					Г. 0;
																Д. 3.
	вен…
	Если все элементы определителя															А. На два;																														Б. В восемь раз;
4.	второго порядка умножить на 2, то															В. В два раза;
	новый определитель будет больше															Г. На восемь;
	исходного…															Д. В четыре раза.
							1	0			0					А. 0;
5.	Определитель						0	2			0			=	0	Б. 0,5;
							0	0		2α −1						В. 1;
																Г. 3;
	при α равном…															Д. 2.
		3	1					−1								А. –6;
	Матрица 0		4					2			является
																Б. 6;
6.				α												В. –2;
		0						1
	вырожденной, если число α рав-															Г. 18;
																Д. 2.
	но…
28

№

З А Д А Н И Я

В А Р И А Н Т Ы О Т В Е Т О В

0

2

;

0

1

− 1

2

А.

Б.

;

Если

A =

и

8

4

− 6

− 3

− 5

− 1

5

−1

3

4

7.

1 −1

В.

4

;

Г.

8

;

B =

, то С = 2А + В имеет

− 14

− 8

1

0

0

2

вид…

Д.

4

.

−1

1

2

− 3

А. 0;

Ранг матрицы

А =

3

6

− 9

Б. 2;

8.

В. 1;

4

8

−12

Г. 3;

равен …

Д. 4.

Если (x0, y0) – решение СЛУ

А. –0,5;

9.

x + 2 y = 3;

Б. 1;

В. 1,5;

3x + 2 y = 5,

Г. –1;

тогда x0 – 2y0 равно…

Д. 0.

x

+

х +

3х

= 0,

x1 + х2 = 3,

1

2

3

Б.

А. − х2 + х3 = 1,

х

+

х =

0;

х1 + х2

= 1;

1

3

2x1 + х2 − х3 = 7,

В.

х1 + х3 = 3,

Для обратного хода метода Гаус-

х1 + х2 + х3 = 1;

10.

са подготовлена следующая систе-

x1 + 4х2 + х3 = 0,

ма линейных уравнений…

Г. − х1 + х2 = 1,

х2 + х3 = 0;

x1 + 8х2 + х3 = 4,

Д. − х2 + х3 = 2,

х3

= 10.

5

Пусть A и B – обратимые квад-

А. B–1A–1;

Б. A–1B;

11.

ратные

матрицы

одного

порядка.

В. BA–1;

Тогда решение матричного уравне-

Г. A–1B–1;

ния AX = B имеет вид…

Д. AB–1.

29

№

З А Д А Н И Я

В А Р И А Н Т Ы О Т В Е Т О В

Решение матричного уравнения

2

− 1

;

0

1

;

А.

Б.

1

− 1 1 0 1

− 1

1

0,5

− 1 1

− 2 1

12.

;

;

X

=

В.

Г.

−

− 1 2 − 1 1

1 0

1 1

− 1 − 1

имеет вид…

Д.

.

− 1

0

Если

,

то

А. –14;

Б. 14;

a = 12i + 4 j − 6k

13.

a

= …

В. 22;

Г. 10;

Д.

124 .

Векторное произведение

векто-

А. 18;

Б. 9;

14.

ров

и

,

где

А(5, 3,

7),

В. 12i + 6 j − 12k

; Г.

− 12i − 6 j + 12k ;

ВA

ВC

В(0, 1, 1) и С(1, –1, 1), равно…

.

Д. 12i − 6 j − 12k

Какие из следующих пар векто-

А. Ни одна;

ров образуют ортогональный ба-

зис?

Б. Только 2) и 3);

15.

1) a = (1, 2);

= (–1, –2),

В. Все три;

b

Г. Только 2);

2) a = (0, 1);

b

= (–2, 0),

Д. Только 1).

3) a = (2, –3);

b

= (3, 2).

Объем

пирамиды

с

вершинами

А. 12;

Б. 1;

16.

А(5, 3, 7),

В(0, 1, 1),

С(1, –1, 1)

и

В. –12;

D(0, 1, 1) равен…

Г. –1;

Д. 0.

Даны

две

смежные

вершины

А. 25;

Б. 5;

17.

квадрата А(3, –7) и В(–1, 4). Тогда

В. 137;

площадь этого квадрата равна…

Г.

137 ;

Д. 6.

y

1

А. 2 x – y + 2 = 0;

Уравнение линии

на

0

x

Б. y = –2x + 2;

18.

рисунке имеет вид…

В. y = –2x;

–2

Г. y = x + 1;

Д. 2x – y – 2 = 0.

Прямая

на

плоскости

задана

А. Вторую четверть;

19.

уравнением

у = kx + b,

причем

Б. Первую четверть;

k > 0, b > 1. Тогда эта прямая не

В. Третью четверть;

проходит через…

Г. Четвертую четверть.

20.

Угловой коэффициент k и вели-

А. k = 0,5; b = 3;

Б. k = –0,5; b = 3;

чина отрезка b, отсекаемого прямой

В. k = –0,5; b = –3;

30