Основы Теории погрешностей
.pdfGorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004
Тxi – i-я точность множителей и делителей,
Xi – точное значение величины i-го числа,
∆xi – отклонение i-го числа,
n – количество чисел, участвующих в умножении и делении, n → ∞,
δx0 – погрешность делимого,
Тx0 – точность делимого,
X0 – точное значение величины делимого,
∆x0 – отклонение делимого.
Значения величин погрешностей и точностей, вычисленных по представленным формулам, немного отличаются от истинных, полученных по формулам (1)÷(3), образуя отклонение:
∆ = δzф – δz |
(14), |
где ∆ – отклонение между величинами фактической и истинной погреш-
ностями, записываемое как в единичном, так и в процентном виде,
δzф – фактическая погрешность окончательного результата, которая
определяется по формулам (6) и (10),
δz – истинная погрешность окончательного результата, которая оп-
ределяется по формулам (1)÷(3).
11
Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004
Это отклонение (∆) уменьшается по мере увеличения номера числово-
го уровня или количества точных знаков у чисел, участвующих в расчетах, стремясь к нулю:
lim ∆ 0%
n→∞
Представленное отклонение характеризуется параметром µ, который
определятся как отношение истинной и фактической погрешности:
µ |
|
|
δz |
|
|
|
|
(15) |
|
|
|
|
||
|
|
|
δzф |
Параметр µ показывает влияние закона сложения погрешностей, кото-
рый подробно рассмотрен в (1).
Практические расчеты по определению погрешности при умножении, доказывающие состоятельность формулы (6), представлены в примере 5.
Пример 5
3
Z ∏ Xi 1.00999... 11.11... 7.85785.. 88.1826..
i = 1
3
Zпр ∏ Xпрi 1.00 11.11 7.85 87.2135
|
|
|
i = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
δz |
|
|
Z − Zпр |
100% |
|
|
88.1826.. − 87.2135 |
100% |
|
1.09899.. % |
|
|
Z |
|
|
88.1826.. |
|
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δzф = 0.990099.. + 0.01 + 0.1 = 1.10009..
Примечание: в данном примере использовалось L-округление.
12
Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004
Исходя из формул (6) (13), в которых, например, погрешность при умножении (делении) – это сложение (разность) отдельных погрешностей чисел, входящих в расчет, можно сформулировать закон равновесия погрешностей (точностей):
Величины погрешностей (точностей) чисел при умножении и де-
лении должны быть равны между собой.
δx1 = δx2 = …= δxn |
(16) |
Тx1 = Тx2 = …= Тxn |
(17) |
Какие-либо комментарии к этому закону излишни, необходимо всегда стремиться к равновесию, неправильно использовать в расчетах числа с большими отклонениями в величинах погрешностей (точностей). Данная формулировка закона равновесия погрешностей справедлива для сокращения чисел по погрешности (точности), ведь при сокращении по знакам происходит разброс в величинах основных числовых характеристик, образуя так называемые числовые уровни, подробно рассмотренные в (1). В этом случае формулировка закона равновесия погрешностей (точностей) будет выглядеть следующим образом:
13
Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004
Величины погрешностей (точностей) чисел при умножении и де-
лении должны быть равны по числовому уровню их изменения.
Уп1 = Уп2 = … = Упi = Уi |
(18) |
Ут1 = Ут2 = … = Утi = Уi |
(19), |
где Упi (Утi) – i-й числовой уровень изменения погрешности (точности),
Уi – i-й числовой уровень.
i = 0…n |
n → ∞ |
Для отдельно
взятого числа |
Упi = Утi |
(20) |
Формулы (18) и (19) могут быть переписаны в следующем виде:
Nтз1 = Nтз2 = …= Nтзn |
(21) |
Отсюда следует вывод, что:
При умножении и (или) делении n чисел следует оставлять k точ-
ных знаков, что соответствует k знакам от начала чисел.
14
Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004
В доказательство необходимо привести пример вычисления чисел, применив округление чисел по погрешности (пример 6). Чтобы получить наиболее наглядную и справедливую картину, в примере использовались числа разного порядка, у которых погрешности имеют круглые значения (10 %, 1 %, 0.1 % и т.п.), причем при одинаковом количестве точных знаков погрешности чисел равны. Такие числа состоят из знаков одинаковой величины.
Пример 6
Погрешность отдельного числа δx = 0.1 %
Z = 1.111… · 0.5555… · 777.7… = 480.10973..
Zпр = 1.11 · 0.555 · 777 = 478.67085..
Погрешность окончательного результата δz ≈ 0.3 %
Как видно из данного примера, при использовании одинаковой погрешности приближенные числа получились с одинаковым количеством знаков от начала числа, что и требовалось доказать.
Таким образом, рассмотрены формулы определения числовых характеристик при умножении и делении, на основе которых можно находить величины погрешностей и точностей на различных этапах вычислений, иначе говоря, проектировать погрешности и точности. В качестве примера можно привести определение возможной ошибки в конечном результате (пример 7) при использовании L-округления. Основной задачей небольшо-
15
Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004
го расчета было проектирование погрешности таким образом, чтобы она не превысила нормативную погрешность, которая принималась равной 5 %. В первом приближении был использован третий числовой уровень. Максимальная проектируемая погрешность определялась из следующих соображений: у чисел использовались максимально возможные погрешности
третьего числового уровня (δmax), а погрешности у делителей были приня-
ты равными нулю (δmin). Тем самым была достигнута максимальная проек-
тируемая погрешность (δzтmax), которая в итоге не превысила нормативную
(δzн). Если же в итоге истинная погрешность получится больше макси-
мальной проектируемой или тем более нормативной, то в расчетах сделана ошибка.
Пример 7
Z = 0.46532893915 · 4.56943288793 : 18.7462321576 · 736.348531287 · · 4487.38254216 : 86.1275413346 · 0.82945611237 = 3609.41031873..
Nчу = Nтз = 3
Zпр = 0.465 · 4.56 : 18.7 · 736 · 4480 : 86.1 · 0.829 = 3599.84164188..
δz |
|
|
3609.41031873.. − 3599.84164188 |
100% |
|
0.265..% |
|
|
3609.41031873.. |
|
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
δmax = 0.9900990.. % |
δmin = 0 % |
δzтmax = 0.9900990.. + 0.9900990.. – 0 + 0.9900990.. +
+ 0.9900990.. – 0 + 0.9900990.. = 4.95.. % < δzн = 5 %
16
Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004
Например, преподаватель дает задание студенту рассчитать пример, при этом зная точное значение окончательного результата. Студент приносит выполненную работу, в которой он использовал, к примеру, четыре точных знака от начала чисел. При этом у преподавателя имеется расчет погрешности для каждого количества точных знаков. Сравнив максимально допустимую погрешность из данного расчета с погрешностью, которая образуется при сравнении полученного результата студентом с точным значением окончательного результата, преподаватель и делает вывод о правильности сделанных расчетов студентом. Например, погрешность студента равна 1.2 %, а максимально допустимая погрешность – 0.9 %. Это означает, что расчет студентом сделан неверно, хотя его погрешность и меньше принятой в инженерных расчетах 5 %.
Далее будет рассмотрено сложение и вычитание, а также выведены и проанализированы соответствующие формулы.
В результате исследований было обнаружено, что на погрешность и
точность окончательного результата (δzф и Тzф) при сложении и вычитании
оказывают влияние два фактора:
1.Погрешность и точность чисел,
2.Отношение точных значений чисел к точному значению окончательного результата, т.е. значимость каждого из чисел.
Примечание: здесь и далее речь идет о числах, участвующих в сложении и
вычитании.
17
Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004
Вполне естественно, что в формулы определения погрешности и точности окончательного результата входят соответственно погрешность и точность чисел, причем их влияние прямо пропорционально. Эти характеристики являются количественными характеристиками, ведь значения их
величин участвуют в формировании значений величин δz и Тz, причем в
части формул осуществляется их сложение (вычитание). Второй фактор представляет собой качественную характеристику, которая показывает значимость точного значения отдельного числа по отношению к точному значению окончательного результата.
Сложение:
Погрешность окончательного результата – это сумма произведе-
ний слагаемых чисел и их фактических погрешностей, деленная на
точное значение окончательного результата:
n
δzф ∑ XZi δxi (22) i = 1
|
|
|
|
|
n |
|
δzф |
|
|
1 |
|
∑ Xi δxi |
(22') |
|
|
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|||||
|
|
|
Z |
i = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
18
Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004
Точность окончательного результата определяется обычным об-
разом, когда из единицы вычитается его погрешность:
n |
|
Tzф 1 − ∑ Xi (1 −Txi) |
|
i =1 |
Z |
|
|
|
|
|
n |
Tzф |
|
1 − |
1 |
∑ Xi (1 − Txi) |
|
|
|
||||
|
|
||||
|
|
|
Z |
i = 1 |
В процентном виде
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
Tzф |
|
100% − ∑ |
Xi |
(100% − Txi) |
|||||
|
|
||||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
= 1 |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
Tzф |
|
100% − |
1 |
|
∑ Xi (100% − Txi) |
||||
|
|
||||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Z |
i = 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(23)
(23')
(24)
(24')
Отклонение окончательного результата – это сумма отклонений
слагаемых чисел:
|
|
|
n |
|
∆zф |
|
|
∑ ∆xi |
(25) |
|
|
|||
|
||||
|
|
i |
= 1 |
|
19
Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004
Примечания:
1.Данные формулы применимы для сложения положительных чисел,
2.При сложении отрицательных чисел величины слагаемых в формулах подставляются со своим собственным знаком, т.е. со знаком «−».
Вычитание:
Погрешность окончательного результата – это разность произведения точного значения и фактической погрешности уменьшаемого и вычитаемых чисел, деленная на точное значение окончательного ре-
зультата:
|
|
|
|
|
|
|
|
X0 |
δx0 |
|
n−1 |
Xi |
δxi |
|
|
||||||
|
δzф |
|
|
|
|
− |
∑ |
|
|
(26) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
Z |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = 1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
1 |
|
X δ |
|
|
− |
∑ |
X |
|
δ |
|
|
(26') |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
zф |
|
|
|
|
x0 |
i |
xi |
||||||||||||||
|
|
Z |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точность окончательного результата определяется обычным образом, когда из единицы вычитается его погрешность:
|
|
|
X0 (1 − Tx0) |
|
n−1 |
Xi (1 − Txi) |
|
Tzф |
|
1 − |
+ |
∑ |
(27) |
||
|
|
Z |
|||||
|
|
||||||
|
|
|
Z |
i = 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
20