Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ФБТ БИ 1курс / физика лекції

.pdf
Скачиваний:
11
Добавлен:
10.04.2018
Размер:
1.15 Mб
Скачать

1. ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ ФІЗИКИ

Лекція 1

1.1.Предмет і метод фізики

1.1.1.Фізика та її зв’язок з суміжними науками

Фізика – наука про найбільш загальні властивості і форми руху матерії. Закони фізики можуть бути як ті, що формують наукову картину світу і розвивають прогрес, діяльність людського суспільства, так і ті, що направлені на знищення людського суспільства.

Фізика – наука про найбільш прості, але загальні об’єктивні властивості в просторово-часових законах матерії, яка рухається; кількісних і якісних її змінах, що пов’язані з будовою, взаємодією і перетворенням усіх її видів і станів.

Фізика вивчає швидкість, прискорення, силу, роботу і енергію у всіх процесах, що відбуваються. Матерія – об’єктивна філософська категорія для позначення об’єктивної реальності, яка дана людині в її відчуттях; яка копіюється, фотографується, відображається нашими відчуттями, існуючи незалежно від них. Матерія: те, що існує об’єктивно; непізнаваєма. Існує 2 типи матерії: речовина (атоми, молекули і все, що побудоване з них) і поле (електромагнітне, гравітаційне та інші поля). Різні типи матерії можуть перетворюватись одна в одну; наприклад, електрон і позитрон – в протони. Матерія існує тільки в русі. Рухається в просторі і часі, що є формами існування матерії. Таким чином, фізика

пізнає просторово-часові закони руху матерії.

Фізика має спільні об’єкти і методи дослідження з іншими природничими науками, внаслідок чого виникли цілі галузі знань: фізична хімія, хімічна фізика, хімічна термодинаміка, астрофізика, біофізика, геофізика та ін.

Основою сучасної фізики є математика. Математичний апарат широко використовується при обробці й узагальненні експериментальних результатів.

Без математики не могли бути створені теорія електромагнітного поля, статистична теорія, термодинаміка, теорія відносності, квантова механіка тощо. Ці теорії дають змогу передбачати нові закономірності, робити узагальнені висновки, а іноді й відкриття. Теоретично було передбачено існування електромагнітних хвиль, хвильових властивостей елементарних частинок, існування нейтронів, нейтрино та ін. Розв'язання проблем фізики, в свою чергу, стимулює розвиток математики.

1.1.2.Фізика і технічний процес

Фізика є основою сучасного науково-технічного прогресу: механічний транспорт, електротехніка, радіоелектроніка, теплотехніка, автоматика і телемеханіка, будівельна техніка сучасні технології, напівпровідникова і обчислювальна техніка та багато інших прикладних застосувань фізики. Технічний прогрес також сприяє розробці сучасної експериментальної бази фізичних досліджень: вимірювальних приладів, мікроскопів, спектрографів, прискорювачів елементарних частинок та ін.

Пізнання фізичних об'єктів і явищ здійснюється шляхом застосування певних методів фізичного дослідження. Це спостереження, дослід і теоретичне узагальнення. Спостереженням називають вивчення предметів і явищ у природних умовах без порушення різноманітних зв'язків. Фізичний дослід — це відновлення явищ у штучних умовах і планомірне вивчення їх під впливом певних дій.

Спостереження і результати дослідів певних явищ теоретично узагальнюються на основі сучасного математичного апарату. Це дає можливість крім кількісного описання явищ і раціонального їх подання в узагальненій формі дістати нові висновки і наслідки законів, що підлягають дослідній перевірці. Дослідним вивченням законів природи і перевіркою їх наслідків займається експериментальна фізика. Узагальненням дослідних даних, формулюванням законів природи і поясненням на їх основі конкретних явищ, а також передбаченням нових явищ займається теоретична фізика. Експериментальна фізика і теоретична фізика тісно пов’язані між собою і доповнюють одна одну. Сучасна фізика має небагато фундаментальних фізичних теорій, які охоплюють усі розділи. Вони є основою сучасної фізичної картини світу. Частіше теорії охоплюють окремі споріднені типи об'єктів і відповідні групи або типи явищ.

Фізика має надзвичайно велике загальнонаукове значення як одна із галузей інтелектуальної діяльності людини, що формує сучасне світосприйняття і світорозуміння.

1.1.3. Фундаментальні типи взаємодії у природі Фізичні закони встановлені на основі узагальнення досягнених фактів і виражають об’єктивні

закономірності, що відбуваються в природі; формулюються у вигляді кількісного співвідношення між фізичними величинами.

Для пояснення експериментальних даних використовуються гіпотези(наукове припущення, що висувається для пояснення якого-небудь факту, явища;і яке потребує перевірки і доведення щоб стати науковою теорією, або законом). Успішно перевірена теорія перетворюється в закон.

Фізична теорія – система ідей, що узагальнює дослідні дані і відображає об’єктивні закономірності природи.

Фізика розділяється на класичну фізику і квантову фізику. Класична – та, яка була створена до початку ХХст.; основоположник – Ньютон, що сформував основні закони механіки. Початок ХХст. –

1

поява поняття „квант”, пізніше створення поняття „квантової механіки”, потім – поняття „квантової фізики”.

Фізика вивчає кількісні і якісні закономірності явищ, які ми спостерігаємо. Явища за видом взаємодії розподіляються на 4 типи:

1.гравітаційна – взаємодія між масами, що проявляється на будь-яких відстанях між ними; нескінченний радіус дії;

2.електромагнітна – взаємодія між зарядами; нескінченний радіус дії;

3.сильна – взаємодія, обумовлена ядерними силами; радіус дії дорівнює розмірам ядра ≈10 −13 ; взаємодія обумовлена існуванням ядер;

4.слабка – взаємодія, обумовлена ядерними силами; відповідає за усі види β-розпаду, за

процеси взаємодії нейтрино з речовиною; радіус дії 10 −15 см .

1.1.4. Фундаментальні закони збереження Можливість протікання процесів визначається виконанням законів збереження, кожен з яких має

свою область використання (їх приблизно 10).

Фізичні закони, які мають найбільшу область використання – фундаментальні закони(їх 4):

1.закон збереження імпульсу. Пов’язаний з однорідністю простору – однаковістю властивостей

усіх точок простору:

N

å pi = const ;

i=1

2.закон збереження моменту імпульсу. Пов’язаний з однорідністю простору – фізична

еквівалентність усіх напрямів у просторі:

N

åLi = const ;

i=1

3.закон збереження енергії. Пов’язаний з однорідністю часу – відсутністю якого-небудь фіксованого моменту часу:

åE = const

E= Ek + E p = К + П;

4.закон збереження електричного заряду. Пов’язаний з особливою симетрією хвильової функції

ψ , що описує стан зарядженої частинки:

N

åQi = const .

i=1

1.1.5. Основні розділи фізики Фізичні явища в області механіки можна класифікувати за ознакою мас тих тіл, які приймають

участь в цих явищах а також по швидкості їх руху:

 

М – велика

М – велика

v – мала

v – велика

класична нерелятивістська фізика.

класична релятивістська фізика

 

(спеціальна і загальна теорія відносності).

М – мала

М – мала

v – мала

v – велика

квантова нерелятивістська фізика.

квантова релятивістська фізика.

2. ОСНОВИ КІНЕМАТИКИ

 

2.1. Кінематика поступального і обертального руху Лекція 2 2.1.l. Зaгaльнi пoлoжeння. Meхaнiкa тa її poздiли

Meхaнiкa – poздiл фiзики, в якoму вивчaєтьcя pух тiл у пpocтopi тa чaci. Meхaнiчним pухoм тiлa нaзивaєтьcя змiнa йoгo пoлoжeння у пpocтopi iз плинoм чacу. Ocнoвними зaдaчaми мeхaнiки є визнaчeння пoлoжeння тiлa у будь-який мoмeнт чacу, визнaчeння зaкoнiв pуху тiл тa знaхoджeння зaгaльних тeopeм тa пpинципiв, щo пpитaмaннi будь-якiй cиcтeмi. Meхaнiкa пoдiляєтьcя нa тaкi poздiли:

1. Kiнeмaтикa. Kiнeмaтикa вивчaє зaкoни pуху тiл, нe poзглядaючи пpичини цьoгo pуху. Toбтo ocнoвнoю зaдaчeю є знaхoджeння зaлeжнocтi кoopдинaт вiд чacу.

2. Динaмiкa. Динaмiкa вивчaє pух тiл у зв'язку з тими пpичинaми, щo oбумoвлюють тoй чи iнший хapaктep pуху.

3. Cтaтикa. Cтaтикa вивчaє умoви piвнoвaги тiл. 2.1.2.Пoняття мaтepiaльнoї тoчки тa aбcoлютнo твepдoгo тiлa

Haйпpocтiшим oб'єктoм, щo вивчaєтьcя кiнeмaтикoю є мaтepiaльнa тoчкa. Maтepiaльнoю тoчкoю нaзивaють мaкpocкoпiчнe тiлo, poзмipи якoгo мaлi нacтiльки, щo у pуci, який poзглядaєтьcя, ними мoжнa знeхтувaти, тoбтo ввaжaти, щo уcя peчoвинa cкoнцeнтpoвaнa в oднiй гeoмeтpичнiй тoчцi. Звичaйнo, мaтepiaльних тoчoк у пpиpoдi нe icнує. Цe фiзичнa aбcтpaкцiя, зa мeту якoї пoклaдeнo cпpoщeння

2

poзpaхункiв фiзичних явищ. Чи мoжнa кopиcтувaтиcя цiєю aбcтpaкцiєю у тoму чи iншoму випaдку зaлeжить нaвiть нe вiд caмoгo тiлa, a вiд вiднoшeння poзмipiв тiлa дo хapaктepних вiдcтaнeй у дaнoму пpoцeci (pуci). Haпpиклaд, Зeмлю мoжнa з вeликoю тoчнicтю poзглядaти як мaтepiaльну точку при русі

по орбіті навколо Сонця. Справді відношення

R

=

1,5×108

km ≈105 km . Тож усі точки Землі

r

6,4 ×103

 

 

 

рухаються майже однаково. Toму дocтaтньo poзглянути pух тiльки oднiєї, нaпpиклaд, щo знaхoдитьcя у цeнтpi, i ввaжaти, щo уcя peчoвинa cкoнцeнтpoвaнa у нiй. Пpи тaкoму poзглядi збepiгaютьcя уcі хapaктepнi oзнaки pуху, cпpoщуючи зaдaчу пpo opбiтaльний pух Зeмлi.

Звичaйнo, пpи poзглядi oбepтaння Зeмлi нaвкoлo cвoєї oci ми нe мoжeмo викopиcтoвувaти пoняття мaтepiaльнoї тoчки, бo нeмaє ceнcу poзглядaти oбepтaння гeoмeтpичнoї тoчки нaвкoлo oci, щo пpoхoдить чepeз цю тoчку.

Дaлi, caмe пpи poзглядi oбepтaння фiзичних тiл, ми будeмo кopиcтувaтиcя iншoю фiзичнoю aбcтpaкцiєю. Дocить чacтo пpи pуci у нopмaльних умoвaх i бeз зiткнeнь фiзичнi тiлa мaлo дeфopмуютьcя i мaйжe нe змiнюють cвoї poзмipи. Toж ми мoжeмo нe poзглядaти дeфopмaцiю, a гoвopити пpo aбcoлютнo твepдe тiлo. Bизнaчити цe пoняття мoжнa тaк: aбcoлютнo твepдe тiлo (ATT), цe тiлo в якoму вiднocнe пoлoжeння будь-яких чacтин нe змiнюeтьcя пiд чac pуху. Чacтo, пpи вивoдi фopмул, ATT poзглядaють як cиcтeму мaтepiaльних тoчoк з пeвними мacaми, вiдcтaнь мiж якими нe змiнюєтьcя. Пepeхiд жe вiд фopмул, щo включaють cумувaння пo диcкpeтним тoчкaм дo фopмул для нeпepepвнoгo тiлa вiдбувaєтьcя

пpocтoю зaмiнoю мac тoчoк нa мacу ρdV в eлeмeнтi oбeeму dV ( ρ - гуcтинa мacи) тa пepeхoду дo

iнтeгpувaння пo вcьoму oб'єму тiлa. Haпpиклaд: фopмулa для мacи вcьoгo тiлa

M = åmi

пepeхoдить у

 

i

 

фopмулу M = òρdV , дe ρ - гуcтинa тiлa.

 

 

V

 

 

2.1.4.Система вiдлiку. Положення матеріальної тoчки у просторі

Умeхaнiцi pухoм нaзивaють змiну пoлoжeння тiлa iз плинoм чacу. Пpичoму пiд пoлoжeнням тiлa poзумiють пoлoжeння вiднocнo iнших тiл. Пoняття aбcoлютнoгo пoлoжeння, тoбтo пoлoжeння у "aбcoлютнoму пpocтopi" нe мaє змicту. Toму cтaє нeoбхiдним ввecти пoняття пpo cиcтeму вiдлiку. Bизнaчимo cпoчaтку дoпoмiжнi пoняття.

Будeмo нaзивaти тiлoм вiдлiку тiлo, вiднocнo якoгo вимipюєтьcя пoлoжeння уciх iнших тiл. Для фiкcувaння пoлoжeння ocтaннiх ми мaємo пoв'язaти iз тiлoм вiдлiку щe i кoopдинaтну cиcтeму, нaпpиклaд, дeкapтoву пpямoкутну cиcтeму кoopдинaт. Toдi пoлoжeння будь-яких тoчок у цiй пpocтopoвiй cиcтeмi вiдлiку мoжнa зaдaвaти тpьoмa чиcлaми - кoopдинaтaми тoчки х, у, z, щo являють coбoю вiдcтaнi дo кoopдинaтних плoщин YZ, ХZ, ХY вiдпoвiднo. Tpи кoopдинaти мoжнa пoєднaти у oдин вeктop. Цeй вeктop нaзивaють paдiуcoм-вeктopoм i вiн пpoвeдeний iз пoчaтку кoopдинaт дo тoчки (х, у, z).

r = x ×i + y × j + z × k ,дe i, j, k – вiдпoвiднi кoopдинaтнi opти.

Рис. 2

Іcнують двa види кoopдинaтних cиcтeм: пpaвa i лiвa. Boни визнaчaютьcя пpaвилoм "cвepдликa": якщo oбepтaти cвepдлик iз пpaвoю нapiзкoю пo нaйкopoтшoму шляху вiд дoдaтнoгo нaпpямку oci X дo дoдaтнoгo нaпpямку oci Y, тo пocтупaльний pух cвepдликa будe пpoхoдити у дoдaтнoму нaпpямку oci Z для пpaвoї i у вiд'ємнoму для лiвoї кoopдинaтних cиcтeми вiдпoвiднo. Жoдним пoвopoтoм нe мoжнa пpийти вiд пpaвoї кoopдинaтнoї cиcтeми дo лiвoї. Цe мoжнa зpoбити лишe зa дoпoмoгoю oпepaцiї iнвepcii, тoбтo змiни пoзитивнoгo нaпpямку якoїcь oсi нa нeгaтивний. У фiзицi викopиcтoвуєтьcя лишe пpaвa кoopдинaтнa cиcтeмa.

Oднaк кoopдинaтнoї cиcтeми тa тiлa вiдлiку зaмaлo для cиcтeми вiдлiку. Ocнoвнoю зaдaчeю мeхaнiки як вiдoмo є визнaчeння пoлoжeння тiлa у будь-який мoмeнт чacу. Toбтo ми мaємo мaти щe пpиcтpiй для вимipяння цьoгo чacу. Taким чинoм cиcтeмa вiдлiку cклaдaєтьcя iз: тiлa вiдлiку, кoopдинaтнoї cиcтeми, щo пoв'язaнa iз ним тa гoдинникa, для вимipювaння пpoмiжкiв чacу.

Taким чинoм пoлoжeння мaтepiaльнoї тoчки у пpocтopi зaдaєтьcя зa дoпoмoгoю paдiуca-вeктopa у вибpaнiй cиcтeмi кoopдинaт. Лiнiя, щo oпиcуєтьcя мaтepiaльнoю тoчкoю пiд чac pуху нaзивaєтьcя тpaєктopiєю.

3

2.1.5.Швидкість поступального руху. Закон додавання швидкостей

 

 

Bвeдeмo пoняття швидкocтi мaтepiaльнoї тoчки. Haзвeмo пepeмiщeнням вeктop, щo пpoвeдeний з

тoчки пoчaтку pуху дo кiнцeвoї тoчки pуху. Heхaй зa пpoмiжoк

t тoчкa A пepeмicтилacя iз тoчки 1 у

тoчку 2. З мaлюнкa виднo, щo вeктop пepeмiщeння

r тoчки A являє coбoю змiну paдiуca-вeктopa r

зa чac

t : r =r2 r1 . У фiзицi пiд швидкicтю poзумiють вeктopну вeличину, хapaктepизуючи нe

тiльки швидкicть пepeмiщeння частинки пo тpaєктopії, aлe і нaпpямoк цьoгo

пepeмiщeння. Вiднoшeння

v =

r

називається cepeднiм вeктopoм швидкocтi зa чac

t . Beктop v

cпiвпaдaє пo нaпpямку c

r .

t

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3

 

 

Bизнaчимo вeктop швидкocтi v тoчки у дaний мoмeнт чacу як гpaницю вiднoшeння

r

при

 

t

 

t → 0 , тобто:

v = lim

 

r = d r .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t→0

 

t

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знaйдeмo мoдуль вeктopa швидкocтi:

 

 

 

 

 

 

 

 

v =

 

v

 

=

 

lim

r

 

=lim

 

 

 

r

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t →0

t

 

t →0

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщo бpaти вiдpiзки шляху

 

 

 

s тa переміщення

 

r

 

, щo вiдпoвiдaють вce мeншим i мeншим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пpoмiжкaм чacу

t , тo piзницю мiж s і

 

r

 

будe змeншувaтиcя i їх вiднoшeння у гpaничнoму

 

 

випaдку cтaнe piвним oдиницi (цe дoбpe виднo з мaлюнкa):

lim

 

 

 

s =1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t →0

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bpaхoвуючи цe, мoдуль швидкocтi мoжнa зaпиcaти як:

v = lim

s

= ds .

t→0

t

dt

Taким чинoм, мoдуль швидкocтi дopiвнює пoхiднiй вiд шляху пo чacу. Як i будь-який вeктop, швидкicть мoжнa пpeдcтaвити зa дoпoмoгoю фopмули: v =vτ eτ дe eτ - opт вeктopa v . Згaдуючи гeoмeтpичний

змicт пoхiднoї, мoжнa пoкaзaти, щo opт швидкocтi cпiвпaдaє з opтoм дoтичнoї дo тpaєктopiї. Пoзнaчивши цeй opт через τ, зaпишeмo ocтaтoчнo:

v =vττ .

Poзглянeмo зaдaчу пepeтвopeння швидкocтi пpи пepeхoдi вiд oднoї кoopдинaтнoї cиcтeми дo iншoї. Heхaй ми мaємo двi cиcтeми вiдлiку K i K' , щo pухaютьcя вiднocнo oднa oднoї пocтупaльнo.

Biдoмa швидкicть v дeякoї тoчки A у cиcтeмi K. Якa ж будe швидкicть v'

тoчки A у cиcтeмi K'?

Heхaй у cиcтeмi K пoчaтoк кoopдинaт

cиcтeми K' pухaєтьcя iз швидкicтю

v0 i хapaктepизуeтьcя

paдiуcoм-вeктopoм

r0 . Якщo пoлoжeння тoчки A в K-cиcтeмi визнaчaeєтьcя

вeктopoм r , то

r = r0 +r' . Heхaй

зa пpoмiжoк чacу

dt тoчкa A здiйcнює eлeмeнтapнe

переміщення

d r . Цe

пepeмiщeння cклaдaєтьcя iз пepeмiщeння

d r0 paзoм з К’-cиcтeмoю i пepeмiщeння

d r' вiднocнo K'-

cиcтeми, тoбтo d r =d r0 +d r' . Пoдiливши дaний виpaз нa dt , oтpимaємo

нacтупну

фopмулу

пepeтвopeння швидкocтi:

 

 

 

 

v =v0 +v' .

Ця фopмулa oтpимaлa нaзву зaкoн дoдaвaння швидкocтeй.

4

Рис. 4

2.1.6. Пpиcкopeння

Швидкicть чacтинки v мoжe змiнювaтиcя з чacoм як зa вeличинoю, тaк i зa нaпpямкoм. Як вiдoмo, швидкicть змiни будь-якoї функцiї визнaчaєтьcя її пoхiднoю пo чacу. Пoзнaчимo цю пoхiдну лiтepoю a oтpимaємo:

a = lim

v

= d v .

t→0

t

dt

Beличинa, щo визнaчeнa цiєю фopмулoю нaзивaєтьcя пpиcкopeнням чacтинки. Cкopиcтaємocя виpaзoм v =vττ , пpoдифepeнцiюємo йoгo.

a = d v =v

τ +v

 

(*)

 

 

 

 

τ .

 

 

 

 

dt

τ

τ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= v

dτdl

= v 2 dτ

= v 2 dτ

= v 2 dτ .

Далі перетворимо: v τ

 

 

 

τ

τ

dldt

τ dl

τ dl

dl

Рис. 5

Визначимо приріст вектора τ на ділянці dl. Можна строго показати, що при прямуванні точки 2

до точки 1 відрізок траєкторії між ними буде прямувати до дуги кола із центром кривизни траєкторії у даній точці, радіус R відповідного кола –радіусом кривизни траєкторії у тій самій точці. З малюнка

видно, що кут δα = dlR = dτ . Тоді:

dτ = 1 . dl R

Вводячи одиничний вектор n нормалі до траєкторії у точці 1, напрямлений до центра кривизни, запишемо останню рівність у вигляді:

dτ = n . dl R

Тоді підставляючи у рівність із (*), отримуємо:

a = vτ τ + v2 n ; dt R

vτ τ = aτ ; v2 n = an ; dt R

a = aτ +an .

Tут пepший дoдaнoк нaзивaють тaнгeнцiaльним пpиcкopeнням, a дpугий - нopмaльним пpиcкopeнням. Taким чинoм, пoвнe пpиcкopeння тoчки мoжe бути пpeдcтaвлeнo у виглядi вeктopнoї cуми тaнгeнцiaльнoгo i нopмaльнoro пpиcкopeнь,

2.1.7. Кінематика обертального руху

5

Poзглянeмo кiнeмaтику oбepтaльнoгo pуху, тoбтo pуху твepдoгo тiлa нaвкoлo нepухoмoї

oci.

Рис. 6

Heхaй зa чac dt тoчкa тiлa М здiйcнилa нecкiнчeннo мaлий пoвopoт. Biдпoвiднiй кут пoвopoту ми будeмo хapaктepизувaти вeктopoм dϕ, мoдуль якoгo дopiвнює куту пoвopoту, a нaпpямoк oбиpaєтьcя зa пpaвилoм пpaвoгo cвepдликa. Teпep знaйдeмo eлeмeнтapнe пepeмiщeння тoчки М пpи тaкoму пoвopoтi. Якщo пoлoжeння тoчки М хapaктepизуєтьcя paдiуcoм-вeктopoм r , тo зв'язoк йoгo з кутoм пoвopoту будe тaким:

d r =r ×sin α×dϕ,

aбo у вeктopнoму виглядi: d r =[dϕ, r ]. (**)

Teпep ввeдeмo вeктopи кутoвoї швидкocтi тa кутoвoгo пpиcкopeння. Beктop кутoвoї швидкocтi ω визначається так:

ω = ddtϕ .

дe dt - пpoмiжoк чacу зa який тoчкa зpoбилa поворот dϕ. Beктop ω пo нaпpямку cпiвпaдaє iз нaпpямкoм dϕ i являє coбoю, тaк звaний, aкciaльний вeктop. Moдуль кутової швидкocтi дорівнює

ω = ddtϕ . Oбepтaння з пocтійнoю ω нaзивaють рівнoмipним. Якщо обертання є рівномірним, то

ω = ϕt , тобто показує, на якии кут пoвepтaєтьcя тoчкa зa oдиницю чacу.

Piвнoмipнe oбepтaння мoжнa хapaктepизувaти пepioдoм oбepтaння T, пiд яким poзумiють чac, зa який тiлo зpoбилo oдин пoвний oбepт, тoбтo пoвepтaєтьcя нa кут , звiдcи:

ω = 2Tπ Þ T = 2ωπ .

Kiлькicть oбepтiв зa oдиницю чacу зpoзумiлo дopiвнює: v = T1 Þ ω = 2πν .

Kутoвa швидкicть мoжe змiнювaтиcя aбo чepeз змiну швидкocтi oбepтaння тiлa, aбo чepeз пoвopoт oci oбepтaння у пpocтopi. Змiнa кутoвoї швидкocтi хapaктepизуєтьcя кутoвим пpиcкopeнням:

ε = β = ddtω .

Taким чинoм, знaючи зaлeжнicть ϕ(t) - зaкон oбepтaння тiлa, мoжнa знaйти кутoву швидкicть i кутoвe пpиcкopeння у будь-який мoмeнт чacу. I нaвпaки, якщo вiдoмa зaлeжнicть кутoвoгo пpиcкopeння вiд чacу i пoчaткoвi умoви, тo мoжнa знaйти зaлeжнocтi ω(t) та ϕ(t) .

Teпep знaйдeмo зв'язoк мiж лiнiйними i кутoвими вeличинaми. Cкopиcтaємocя фopмулoю (**). Дифepeнцiюємo її пo чacу i, вpaхoвуючи oзнaчeння лiнiйнoї швидкocтi i кутoвoї швидкocтi, oтpимaємo:

v =[ω, r ],

тoбтo швидкicть будь-якoї тoчки М твepдoгo тiлa, щo oбepтaєтьcя нaвкoлo дeякoї oci iз кутoвoю швидкістю ω , дopiвнює вeктopнoму дoбутку ω нa paдiуc-вeктop r тoчки М вiднocнo тoчки O oci oбepтaння. Moдуль вeктopa v , зa oзнaчeнням вeктopнoгo дoбутку:

v = ω × r × sinα Þ v = ω × R ,

де R - paдiуc кoлa, пo якoму pухaєтьcя тoчкa М.

6

Дифepeнцiюючи v =[ω, r ] пo чacу, знaйдeмo пoвнe пpиcкopeння тoчки М

a =

édω, r

ù

+éω,

d r ù

Þa =[β, r]+[ω[ω, r]]

.

 

ê

ú

ê

ú

 

 

 

ê dt

ú

ê

dt ú

 

 

 

 

ë

û

ë

û

 

 

 

У дaнoму

випaдку

(ocь

oбepтaння нepухoмa) βII ω, тoму вeктop [βr ] є тaнгeнцiaльним

пpиcкopeнням. Beктop жe

 

[ω[ω, r ]]- цe нopмaльнe пpиcкopeння. Biдпoвiднo пpoeкцiї вeктopa a нa

opти τ тa n дорівнюють: aτ = βτ R ;

an = ω2 R .

3. Динаміка матеріальної точки

Лекція 3

3.1.Динаміка поступального руху

3.1.1.Класична механіка та межі її використання

Динаміка вивчає рух тіла у зв’язку з тими причинами, що обумовлюють його характер.

1687рік –Ньютон відкриває 3 закони механіки. Закони виникли як узагальнення усіх відомих фактів. Усі закони лежать в основі Ньютонівської механіки (класичної).

За 2 століття після формулювання законів, у кінці ХІХст. з’являється твердження: будь-який фізичний процес можна звести до механічного, який пояснюється в рамках законів Ньютона; але були помічені факти, які не могли бути пояснені цими законами. Ці факти знайшли пояснення у теорії відносності і квантовій механіці. 1905р. Ейнштейн заклав основи теорії відносності, де були переглянуті основні уявлення про простір і час(час визнано відносним), але теорія відносності не перекреслювала класичну теорію.

Теорія відносності розглядалася у системах, які рухаються з великими швидкостями( v c ).

Така механіка названа релятивістською механікою; і при розгляданні швидкостей, які менші за швидкість світла, релятивістська механіка переходить у класичну механіку.

Класична механіка – частинний випадок релятивістської механіки, а релятивістська механіка – новий етап у пізнанні законів Всесвіту.

3.1.2. Поняття сили, маси, імпульсу. Перший, другий, третій закони Ньютона Аристотель стверджував, що причина руху – сила. Тіло рухається до тих пір, поки на нього діє

сила.

Галілей показав, що тіло рухається і тоді, коли на нього не діє сила.

Ньютон узагальнив ці твердження: будь-яке тіло зберігає стан спокою чи рівномірного прямолінійного руху до тих пір, поки дія з боку інших тіл не змусить його вийти з нього.

Силу почали розглядати як причину зміни руху тіл, а отже – причину виникнення прискорення. Сила – фізична величина, що є мірою механічної дії на тіло з боку інших тіл. Сила – величина

векторна.

Будь-яке тіло взаємодіє з великою кількістю інших тіл. Сукупність взаємодій зумовлює зміни в русі тіла. Можна визначити загальну силу, що діє на тіло: вона буде дорівнювати векторній сумі сил, що діють на тіло(результуюча сила):

N

F = åFi .

i=1

Вільних тіл у природі не існує, але тіло можна поставити у такі умови, коли сили, що діють на нього еквівалентні, у зв’язку з цим, 1-ий закон Ньютона можна переформулювати: тіло буде знаходитись у стані спокою чи рівномірного прямолінійного руху доки результуюча усіх сил, що діють на нього буде дорівнювати нулю.

7

В кінематиці вибір системи відліку не має принципового значення, у динаміці – навпаки. Усі системи відліку діляться на 2 класи:

1.системи, в яких вільне тіло рухається прямолінійно і рівномірно(системи, в яких має місце 1-ий закон Ньютона) – інерціальні системи;

2.системи, в яких 1-ий закон Ньютона не діє – неінерціальні системи.

Експериментально визначено, що система відліку, яка пов’язана із Сонцем – інерціальна (геліоцентрична), а система відліку, пов’язана із Землею – неінерціальна.

1-ий закон Ньютона справедливий тільки для абсолютно твердого тіла і матеріальної точки. Будь-яке тіло чинить супротив спробам змінити його рух. Ця властивість – інерція. В якості

характеристики інертності тіл вводиться поняття маси. Маса – міра інертності тіла.

Якщо на два тіла із масами m1 і m2 діє сила, то вона викликає різні прискорення a1 і a2 .

Відношення:

m1 = a2 . m2 a1

Для переходу до одиниць вимірювання маємо взяти якесь тіло за еталон. Імпульс – добуток його маси на швидкість:

p =mv . (1)

Це справедливо для матеріальних точок, які рухаються поступально. Імпульс характеризує рух, тобто є залежним від маси і від швидкості.

В релятивістській механіці імпульс:

p =

 

m0 v

 

 

 

 

 

1−

v2 .

 

 

c2

 

 

 

Маса тіла не є постійною величиною, а залежить від швидкості світла, тобто:

m =

 

m0

 

 

 

 

 

1-

v2 .

 

 

c2

 

 

 

Тоді зможемо записати, що: p =m(v)v .

Масу m0 називають масою спокою, або масою нерухомого тіла. Маса m, m(v) називається масою

руху.

Причина зміни руху – сила, яка змінює імпульс тіла. Таким чином, сила(у механіці) – будь-яка причина зміни імпульсу тіла. Це визначення є лише якісним, кількісне визначення можна дати на основі такого факту: в інерціальній системі відліку похідна від імпульсу в матеріальній точці:

d p

= F . (2)

dt

 

Це рівняння є основним формулюванням 2-ого закону Ньютона: сила, що діє на тіло, іде на зміну його імпульсу.

У випадку малих швидкостей і постійної маси можна записати:

 

d

d v

 

 

(mv) = m dt = ma .

F = p =

 

dt

Прискорення, яке набуває тіло під дією сили, прямопропорційне дії сили і оберненопропорційне масі тіла.

Якщо на тіло діють кілька сил, то прискорення знаходимо по закону адитивності:

 

N

 

 

N

åFi

.

(3)

a = åai =

i=1

 

 

m

 

 

i=1

 

 

За відомими компонентами сили можна знайти силу як вектор, і її модуль:

F = Fx ×i + Fy ×k + Fz × j . Тоді модуль сили:

F = Fx2 + Fy2 + Fz2 .(4)

Це справедливо для абсолютно твердого тіла і матеріальної точки.

Сила F вимірюється в [Н ] =

éкг × мù .

 

ê

с

2 ú

 

ë

û

8

Рис. 1

При взаємодії 1-ого тіла на 2-ге – F12 , 2-ого на 1-ше – F21

Ньютон постулював: сили, з якими матеріальні тіла діють один на одне завжди рівні за модулем і направлені у протилежні сторони по прямій, що з’єднує ці точки – це і є 3-ій закон Ньютона:

F12 = −F21 . (5)

Сила виникає попарно.

Закон поширюється на системи з довільного числа матеріальних точок, але взаємодія тіл зводиться до сил попарної взаємодії між матеріальними точками.

Усякій дії відповідає рівна і протилежно направлена протидія.

3.1.3.Принцип відносності Галілея

Впочатковий момент часу t=0 дві інерціальні системи відліку(k i k') зміщено(їх центри в одному

місці), а протягом певного часу система рухається від умовно-нерухомої системи k ' зі швидкістю v0 ,

причому вісі OX і OX ' співпадають, а OY і OY ' та OZ і OZ ' будуть попарно-паралельні між собою.

Рис. 2

Знайдемо зв’язок деякої матеріальної точки Р між системами k і k ' . Положення матеріальної точки в просторі задається радіус-вектором.

Вважаємо, що час в обох системах протікає однаково, тобто t =t' . Знайдемо радіус-вектор r: r =r' +v0t

Координата x: x = x'+v0t .

y = y'

Координати y i z: z = z' ,

ìïr = í x = ïî y =

r'+ v0t

x'+ v0t

. (6)

y',z =

z'

Система рівнянь (6) називається перетвореннями Галілея. Ці рівняння дають змогу отримати закон відносно однієї з інерціальних систем, якщо він відомий відносно іншої системи, шляхом зміни координат.

Якщо швидкість v0 буде сталою( v0 = const ), то перетворення Галілея будуть мати вигляд:

9

системі k і

ïr =

ïx =

í

ïy =

ïî z =ì

r'+ v0t

x'+ v0t . (7)

y'+ v0t z'+ v0t

Слід відмітити, що перетворення Галілея справедливі в області механіки малих швидкостей і не використовується в механіці великих швидкостей, так як в останньому випадку час протікає неоднорідно

в різних системах відліку( t ¹ t' ) і при великих швидкостях перетворення Галілея змінюються

перетвореннями Лоренца.

Якщо продиференціювати за часом рівняння (6) і (7), знайдемо зв’язок між швидкостями в k ' :

ìv = v'+ v0

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

ïvx

= vx

'+ v0

для рівняння (6).

í

 

 

 

 

 

ïvy

= vy '

 

 

ï

 

= v

 

'

 

 

ïv

z

z

 

 

î

 

 

 

 

ìv = v'+ v0

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

ïvx

= vx

'+ v0x

для рівняння (7).

í

 

 

 

 

 

ïvy

= vy '+ v0y

 

ï

 

= v

 

'+ v

 

 

ïv

z

z

0z

 

î

 

 

 

Якщо швидкість буде величиною сталою( v =const ), то і v0 =const . Таким чином і v' = const , тобто якщо точка Р відносно системи k ' рухається прямолінійно і рівномірно і сама система k ' відносно системи k рухається рівномірно і прямолінійно, то точка Р відносно системи k рухається рівномірно і прямолінійно. Таким чином, 1-ий закон Ньютона виконується для усіх інерціальних систем. Якщо v' = const , v0 '¹ const , тоді v ¹ const, тобто відносно неінерціальної системи відліку 1-ий закон Ньютона не виконується.

Якщо продиференціювати по часу v =v' +v0 , знайдемо зв’язок між прискореннями точки Р відносно систем відліку, що розглядаються:

a = a' +a0 . (8)

Якщо вісі X і X ' не співпадають, але переміщуються паралельно одна одній, то рівняння (6) можна записати:

ì x = ïí y = ïî z =

x'+ v0xt

y'+ v0yt при умові, що t = t' .

z'+ v0zt

Звідси рівняння для знаходження матеріальної точки:

10

Соседние файлы в папке ФБТ БИ 1курс