Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

17

.doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
18.04.2018
Размер:
176.13 Кб
Скачать

Лекция 17.

Тема: Основы колебаний, основы удара.

  1. Теория удара

  2. Явление удара

  3. Действие ударной силы на материальную точку.

  4. Удар тела о неподвижную поверхность. Коэффициент восстановления, при ударе.

  5. Прямой центральный удар двух тел.

1. Теория удара.

1.Теорема об изменении количества движения при ударе.

Изменение количества движения механической системы за время удара равно сумме внешних ударных импульсов .

Следствие: если на механическую систему при ударе действуют только внутренние ударные силы, то количество движения этой системы в процессе удара сохраняется

2.Теорема об изменении кинетического момента при ударе.

Изменение кинетического момента механической системы относительно некоторого центра или оси равно сумме моментов внешних ударных импульсов относительно того же центра или оси.

или в проекциях

Доказательство:

- скорость до удара,

- скорость после удара.

Тогда , Sk – ударный импульс k–й точки.

Домножим на соответствующие радиус-векторы и просуммируем

В левой части получились кинетические моменты системы относительно точки О: до удара

и после удара

В правой части, разделяя ударные импульсы на внешние и внутренние и используя теорему Вариньона получим:

проинтегрируем это равенство за и с учетом постоянства векторов

или

Следствие: если на механическую систему при ударе действуют только внутренние ударные силы, то кинетический момент системы относительно любого центра сохраняется.

  1. Явление удара

Явление удара активно используется в строительстве и технике.

Ударом называется механическое взаимодействие материальных тел, приводящее к значительным изменениям скоростей их точек за очень малый промежуток времени, называемый временем удара.

Например: удар молота по наковальне, удар мяча о стену, где время удара составляет доли секунды, но происходит значительное изменение скоростей мяча и молота.

В элементарной теории удара время удара считается бесконечно малым, т.е. происходит мгновенное (скачкообразное) изменение скоростей.

Перемещение точек системы также бесконечно малое. Таким образом, точки системы в процессе удара не перемещаются.

Необходимо различать два процесса:

соударение, происходящее мгновенно, и дальнейшее погружение гвоздя (вместе с молотом), не относящееся к самому удару.

В процессе удара у точек системы, имеются бесконечно большие ускорения, т.е. на них действуют бесконечно большие силы.

Но при ударе могут быть такие силы, что приводят к разрушению.

График реальной силы при ударе - время удара, Fmax- максимальная ударная сила в идеализированной модели .

Бесконечно большие силы, действующие в местах соударения тел, называют ударными. А те силы, которые в процессе удара остаются конечными (силы тяжести) называются неударными.

Описание явления удара построено на основе соответствующих теорем в интегральной форме. В частности теоремы об изменении количества движения.

(1)

Для одной точки, получившей удар, теорема имеет вид

где S – импульс равнодействующий всех сил, приложенных к точке за время удара .

модуль которого геометрически представляется площадью подграфика рис 1.

а) если сила в процессе удара конечная (неударная), а время мало, то импульс силы будет бесконечно малым.

б) если сила будет бесконечно большой (ударной), тогда несмотря на то, что время мало, импульс силы будет величиной конечной.

Таким образом, сделаем вывод о том, что при ударе неударные силы можно вообще не учитывать.

Изменение скоростей будет определяться только импульсами ударных сил:

(ударный импульс)

4.Удар тела о неподвижную поверхность. Коэффициент восстановления, при ударе.

Удар на примере удара падающего шарика о неподвижную горизонтальную поверхность.

Он состоит из 2х фаз:

а) фаза деформации – на этой фазе происходит деформация шарика и его торможение поверхностью, а величина скорости уменьшается до нуля.

б) фаза восстановления. На этой фазе происходит восстановление формы шарика, а величина увеличивается от 0 до некоторого значения: .

Отношение модуля скорости шарика после удара к модулю её до удара называется коэффициентом восстановления при ударе: , где .

Если воспользуемся соотношением то за первую фазу , а за вторую - . Тогда ,

k зависит от материалов взаимодействующих тел, и от величин скоростей:

из дерева

из стали

из стекла .

Удар называется абсолютно упругим, если k=1, и неупругим, если k=0 удар с коэффициентом 0<k<1 называется не вполне упругим.

Экспериментальное определение коэффициента восстановления.

Для определения k используем простой опыт. С высоты Н над горизонтальной массивной плитой из испытуемого материала представляющей преграду опустим без начальной скорости шарик и заметим высоту h на которую отскочит шарик, если пренебречь сопротивлением воздуха, то скорость падения и отражения шарика:

5.Прямой центральный удар двух тел.

Рассмотрим подробно часто встречающийся на практике случай соударения двух тел. При этом удар будем считать прямым, т. е. полагать, что скорости центров масс тел до удара были направлены по прямой, проходящей через эти центры. Будем считать удар также и центральным, полагая, что и ударные импульсы направлены по этой прямой. (рис. 190).

Тогда и после удара скорости центров масс тел будут направлены по этой же прямой. В этом случае, если до удара тела двигались поступательно, то и после удара они будут двигаться поступательно, и, следовательно, их можно рассматривать как материальные точки.

Рассмотрим абсолютно неупругое соударение тел, помня о том, что для не вполне упругого удара это будет лишь первая фаза.

Абсолютно неупругий удар. Поскольку в системе, состоящей из рассматриваемых двух тел, будут действовать только внутренние ударные силы, то, согласно следствию из теоремы об изменении количества движения, количество движения системы при ударе сохраняется: Q = Q0.

Модуль количества движения системы до удара . После абсолютно неупругого удара тела будут двигаться вместе, с некоторой общей скоростью и, и модуль количества движения будет Q=(m1+m2)u.

Таким образом: , откуда

Заменяя и , получаем

т. е.<u<

Модуль импульса ударной силы за время удара примет вид

Таким образом, ударный импульс зависит только от относительной скорости тел , а не от величин самих скоростей. Это же справедливо, как нетрудно увидеть, и для потерянной при ударе кинетической энергии.

Поэтому для упрощения последующих записей перейдем от исходной системы отсчета к другой инерциальной системе отсчета, движущейся со скоростью относительно исходной. Все инерциальные системы отсчета, как известно, равноправны, и физические процессы в них описываются одинаково. В частности, величина потерянной кинетической энергии (превратившейся в тепло и необратимые деформации), конечно, не зависит от выбора системы отсчета.

В новой системе отсчета второе тело до удара является неподвижным ( = 0), а скорость первого тела равна относительной скорости . Тогда скорость после удара

а ударный импульс

.

Определим потерю кинетической энергии при ударе. Кинетическая энергия до удара , а после удара . Потеря кинетической энергии при ударе получается в виде

ИЛИ

Отсюда

— это та доля имевшейся в системе кинетической энергии, которая в процессе удара была потеряна.

Не вполне упругий удар. Рассмотрим теперь удар с произвольным коэффициентом восстановления k, для которого исследованный выше абсолютно неупругий удар является лишь первой фазой. Перейдем к описанию второй фазы — фазы восстановления.

Ударный импульс второй фазы определен импульсом первой фазы и коэффициентом восстановления: S2 = kS1. Используя соотношение (5.7), получаем

.

Теперь из уравнений и находим скорости после удара:

Тогда кинетическая энергия, потерянная за обе фазы удара,

,

приводится к виду

Рассмотрим кинетическую энергию потерянных скоростей:

После подстановки выражений для u1 и u2 и с учетом последняя формула принимает вид

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика