Добавил:
galan11@mail.ru +7 937 1848437 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Основы Теории погрешностей

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
24.04.2018
Размер:
648.63 Кб
Скачать

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Тxi – i-я точность множителей и делителей,

Xi – точное значение величины i-го числа,

xi – отклонение i-го числа,

n – количество чисел, участвующих в умножении и делении, n ,

δx0 – погрешность делимого,

Тx0 – точность делимого,

X0 – точное значение величины делимого,

x0 – отклонение делимого.

Значения величин погрешностей и точностей, вычисленных по представленным формулам, немного отличаются от истинных, полученных по формулам (1)÷(3), образуя отклонение:

= δδz

(14),

где – отклонение между величинами фактической и истинной погреш-

ностями, записываемое как в единичном, так и в процентном виде,

δ– фактическая погрешность окончательного результата, которая

определяется по формулам (6) и (10),

δz – истинная погрешность окончательного результата, которая оп-

ределяется по формулам (1)÷(3).

11

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Это отклонение () уменьшается по мере увеличения номера числово-

го уровня или количества точных знаков у чисел, участвующих в расчетах, стремясь к нулю:

lim 0%

n→∞

Представленное отклонение характеризуется параметром µ, который

определятся как отношение истинной и фактической погрешности:

µ

 

 

δz

 

 

 

(15)

 

 

 

 

 

 

δ

Параметр µ показывает влияние закона сложения погрешностей, кото-

рый подробно рассмотрен в (1).

Практические расчеты по определению погрешности при умножении, доказывающие состоятельность формулы (6), представлены в примере 5.

Пример 5

3

Z Xi 1.00999... 11.11... 7.85785.. 88.1826..

i = 1

3

Zпр Xпрi 1.00 11.11 7.85 87.2135

 

 

 

i = 1

 

 

 

 

 

 

 

δz

 

 

Z Zпр

100%

 

 

88.1826.. 87.2135

100%

 

1.09899.. %

 

 

Z

 

 

88.1826..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ= 0.990099.. + 0.01 + 0.1 = 1.10009..

Примечание: в данном примере использовалось L-округление.

12

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Исходя из формул (6) (13), в которых, например, погрешность при умножении (делении) – это сложение (разность) отдельных погрешностей чисел, входящих в расчет, можно сформулировать закон равновесия погрешностей (точностей):

Величины погрешностей (точностей) чисел при умножении и де-

лении должны быть равны между собой.

δx1 = δx2 = …= δxn

(16)

Тx1 = Тx2 = …= Тxn

(17)

Какие-либо комментарии к этому закону излишни, необходимо всегда стремиться к равновесию, неправильно использовать в расчетах числа с большими отклонениями в величинах погрешностей (точностей). Данная формулировка закона равновесия погрешностей справедлива для сокращения чисел по погрешности (точности), ведь при сокращении по знакам происходит разброс в величинах основных числовых характеристик, образуя так называемые числовые уровни, подробно рассмотренные в (1). В этом случае формулировка закона равновесия погрешностей (точностей) будет выглядеть следующим образом:

13

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Величины погрешностей (точностей) чисел при умножении и де-

лении должны быть равны по числовому уровню их изменения.

Уп1 = Уп2 = … = Упi = Уi

(18)

Ут1 = Ут2 = … = Утi = Уi

(19),

где Упi (Утi) – i-й числовой уровень изменения погрешности (точности),

Уi i-й числовой уровень.

i = 0…n

n

Для отдельно

взятого числа

Упi = Утi

(20)

Формулы (18) и (19) могут быть переписаны в следующем виде:

Nтз1 = Nтз2 = …= Nтзn

(21)

Отсюда следует вывод, что:

При умножении и (или) делении n чисел следует оставлять k точ-

ных знаков, что соответствует k знакам от начала чисел.

14

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

В доказательство необходимо привести пример вычисления чисел, применив округление чисел по погрешности (пример 6). Чтобы получить наиболее наглядную и справедливую картину, в примере использовались числа разного порядка, у которых погрешности имеют круглые значения (10 %, 1 %, 0.1 % и т.п.), причем при одинаковом количестве точных знаков погрешности чисел равны. Такие числа состоят из знаков одинаковой величины.

Пример 6

Погрешность отдельного числа δx = 0.1 %

Z = 1.111… · 0.5555… · 777.7… = 480.10973..

Zпр = 1.11 · 0.555 · 777 = 478.67085..

Погрешность окончательного результата δz 0.3 %

Как видно из данного примера, при использовании одинаковой погрешности приближенные числа получились с одинаковым количеством знаков от начала числа, что и требовалось доказать.

Таким образом, рассмотрены формулы определения числовых характеристик при умножении и делении, на основе которых можно находить величины погрешностей и точностей на различных этапах вычислений, иначе говоря, проектировать погрешности и точности. В качестве примера можно привести определение возможной ошибки в конечном результате (пример 7) при использовании L-округления. Основной задачей небольшо-

15

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

го расчета было проектирование погрешности таким образом, чтобы она не превысила нормативную погрешность, которая принималась равной 5 %. В первом приближении был использован третий числовой уровень. Максимальная проектируемая погрешность определялась из следующих соображений: у чисел использовались максимально возможные погрешности

третьего числового уровня (δmax), а погрешности у делителей были приня-

ты равными нулю (δmin). Тем самым была достигнута максимальная проек-

тируемая погрешность (δzтmax), которая в итоге не превысила нормативную

(δ). Если же в итоге истинная погрешность получится больше макси-

мальной проектируемой или тем более нормативной, то в расчетах сделана ошибка.

Пример 7

Z = 0.46532893915 · 4.56943288793 : 18.7462321576 · 736.348531287 · · 4487.38254216 : 86.1275413346 · 0.82945611237 = 3609.41031873..

Nчу = Nтз = 3

Zпр = 0.465 · 4.56 : 18.7 · 736 · 4480 : 86.1 · 0.829 = 3599.84164188..

δz

 

 

3609.41031873.. 3599.84164188

100%

 

0.265..%

 

 

3609.41031873..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δmax = 0.9900990.. %

δmin = 0 %

δzтmax = 0.9900990.. + 0.9900990.. – 0 + 0.9900990.. +

+ 0.9900990.. – 0 + 0.9900990.. = 4.95.. % < δ= 5 %

16

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Например, преподаватель дает задание студенту рассчитать пример, при этом зная точное значение окончательного результата. Студент приносит выполненную работу, в которой он использовал, к примеру, четыре точных знака от начала чисел. При этом у преподавателя имеется расчет погрешности для каждого количества точных знаков. Сравнив максимально допустимую погрешность из данного расчета с погрешностью, которая образуется при сравнении полученного результата студентом с точным значением окончательного результата, преподаватель и делает вывод о правильности сделанных расчетов студентом. Например, погрешность студента равна 1.2 %, а максимально допустимая погрешность – 0.9 %. Это означает, что расчет студентом сделан неверно, хотя его погрешность и меньше принятой в инженерных расчетах 5 %.

Далее будет рассмотрено сложение и вычитание, а также выведены и проанализированы соответствующие формулы.

В результате исследований было обнаружено, что на погрешность и

точность окончательного результата (δи Т) при сложении и вычитании

оказывают влияние два фактора:

1.Погрешность и точность чисел,

2.Отношение точных значений чисел к точному значению окончательного результата, т.е. значимость каждого из чисел.

Примечание: здесь и далее речь идет о числах, участвующих в сложении и

вычитании.

17

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Вполне естественно, что в формулы определения погрешности и точности окончательного результата входят соответственно погрешность и точность чисел, причем их влияние прямо пропорционально. Эти характеристики являются количественными характеристиками, ведь значения их

величин участвуют в формировании значений величин δz и Тz, причем в

части формул осуществляется их сложение (вычитание). Второй фактор представляет собой качественную характеристику, которая показывает значимость точного значения отдельного числа по отношению к точному значению окончательного результата.

Сложение:

Погрешность окончательного результата – это сумма произведе-

ний слагаемых чисел и их фактических погрешностей, деленная на

точное значение окончательного результата:

n

δXZi δxi (22) i = 1

 

 

 

 

 

n

 

δ

 

 

1

 

Xi δxi

(22')

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

i = 1

 

 

 

 

 

 

 

18

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Точность окончательного результата определяется обычным об-

разом, когда из единицы вычитается его погрешность:

n

 

T1 Xi (1 Txi)

i =1

Z

 

 

 

 

 

n

T

 

1

1

Xi (1 Txi)

 

 

 

 

 

 

 

Z

i = 1

В процентном виде

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

T

 

100%

Xi

(100% Txi)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

= 1

Z

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

T

 

100%

1

 

Xi (100% Txi)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

i = 1

 

 

 

 

 

 

 

(23)

(23')

(24)

(24')

Отклонение окончательного результата – это сумма отклонений

слагаемых чисел:

 

 

 

n

 

 

 

xi

(25)

 

 

 

 

 

i

= 1

 

19

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Примечания:

1.Данные формулы применимы для сложения положительных чисел,

2.При сложении отрицательных чисел величины слагаемых в формулах подставляются со своим собственным знаком, т.е. со знаком «».

Вычитание:

Погрешность окончательного результата – это разность произведения точного значения и фактической погрешности уменьшаемого и вычитаемых чисел, деленная на точное значение окончательного ре-

зультата:

 

 

 

 

 

 

 

 

X0

δx0

 

n1

Xi

δxi

 

 

 

δ

 

 

 

 

 

 

(26)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1

 

 

 

 

 

 

δ

 

 

 

1

 

X δ

 

 

X

 

δ

 

 

(26')

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

i

xi

 

 

Z

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точность окончательного результата определяется обычным образом, когда из единицы вычитается его погрешность:

 

 

 

X0 (1 Tx0)

 

n1

Xi (1 Txi)

 

T

 

1

+

(27)

 

 

Z

 

 

 

 

 

Z

i = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

20