Добавил:
galan11@mail.ru +7 937 1848437 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Основы Теории погрешностей

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
24.04.2018
Размер:
648.63 Кб
Скачать

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Горожанкин Алексей Анатольевич

(псевдоним – Галан)

«Основы Теории погрешностей»

Аннотация

Введены понятия и рассмотрены три метода округления чисел: L-округление, C-округление и R-округление,

Разработаны формулы определения погрешности, точности и отклонения при умножении, делении, сложении и вычитании, большинство из которых представлено впервые,

Впервые сформулирован и кратко рассмотрен закон сложения погрешностей,

Впервые выведен закон равновесия погрешностей и точностей при умножении и делении, а также закон равновесия погрешностей и точностей с тильдой при сложении и вычитании, на основе которых сформулированы правила вычисления чисел при данных видах вычислений,

Впервые разработан универсальный способ оставления знаков у чисел при их вычислении,

Описана методика сравнения чисел с учетом погрешностной составляющей, в которой некоторые элементы представлены впервые.

1

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Существуют разные способы определения погрешностей и точностей. В данной статье речь пойдет в основном об относительной погрешности и точности чисел, т.е. о погрешности и точности вычислений (в дальнейшем

– просто погрешность и точность). Погрешность чисел возникает при их вычислении в результате того, что используется только часть знаков у чисел для удобства расчетов, неиспользуемая же часть и есть погрешность чисел. Погрешность бывает как одного отдельно взятого числа, так и определенного блока вычислений, представляющего собой совокупность вычислений нескольких чисел.

За абсолютную погрешность чисел принимают количественную характеристику неиспользуемой в расчетах части чисел, а сопоставив эту характеристику с исходным значением чисел, можно получить относительную погрешность и выразить ее в процентах. Наряду с погрешностью существует и другое, противоположное понятие – точность, в частности, точность чисел. В общем виде точность представляет собой ту часть числа, которая участвует в вычислении. Таким образом, за абсолютную точность чисел принимают количественную характеристику используемой в расчетах части чисел, а сопоставив эту характеристику с исходным значением чисел, можно получить относительную точность, также по необходимости выразив ее в процентах. Следует иметь ввиду, что в дальнейшем величина отдельно взятого числа будет обозначаться как X, а величина окончательного результата – как Z. При этом исходное значение числа будет условно име-

2

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

новаться как точное значение (X), используемая часть – как приближенное значение числа (Xпр), а неиспользуемая часть – как абсолютная погреш-

ность числа или его отклонение (x). Погрешность, точность и отклонение

можно называть числовыми характеристиками. На основе приведенных рассуждений вытекают общеизвестные определения числовых характеристик.

Погрешность числа (δx) – отношение отклонения к точному значению

числа.

δx

 

 

X Xпр

100%

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

Точность числа (Τx) – отношение приближенного к точному значению

числа.

Т

 

 

Xпр

100%

 

 

 

 

(2)

 

 

x

X

 

 

 

 

Отклонение числа (x) – разность точного и приближенного значения

числа.

x

 

X Xпр

(3),

 

 

3

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

где X – точное значение числа,

Xпр – приближенное значение числа.

Связь между погрешностью и точностью чисел выражается следующей зависимостью:

 

δx + Tx

 

 

1

(4)

 

 

 

 

 

В процентном виде

δx + Tx

 

 

100%

(5)

 

 

 

Как известно, все числа состоят из знаков, которые вместе со знаком дробности образуют величину числа. В данной статье речь пойдет в основном об использовании десятичной системы счисления, в которой величина знаков меняется от 0 до 9. Для удобства расчетов числа обычно сокращают до определенной величины. Сокращение может осуществляться двумя способами:

1.Сокращение по знакам,

2.Сокращение по погрешности или точности.

При сокращении чисел по знакам используются три метода округления:

1.L-округление,

2.R-округление,

3.C-округление.

4

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

L-округление (L – от англ. Left лево) – сокращение числа путем его уменьшения, т.е. округленное (приближенное) число на координатной прямой оказывается левее исходного (точного) числа.

R-округление (R – от англ. Right право) – сокращение числа путем его увеличения, т.е. округленное (приближенное) число на координатной прямой оказывается правее исходного (точного) числа.

C-округление (C – от англ. Center центр) – сокращение числа как пу-

тем его уменьшения, так и путем его увеличения, т.е. округленное (приближенное) число на координатной прямой оказывается то левее, то правее

исходного (точного) числа, в среднем стремясь к центру, иначе говоря, к исходному (точному) числу.

Примечание: в представленных определениях числа на координатной прямой взяты по модулю.

Основные правила округления чисел заключаются в следующем:

L-округление: при округлении числа до какого-нибудь знака все следующие за этим знаком цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают, причем последнюю оставшуюся цифру не изменяют (пример 1).

5

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Пример 1

Приближенное число

Xпр = 198

Возможные исходные

198.0 198.999…

числа (X)

 

Примечание: троеточие в конце числа означает, что оно сокращено для краткости записи, причем сокращенными знаками будут являться знаки, по величине равные последнему знаку перед троеточием (в данном примере остальными знаками будут девятки).

R-округление: при округлении числа до какого-нибудь знака все следующие за этим знаком цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают, причем последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу (пример 2).

Пример 2

Приближенное число

Xпр = 199

Возможные исходные

198.0 198.999…

числа (X)

 

C-округление: при округлении числа до какого-нибудь знака все следующие за этим знаком цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают; если первая следующая за этим знаком цифра больше или равна пяти, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на

6

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

единицу (округление в бóльшую сторону); если же первая следующая за этим знаком цифра меньше пяти, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют (округление в меньшую сторону). Данный вид округления рассмотрен в примере 3.

Пример 3

 

Приближенное число при округлении в

Xпр = 198

меньшую сторону

 

Возможные исходные числа при округле-

198.0 198.499…

нии в меньшую сторону (X)

 

Приближенное число при округлении в

Xпр = 199

большую сторону

 

Возможные исходные числа при округле-

198.5 198.999…

нии в большую сторону (X)

 

При вычислении чисел знания формул (1)÷(3) недостаточно. Необходимо знать формулы определения погрешностей и точностей при различных видах вычислений, например, умножении, делении, сложении, вычитании. Перечисленные виды вычислений всем хорошо известны, как известно и то, что умножение с делением, а также сложение с вычитанием сильно переплетаются между собой. Например, вычитание – это сложение положительного и отрицательного чисел. Но тем не менее в результате исследований было обнаружено, что не все так просто, как кажется на первый взгляд. Все дело в том, что погрешности и точности при использова-

7

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

нии этих видов вычислений ведут себя иногда по-разному, хотя сами фор-

мулы отличаются лишь знаком («» вместо «+»). Данное обстоятельство

вынудило среди перечисленных видов вычислений условно выделить

шесть, представленных в примере 4 (при использовании в расчете двух чи-

сел X1 и X2).

 

Пример 4

 

 

№ пп

Наименование

Вид вычисления чисел

1

Умножение

Z = X1

· X2

2

Деление

Z = X1

: X2

3

Вычитание прямое

Z = X1 – X2

4

Вычитание обратное

Z = – X1 + X2 = X2 – X1

5

Сложение положительных чисел

Z = X1 + X2

6

Сложение отрицательных чисел

Z = – X1 – X2 = – (X1 + X2)

Примечание: использование всего двух чисел X1 и X2 обусловлено необ-

ходимостью показать основные виды простейших вычислений, из которых

и складывается любой расчет.

Для каждого из этих видов вычислений существуют формулы опреде-

ления числовых характеристик. В данной статье будут рассмотрены фор-

мулы для умножения, деления, сложения и вычитания, все остальные виды

вычислений подробно рассмотрены в (1). Погрешность и точность оконча-

тельного результата носят название «фактические», т.к. они образуются

из фактических погрешностей и точностей отдельных чисел. При проекти-

8

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

ровании числовых характеристик используются теоретические погреш-

ность и точность, поэтому они носят название «теоретические».

Умножение:

погрешность окончательного результата – это сумма фактиче-

ских погрешностей множителей:

 

 

 

 

 

 

n

 

Погрешность

 

δ

 

 

δxi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

n

Точность

T

 

(1 n) +

Txi

 

 

 

 

 

 

 

 

i

= 1

Точность в процентном виде

n

T (1 n) 100% + Txi

i = 1

 

 

 

 

 

n

xi

Отклонение

 

 

Z

 

 

Xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i = 1

 

(6)

(7)

(8)

(9)

9

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Деление:

погрешность окончательного результата – это разность фактиче-

ских погрешностей делимого и делителей:

 

 

 

 

 

 

n1

Погрешность

 

δ

 

δx0 δxi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i = 1

 

 

 

 

 

 

n1

Точность

T

 

 

(n 1) + Tx0 Txi

 

 

 

 

 

 

 

 

i = 1

 

 

 

 

 

 

n1

Точность

T

 

 

(n 1) 100% + Tx0 Txi

в процентном виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i = 1

(10)

(11)

(12)

 

 

 

 

 

x0

 

n1

xi

 

 

Отклонение

 

 

Z

 

 

 

(13),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

X

 

 

 

 

 

 

 

 

o

i = 1

 

 

i

 

где δ– фактическая погрешность окончательного результата,

Т– фактическая точность окончательного результата,

– фактическое отклонение точного значения величины оконча-

тельного результата от приближенного,

Z – точное значение величины окончательного результата,

δxi – i-я погрешность множителей и делителей, 10

Калькулятор

Сервис бесплатной оценки стоимости работы

  1. Заполните заявку. Специалисты рассчитают стоимость вашей работы
  2. Расчет стоимости придет на почту и по СМС

Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с политикой конфиденциальности и на обработку персональных данных.

Номер вашей заявки

Прямо сейчас на почту придет автоматическое письмо-подтверждение с информацией о заявке.

Оформить еще одну заявку