9

Лекция № 9

План:

1).Теорема об ускорении точек твердого тела при плоскопараллельном движении.

2).Мгновенный центр ускорений.

3).Основные способы вычисления углового ускорения при плоскопараллельном движении.

4).Сложное движение точки.

5).Теорема о сложении скоростей.

6).Теорема о сложении ускорений (т.Кориолиса). Модуль и направление поворотного ускорения.

1. Теорема об ускорении точек твердого тела при плоскопараллельном движении.

Теорема: Ускорение точки плоской фигуры равно сумме ускорения полюса и ускорения данной точки во вращательном движении вокруг полюса.

Доказательство:

Дано: . Ускорение точки В в её сложном движении:

где относительное движение-вращение вокруг полюса А.

Переносное движение – поступательное вместе с полюсом,

2) Мгновенный центр ускорений.

Мгновенным центром ускорений (МЦУ) называется точка Q плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю: a_Q=0. Если выбрать в качестве полюса МЦУ , то теорема о сложении ускорений дает

Ускорение точек плоской фигуры- это их ускорения в относительном вращении фигуры вокруг мгновенного центра ускорений.

Согласно формуле, получим для модуля ускорения точки плоской фигуры соотношение:

-ускорения точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от этих точек до МЦУ, а коэффициентом пропорциональности является .

В каждый момент времени имеет место распределение ускорений точек плоской фигуры, показанное на рисунке, где угол определяется по формуле:

В частных случаях получаем:

1. Если , а , то угол , т.е ускорения всех точек направлены к мгновенному центру ускорений. (рис.а)

2. Если , а , то угол ,и ускорения всех точек перпендикулярны направлениям на МЦУ. (рис.б)

3.Если и ,то мгновенный центр ускорения находится в бесконечности, а ускорения всех точек векторно равны (мгновенно поступательное движение). (рис.в)

2. Основные способы вычисления углового ускорения при плоскопараллельном движении.

Рассмотрим теперь различные случаи определения положения МЦУ.

1. Если известно ускорение какой либо точки a_M, а также угловая скорость и угловое ускорение плоской фигуры (рис.а), то для нахождения МЦУ необходимо сделать следующее:

а) вычислить угол ; б) построить луч, повернув вектор a_M на угол по направлению углового ускорения; в) отложить на луче отрезок .

Легко убедиться, что получившаяся точка Q и есть МЦУ, поскольку

2. Если известны ускорения двух точек и , и они не лежат на параллельных прямых (рис.б), то для нахождения МЦУ необходимо сделать следующее: а) построить вектор , он покажет направление углового ускорения; б) определить угол как угол между вектором и отрезком AB; в) построить лучи, повернув векторы и на угол по направлению углового ускорения. На пересечении лучей и находится МЦУ.

3. Если известны ускорения двух точек и , и они лежат на параллельных прямых, то может быть несколько случаев определения положения МЦУ. МЦУ находится на пересечении линий, проходящих через начала и концы векторов ускорений.

4. Если известны ускорения двух точек и , и они лежат на одной прямой (это может быть при =0 и, соответственно, при =0), то возможные случаи определения положения МЦУ представлены на рисунке. МЦУ находится на пересечении данной линии с линией, проходящей через концы векторов ускорений, повернутых на угол 90⁰.

Отметим, что эти случаи соответствуют мгновенному поступательному движению. При этом и , МЦУ находится в бесконечности, а ускорения всех точек векторно равны.

Следует понимать, что МЦУ и МЦС – это различные точки плоской фигуры(они совпадают лишь при вращательном движении). Например, МЦС катящегося без скольжения колеса находится в точке касания с поверхностью. Если колесо катится равномерно по прямолинейному пути, то центр колеса движется равномерно и прямолинейно, т.е. МЦУ находится в центре колеса.

4) Сложное движение точки.

Сложным - называется такое движение точки (тела), которое рассматривается одновременно в разных системах отсчета.

Например: пассажир, перемещается в вагоне движущегося поезда, человек перемещающийся по лестнице движущегося эскалатора.

При описании сложного движения точки одну из систем отсчета считают неподвижной (её называют основной), другая же рассматривается как подвижная .

О,X^/,Y^/,Z^/-основная система координат.

O,X,Y,Z- подвижная система координат.

(.) М- движущаяся точка.

В таком случае сразу можно рассматривать три движения: абсолютное, относительное, переносное.

А) Абсолютное движение - называется движение точки по отношению к основной системе отсчета. Соответственно скорость и ускорение точки по отношению к основной система отсчета называется абсолютным ускорением

Относительным движением - называется движение точки по отношению к подвижной системе отсчета. Соответственно скорость и ускорение точки по отношению к подвижной системе отсчета называется относительной скоростью и относительным ускорением (r от латинского relativus- относительный). Положение точки М относительно неподвижной системы отсчета определяется радиус вектором проведенным в точке М из О₁.Изменение радиус-вектора характеризует движение точки:

Б) Движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета называется переносным движением. Движущаяся точка в разные моменты времени занимает различное положение в подвижной системе отсчета, т.е. совпадает с различными ее точками.

Переносной скоростью и переносным ускорением называют скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчета , с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка.

Пример: человек идет по вращающейся с некоторой угловой скоростьюW круглой горизонтальной платформе, двигаясь все время по определенному ее радиусу от центра платформы. Система отсчета связанная с Землей – неподвижная. Система отсчета связанная с платформой - подвижная.

Тогда движение человека относительно платформы является относительным, движение человека относительно Земли абсолютным, движение платформы переносным. человека направлена по радиусу.

перпендикулярно радиусу платформы.

5.Теорема о сложении скоростей.

При сложном движении точки абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скорости.

Доказательство: Пусть o₁, x₁, y₁, z₁ – неподвижная система отсчета; o, x, y, z – подвижная система отсчета.x, y, z- координаты движущейся точки М в подвижной системе отсчета; r, r₀-радиус-векторы точек М и О в неподвижной системе отсчета; ρ - радиус-вектор точки М в подвижной системе отсчета.

из рисунка

i,j,k-орты подвижной системы

перейдем к записи для выражения скоростей:

6) Теорема о сложении ускорений (т.Кориолиса)

Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного переносного и Кориолисово ускорение.

Получим теперь выражение для ускорения движущейся точки.

1)

2)

3)

Сравнивая три формулы мы видим, что в выражении для абсолютного ускорения кроме переносного и относительного входит ещё одна группа слагаемых, которая называется кориолисовым ускорением.

т.е.

Справка: Густав Кориолис (1792-1843) французский механик, описывающий сложное движение точки. Основные его работы, относятся к аналитической механике и динамике машин. Ввел коэффициент ½ в кинетическую энергию.

7)Модуль и направление поворотного ускорения.

Чтобы получить более удобное выражение для кориолисова ускорения воспользуемся формулой Пуассона.

Учитывая, что угловая скорость переносного движения .

Тогда

Кориолисова ускорение равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки.

Модуль кориолиосова ускорения:

Из формулы следует, что кориолисово ускорение может быть равно нулю в трёх случаях.

1. Когда угловая скорость переносного движения равно W_e,т.е. когда переносное движение является поступательным.

2. Когда относительная скорость точки равно U_r,т.е. когда отсутствует относительное движение.

3. Когда векторы W_e ,W_r параллельны друг другу ,т.е. когда точка движется вдоль оси вращения.

Направления кориолисова ускорения. Правило Жуковского:

Для того, чтобы найти направления кориолисова ускорения, следует спраекцировать вектор относительно скорости на плоскость, перпендикулярно оси вращения, и затем повернуть эту проекцию на 90 градусов по ходу вращения.

Физический смысл a_k (кориолисова ускорения)

1. изменение переносной скорости из-за относительного перемещения точки.

2. Изменение относительной скорости из-за переносного движения подвижной системы отсчета.

Справка: Николай Егорович Жуковский(1847-1921) русский механик, математик «отец русской авиации», основные работы в области аэродинамики, гидродинамики, теория дифференциальных уравнений.

9