Проектирование погрешностей

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Горожанкин Алексей Анатольевич

(псевдоним – Галан)

«Проектирование

погрешностей»

Аннотация

-Впервые дано понятие и в полном объеме разработано так называемое проектирование числовых характеристик с вероятностью 100 %

и 50 %,

-Разработано проектирование числовых характеристик как при умножении, делении, сложении, вычитании, так и при смешанном вычислении чисел,

-Проектирование позволяет осуществлять контроль числовых характеристик на разных стадиях вычислений чисел,

-На основе проектирования можно произвести оценку погрешности и точности окончательного результата до выполнения каких-либо расчетов - таким образом, можно заранее знать, какую точность использовать при вычислении чисел, чтобы получить заданную точность окончательного результата.

1

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

1. Общие понятия

В книге (1) изложены основы расчета погрешностей, точностей, отклонения и других числовых характеристик. Для всех видов простейших вычислений выведены формулы определения числовых характеристик, а также рассмотрены принципы определения числовых характеристик для сложных расчетов, состоящих из нескольких видов простейших вычислений, т.е. рассмотрены принципы определения погрешности, точности и отклонения при смешанном вычислении чисел. При этом определение числовых характеристик может выполняться как одновременно с обычным вычислением чисел, так и после, но оно не может выполняться заблаговременно. А ведь знание, например, погрешности окончательного результата до выполнения обычного расчета очень важно с точки зрения того, что по величине этой погрешности можно определить то количество знаков, которое нужно оставлять у приближенных чисел, входящих в расчет, иными словами, можно будет знать ту точность, с которой следует выполнять вычисление чисел. Возможность заблаговременного определения числовых характеристик носит название проектирование числовых характеристик, которое кратко можно расшифровать следующим образом:

Проектирование числовых характеристик – определение и контроль числовых характеристик по специальным методикам, которое может выполняться не только одновременно с вычислением чисел или после него, но и заблаговременно без использования величин числовых характеристик.

Проектирование числовых характеристик преследует определенные це-

ли:

-Определение величин числовых характеристик,

-Недопущение превышения нормативных числовых характеристик,

-Определение количества знаков у чисел, которое должно использоваться у них при вычислении (определение точности вычислений),

-Нахождение ошибок при вычислении чисел,

-Определение точного значения окончательного результата,

-Другие.

Проектирование по сравнению с обычным расчетом числовых характеристик в большинстве случаев осуществляется гораздо быстрее, но при этом точность вычислений, как правило, ниже. Несомненным плюсом также является то обстоятельство, что определение числовых характеристик для одного и того же расчета с различным количеством исходных данных при проектировании выполняется только один раз, в то время как обычный расчет числовых характеристик производится столько раз, сколько имеется вариантов исходных данных. Также следует добавить, что проектирование не очень сложных расчетов можно выполнять не только без применения вычислительных ма-

2

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

шин, но даже и не вручную, а в уме за несколько минут, т.е. присутствует определенная простота вычислений. Этот фактор важен в плане того, что основным все же является вычисление чисел, а определение числовых характеристик носит второстепенный характер, поэтому оно и должно выполняться гораздо быстрее, чем само вычисление чисел. Основное отличие проектирования заключается в том, что в нем используются не фактические числовые характеристики, которые нужно предварительно определять, а теоретические, т.е. вероятные числовые характеристики, которыми обладают то или иное число или даже весь числовой уровень.

Проектирование числовых характеристик может производиться либо с 50 %, либо со 100 % вероятностью. Наиболее распространенной является последняя вероятность, т.к. такое проектирование дает 100 % гарантию, например, на то, что погрешность окончательного результата не превысит нормативную, если воспользоваться определенным количеством точных знаков у чисел. К тому же проектировать со 100 % вероятностью проще, чем с 50 %. Вообще говоря, проектирование должно производиться с максимальной простотой, пусть даже в ущерб точности. При проектировании со 100 % вероятностью используются максимальные и минимальные погрешности и точности, характерные для того или иного числового уровня или для конкретно взятого числа. При проектировании со 50 % вероятностью используются средневероятные числовые характеристики, т.е. те, к которым стремятся числа определенного числового уровня. Если при обычном расчете используются фактические числовые характеристики, то при проектировании – вышеперечисленные, причем во всех без исключения числах, тем самым определение числовых характеристик видоизменяется, что приводит к упрощению расчетов. Максимальные погрешности и минимальные точности можно определить либо по графикам изменения основных числовых характеристик, либо расчетным путем. Например, для первого числового уровня (один точный знак) при использовании L-округления максимальную погрешность можно найти так, как это показано в примере 1.

Принципы нахождения средневероятных числовых характеристик (δсв и Тсв) в данной статье не будут рассмотрены, но обычно средневероятная погрешность в 10 раз меньше максимальной. Когда требуется более высокая

3

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

точность определения числовых характеристик, в расчетах можно использовать максимальные погрешности, характерные для того или иного числа (пример 2). Как видно из примера, погрешность числа получилась меньше, чем максимальная погрешность второго числового уровня, равная 9.0909..%.

Примечание: в примере использовалось L-округление.

Чтобы исключить из расчетов для их упрощения погрешность 3 рода, величины максимально возможной погрешности и минимально возможной точности рекомендуется округлять по принципу, рассмотренному в главе 1.7 книги (1). Суть данного принципа состоит в том, что при проектировании по максимально возможной погрешности применяют R-округление, а по минимально возможной погрешности – L-округление. При таком подходе принцип получения соответствующих погрешностей не нарушается, т.е. например, максимально возможная погрешность так и останется таковой, только с немного большей величиной. Погрешность 3 рода при этом довольно таки мала и практически не влияет на величину окончательного результата. К примеру, максимально возможную погрешность третьего уровня, равную 0.9900990.., можно округлить в меньшую сторону до величины 0.99, а в большую сторону

– до 1. Для 50 % вероятности округление следует производить методом C-округления, чтобы величины числовых характеристик стремились к средним значениям.

Среди всех видов вычислений можно выделить семь (пример 3), т.к. некоторые виды вычислений очень схожи между собой, например формулы определения погрешности при сложении и вычитании отличаются лишь знаком, но тем не менее к их проектированию следует подходить по-разному вследствие разного поведения погрешностей, что и будет рассмотрено здесь.

4

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Примечание: использование всего двух чисел X1 и X2 обусловлено необходимостью показать основные виды простейших вычислений, из которых и складывается любой расчет.

Величина окончательного результата обладает определенным интервалом своего изменения, для нахождения которого необходимо знать максимальные и минимальные значения величин числовых характеристик. Поэтому проектирование может производиться как по максимальным, так и по минимальным числовым характеристикам, либо одновременно по тем и другим, что более предпочтительно, т.к. такое проектирование дает более широкую картину. Но если при обычном расчете максимумы и минимумы образовывались только в результате округления величин числовых характеристик с целью исключения числовых характеристик 3 рода, то при проектировании к округлению добавляются, как уже было отмечено, другие величины числовых характеристик – максимальные и минимальные, только в качестве последних при L-округлении используются 0 % для погрешности и 100 % для точности. А вот при C-округлении в качестве максимальной используется максимальная положительная погрешность, а в качестве минимальной – максимальная отрицательная погрешность. При R-округлении в качестве максимальной используется 0 %, а в качестве минимальной – максимальная отрицательная погрешность. При проектировании с 50 % вероятностью все гораздо проще – во всех числах используются средневероятные числовые характеристики, но при всем этом такое проектирование не дает абсолютно точного ответа, например, о количестве точных знаков окончательного результата.

Очень часто основной целью проектирования является недопущение превышения нормативных числовых характеристик, которые утверждаются заранее до выполнения вычислений. Это можно представить несколькими целевыми функциями:

где δт, Тт, ∆т – теоретические числовые характеристики, т.е. полученные в результате проектирования,

5

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

δн, Тн, ∆н – нормативные числовые характеристики.

Примечания:

1.При отрицательной погрешности величина точности принимает значение больше 1 (100 %), поэтому целевая функция (2') видоизменяется,

2.Теоретическими числовыми характеристиками могут быть как максимальные и минимальные, так и средневероятные числовые характеристики.

Формулы (2) и (2') можно представить следующим образом:

А теперь стоит более подробно рассмотреть проектирование числовых характеристик при различных видах простейших вычислений, одним из которых является умножение – первый (согласно примеру 3) и самый простой для проектирования вид вычислений.

2. Проектирование числовых характеристик при умножении

Умножение является самым простым среди всех видов вычислений, поэтому и его проектирование должно производиться наиболее быстро. Все принципы проектирования, которые будут изложены в данном разделе, касаются только одного вида вычисления – умножения, при использовании других видов и при смешанном вычислении принципы несколько иные.

Одной из главных особенностей проектирования числовых характеристик является использование у всех чисел одинаковых числовых характеристик, поэтому их определение принимает несколько иной, более упрощенный вид. Для их вывода воспользуемся формулами, полученными в главе 1.3 книги (1) «Умножение и деление», в результате чего формулы определения теоретических числовых характеристик примут следующий вид:

Погрешность окончательного результата – произведение количества множителей на погрешность (максимальную, минимальную или средневероятную) выбранного числового уровня:

6

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

где δzтmax, δzтmin, δzтсв – соответственно максимальная, минимальная и средневероятная теоретические погрешности окончательного результата,

δmax, δmin, δсв – соответственно максимальная, минимальная и средневероятная погрешности выбранного числового уровня,

n – количество множителей.

Точность окончательного результата – сумма произведения количества множителей на точность (максимальную, минимальную или средневероятную) выбранного числового уровня и члена (1 – n) или (1 – n) . 100 %:

где Tzтmax, Tzтmin, Tzтсв – соответственно максимальная, минимальная и средневероятная теоретические точности окончательного результата,

Tmax, Tmin, Tсв – соответственно максимальная, минимальная и средневероятная точности выбранного числового уровня.

7

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Отклонение окончательного результата – это произведение трех членов: точного значения окончательного результата, количества множителей и теоретической погрешности окончательного результата:

где ∆zт – теоретическое отклонение окончательного результата, которое может быть максимальным, минимальным и средневероятным,

Z – точное значение окончательного результата,

δzт – теоретическая погрешность окончательного результата.

Примечание: формула (11) представлена в общем виде, ведь даже зная максимум и минимум теоретической погрешности, невозможно определить максимум и минимум теоретического отклонения, т.к. для этого необходимо знать знак точного значения окончательного результата.

Полученные формулы особой сложности не представляют, они очень просты в использовании. Эти формулы, как уже было сказано, были выведены из формул по определению фактических числовых характеристик, например, формула (5) выведена путем замены фактических погрешностей отдельных чисел на одинаковую погрешность (максимальную, минимальную или средневероятную) определенного числового уровня. Тем же самым способом были получены остальные формулы. А вот в формуле (11) проведена замена:

Данная замена обусловлена тем обстоятельством, что например, максимальное отклонение определенного числового уровня для каждого отдельно взятого числа свое, поэтому проектировать можно только с учетом величины чисел, как продемонстрировано в примере 2, что приводит к увеличению времени проектирования. Данное преобразование хоть и приводит к упрощению формулы, но тем не менее не позволяет выполнять проектирование до начала вычислений, т.к. неизвестно точное значение окончательного результата. Поэтому проектирование по отклонению не рекомендуется применять, гораздо легче запроектировать максимальные и минимальные величины погрешностей, по которым можно найти соответствующие отклонения. Полученные формулы легко можно проверить на практическом примере (пример 4). Этот пример состоит из произведения шести чисел, причем последнее число возведено в кубическую степень. Для облегчения проектирования она будет заменена на произведение трех чисел, т.е. (X6)3 = X6 · X6 · X6, поэтому в общем случае получается произведение восьми чисел.

8

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Z = X1 · X2 · X3 · X4 · X5 · (X6)3 = 47.367178563..

δн = 5 %

Номер числового уровня – 4 Nтз = 4

δzтmax = n · δmax = 9 · 0.1 = 0.9 % δzтmin = n · δmin = 8 · 0 = 0 %

Приближенные значения чисел

Проектирование производилось со 100 % вероятностью. Нормативная погрешность была установлена на отметке в 5 %, которая является стандартом в большинстве расчетов. Для определения максимально возможной погрешности воспользуемся формулой (5), количество множителей в данном случае равно восьми, а с учетом погрешности 2 рода – девять. При этом следует иметь ввиду, что погрешность 2 рода не просто прибавляется к погрешности 1 рода, как это сделано в данном случае, а сложение производится с определенным членом (подробно об этом написано в главе 1.7 книги (1)). Этот член при положительной погрешности 1 рода всегда меньше или равен единице, поэтому в целях упрощения вычислений можно принимать его равным 1, тогда суммарная погрешность будет равна сумме погрешностей 1 и 2 рода, но в любом случае будет получена действительно максимально возможная погрешность, по величине немного большая, чем при более точном учете погрешности 2 рода. Исходя из количества множителей, равного 9, воспользуемся четвертым числовым уровнем с максимальной погрешностью, равной 0.09990009990.. %, которую округлим в бóльшую сторону, чтобы дополнительно не учитывать погрешность 3 рода. В результате расчета по формуле (5) максимально возможная теоретическая погрешность получилась равной 0.9 %, т.е. меньше нормативной. Что касается получения минимально возможной погрешности, то при использовании формулы (6) она, как нетрудно

9

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

подсчитать, равна 0 %. Далее все числа округлялись до четырех точных знаков с использованием L-округления. Определив приближенное значение окончательного результата, были вычислены его максимальное и минимальное значения по стандартным формулам, после чего осуществляется запись окончательного результата, четыре возможных варианта которой представлены в данном примере. Иногда бывает известно точное значение окончательного результата, поэтому можно легко проверить полученные расчеты. Например, в случае получения результата с погрешностью, большей чем δzтmax, но меньшей чем δн, то все равно в расчетах присутствует ошибка. Поэтому нужно ориентироваться на максимально возможную теоретическую погрешность, а не на рубеж в 5 %.

Для сравнения представленный пример запроектируем с 50 % вероятностью (пример 5).

Пример 5

Z = X1 · X2 · X3 · X4 · X5 · (X6)3 = 47.367178563..

Средневероятная погрешность, как правило, в десять раз меньше максимальной определенного числового уровня, поэтому воспользуемся средневероятной погрешностью третьего числового уровня, приблизительно равной 0.1 %. А далее, как и в примере 4, производились расчеты и определялось средневероятное значение окончательного результата. Вообще говоря, при бесконечном количестве множителей средневероятная погрешность стремиться к истинной, но в данном случае она получилась почти в два раза меньше, чем истинная.

10