Ловенецкая 1 сем / vysshaya_matematika

1. Функции одной переменной-

Элементарные функции – функция, которая получается из основных элементарных ф-ций, путем применения к ним конечного числа основных арифметических действий (+;-;*;/) и путем операции композиции.

2. Предел функции в точке: Постоянная b называется пределом функции y=f(x) при x->a (или в точке a), если для любого числа e>0 существует такое число z>0, что при всех x, удовлетворяющих условию: 0<|x-a|<z, выполняется неравенство: |f(x)-b|<z.

Пределом функции при x, стремящимся к а, обозначают: lim’x->a’f(x)=b; f(x)->b при x->a.

3. Функция a’=a’(x) называется бесконечно малой при x->a (или при x->беск.), если ее предел равен нулю: lim’x->a’a'(x)=0 (lim’x->беск.’a’(x)=0). Функция y=f(x) называется бесконечно большой при x->a, если для любого положительного числа N можно найти такое число z>0, что при всех значениях x, удовлетворяющих условию 0<|x-a|<z, выполняется неравенство |f(x)|>N. Бесконечно большая функция не имеет предела при x->a, но иногда условно говорят, что ее предел равен бесконечности, и пишут: lim'x->a'f(x)=беск., или f(x)->беск., при x->a.

4. Основные теоремы о пределах: 1) Функция y=y(x) не может иметь более одного предела при x->a.

2) Пусть функция y=f(x) определена в некотором промежутке, содержащем точку а. Если при x->a функция y=f(x) имеет положительный (отрицательный) предел, то найдется z-окрестность точки а такая, что для всех x(-O(a,z) функция положительна (отрицательна).

3) Если функции u(x), v(x) определены в некоторой z-окрестности точки а, для всех x(-O(a,z), x><a выполняется неравенство u(x)<v(x) и функции имеют пределы при x->a, то lim'x->a'u(x)<=lim’x->a’v(x).

4) Пусть три функции u=u(x), y=y(x), v=v(x) определены в некотором промежутке, содержащем точку а. Если для любого x из этого промежутка выполняются неравенства u(x)<=y(x)<=v(x) и функции u=u(x), v=v(x) имеют одинаковые пределы при x->a, то y=y(x) имеет тот же предел при x->a.

5. Первый замечательный предел: lim’x->0’sinx/x=1.

Второй замечательный предел: lim'x->0'(1+x)^1/x=e.

6. Сравнение бесконечно малых ф-ций:

a’(x)-беск. малая функция x=a

b(x)-беск. малая ф-ция x=a

lim’x->a’a’(x)/b(x)=C(-R

1. C=0 при этом a’(x)-беск. м. ф-ция более высокого порядка, чем b(x) в окр. x=a

2. C=беск., b(x)-б.м. более высокого порядка, чем a’(x) в окр. x=a

3. C(-R; C><0, C><1.

a'(x) и b(x)-ф-ции одного порядка при x->a

4. С=1; ф-ции a'(x) и b(x)-эквивалентны при x->a.

Эквивалентные бесконечно малые функции:

a’(x)-б.м.ф., при x->a;

1. sina’(x)~a’(x)

2. tga’(x)~a’(x)

3. arcsina’(x)~a’(x)

4. arctga’(x)~a’(x)

5. 1-cosa’(x)~a’^2(x)/2

6. e^a’(x)-1~a’(x)

7. ln(1-a’(x))~a’(x)

8. (1+a’(x))^1/n-1~a’(x)/n

7.Функция y=f(x), определенная на интервале (a,b), называется непрерывной в точке x0(-(a,b), если lim'x->x0'f(x)=f(x0). Т.е. предел ф-ции равен ее значению при предельном значении аргумента.

Точки разрыва функции: Рассмотрим функцию y=f(x), определенную на интервале (a,b), кроме, быть может, точки х0(-(a,b). Значение аргумента х0 называется точкой разрыва данной функции, если при х=х0 функция определена, но не является непрерывной или не определена при этом значении х. Если х0-точка разрыва f(x) и существуют конечные пределы f(x0-0)=lim'x->x0-0'f(x), f(x0+0)=lim'x->x0+0'f(x), f(x0-0)><f(x0+0), то она называется точкой разрыва первого рода. Если хотя бы один из односторонних пределов f(x0-0), f(x0+0) не существует или является бесконечным, то х0 называется точкой разрыва второго рода.

8. Основные теоремы о непрерывных функциях:

1) Если функции f(x) и ф(x) непрерывны в точке x0, то также непрерывны в этой точке их сумма f(x)+ф(х), разность f(x)-ф(х), произведение f(x)*ф(х), а также частное f(x)/ф(х) при условии, что ф(х)><0.

2) Если функция ф(х) непрерывна в точке х0, а ф(х) непрерывна в точке х0, а функция f(y)nнепрерывна в точке y0=ф(х0), то сложная функция F(x)=f[ф(х)] непрерывна в точке х0.

3) Функция, непрерывная на отрезке [a,b], достигает в нем своего наименьшего значения m и наибольшего значения M, т.е. существуют такие точки х1 и х2 этого отрезка, что f(x1)=m, f(x2)=M.

4) Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает неравные значения f(a)=A, f(b)=B, A><B, то каково бы ни было число С, заключенное между А и В, найдется точка с(-[a,b] такая, что f(c)=C.

9. Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Геометрический смысл производной:

Физический смысл производной:

Экономический смысл производной:

10. Правила дифференцирования:

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х=х0, если ее приращение в точке х0 можно представить в следующем виде: ^y=A*^x+0(^x). Для того, чтобы y=f(x) была дифференцируемой в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

1. (u+-v)'=u'+-v’

2. (uv)’=u’v+uv’

3. (u/v)’=(u’v-uv’)/v^2; (v><0)

4. (f(u))’=f’(u)*u’

5. (c*u(x))’=cu’(x); (постоянные величины сложно вносить под знак производной)

6. Производная от постоянной величины равна 0; (с)'=0.

Таблица производных основных элементарных функций:

1. (x^aльфа)'=aльфа*x^(альфа-1)

2. (e^x)’=e^x

3. (a^x)’=a^x*lna

4. (sinx)’=cosx

5. (cosx)’=-sinx

6. (tgx)’=1/(cosx)^2

7. (ctgx)’=-1/(sinx)^2

8. (arcsinx)’=1/(1-x^2)^1/2

9. (arccosx)’=-1/(1-x^2)^1/2

10. (arctgx)’=1/(1+x^2)

11. (arcctgx)’=-1/(1+x^2)

12. (lnx)’=1/x

13. (log|a|x)’=1/x*lna.

11. Производная сложной функции: Если y=f(u) и u=ф(x) – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y=f(ф(x)) существует и равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т.е. y’|x|=y’|u|*u’|x|, dy/dx=dy/dy*du/dx.

Производная обратной функции: Если y=f(x) и x=ф(y) – взаимно обратные дифференцируемые функции и y’|x|><0, то x’|y|=1/y’|x|.

Производная неявно заданной функции: Если дифференцируемая ф-ция y=y(x) задана уравнением F(x,y)=0, то производная y'=y'(x) этой неявной функции может быть найдена из уравнения F'|x|=0, где F=F(x,y) рассматривается как сложная функция переменной x.

12. Логарифмическое дифференцирование:

y=f(x)

lny=lnf(x)

1/y*y’=(lnf(x))’

y’=y*(lnf(x))’

y’=f(x)*(lnf(x))’

Применение в экономике: y=f(x)

y’/y - мгновенный темп роста функции

E|x|y=f'(x)*x/y – эластичность ф-ции y=f(x) в точке х

|E|x|y>1|, то ф-ция эластична в точке х

|E|x|y<1|, то ф-ция неэластична в точке х

|E|x|y=1|, то ф-ция нейтральна в точке х.

13. Производные высших порядков:

Производной второго порядка, или второй производной, функции y=f(x) называется производная от ее производной y’=f’(x) (которую называют первой производной).

Обозначения второй производной: y''=(y')', f''(x)=(f'(x))', d^2y/dx^2=dy'/dx.

14. Дифференциал ф-ции. Рассмотрим ф-цию y=f(x), определенную в некотором промежутке (a,b), и ее приращение ^y=f(x+^x)-f(x) в точке х0, где х0, (x0+^x) (- (a,b). Если приращение ф-ции представимо в виде ^y=A^x+o(^x), где А-постоянная, о(^х)- беск. малая высшего порядка по срвнению с ^x, то слагаемое А^x называют дифференциалом ф-ции f(x) в точке х0 и обозначают dy или df(x0): dy=A^x; функцию y=f(x) в этом случае называют дифференцируемой в точке х0.

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал ф-ции равен приращению ординаты касательной к графику ф-ции в соответствующей точке, когда аргумент получает приращение ^x.

Отметим, что dy<^y или dy>^y; если ф-ция равна постоянной, то dy=^y=0.

Свойства:

1. d(c)=0

2. d(cu)=cdu

3. d(u+-v)=du+dv

4. d(uv)=vdu+udv

5. d(u/v)=(vdu-udv)/v^2; v><0

15. Основные теоремы о дифференцируемых функциях:

Теорема Роля: Пусть ф-ция y=f(x), непрерывна на отрезке x(- [a,b] и дифференцируема во всех точках интервала (a,b), пусть далее f(a)=f(b), тогда найдется такая точка e (- (a,b), что f'(e)=0.

Теорема Лагранжа: Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке х (- [a,b] и дифференцирована в каждой точке интервала [a,b], тогда найдется такая точка e из интервала e (- [a,b], что будет выполняться равенство: f(b)-f(a)=f'(e)(b-a).

Правило Бернулли-Лопиталя: Если ф-ции f(x) и ф(х) дифференцируемы в окрестности точки х=а, обращаются в нуль в этой точке и существует предел отношения f'(x)/ф'(x) при х->a, тогда существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных lim'x->a'(f(x)/ф(х))=lim'x->a'(f'(x)/ф’(x)).

16. Необходимое и достаточное условие постоянства ф-ции y=f(x) выражается равенством y'=0, т.е. y’=0y=c.

Ф-ция y=f(x) называется возрастающей в промежутке (a,b), если для любых двух значений х1 и х2 (- (a,b) из неравенства х1<х2 следует неравенство f(x1)<f(x2).

Ф-ция y=f(x) называется убывающей в некотором промежутке, если для любых двух значений, принадлежащих этому промежутку, из неравенства x1<x2 следует неравенство f(x1)>f(x2).

Достаточное условие возрастания (убывания) ф-ции: Если в данном промежутке производная ф-ции положительна, то ф-ция возрастает в этом промежутке; если производная отрицательна, то ф-ция убывает в соответствующем промежутке.

Необходимое условие экстремума: Если для ф-ции y=f(x) точка х=х0 является точкой локального экстремума, то производная от ф-ции у=f(x) в точке х0 либо равна 0, либо не существует.

17. График ф-ции y=f(x) называется выпуклым вниз на интервале [a,b], если любая секущая этого графика на данном интервале будет лежать выше графика ф-ции.

Гр-к ф-ции f(x) будет выпуклым вверх, если секущая на интервале лежит ниже графика ф-ции.

y=f(x), x (- (a,b)

f’’(x)>0(гр-к выпуклый вниз, и наоборот).

Точки гр-ка ф-ции, в которых направление выпуклости меняется на противоположное называются точками перегиба гр-ка ф-ции.

18. Асимптотой линии называется прямая, к которой неограниченно приближается данная линия, когда ее точка неограниченно удаляется от начала координат.

Выделяется 2 основных типа асимптот: вертикальная ( ||Oy; x=a) и наклонная ( ||Ox; x=a).

х=а – вертикальная асимптота гр-ка ф-ции y=f(x), если хотя бы 1 из односторонних пределов lim’x->a-0’f(x)=беск. lim’x->a+0’f(x)=беск.

Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой гр-ка ф-ции y=f(x), если существуют и конечны следующие пределы k=lim'x->+-беск.’f(x)/x.

19. Общая схема исследования ф-ции и построения их гр-ков:

1) Для исследования ф-ции и построения ее графика требуется найти область определения, область значения ф-ции, точки пересечения гр. ф-ции с осями координат; установить четкость или нечеткость, периодичность или не периодичность ф-ции.

2) Найти асимптоты гр-ка ф-ции

3) Установить промежутки возрастания и убывания ф-ции, а также точки экстремума

4) Найти промежутки выпуклости вверх и вниз гр-ка ф-ции, а также точки перегиба

5) Построить гр-к функции с учетом выполнения предыдущих пунктов.

20. Наибольшее и наименьшее значение ф-ции на отрезке: рассмотрим f(x) и предположим, что эта ф-ция имеет на отрезке [a,b] конечное число критических точек. Если ф-ция y=f(x) непрерывающихся на [a;b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения. Найдутся такие точки e1 и e2 из отрезка [a;b], такие, что f(e1)=m<=f(x), x (- [a,b] и f(e2)=M>=f(x); x (- [a,b]. M и m-глобальные экстремумы ф-ции f(x) на [a;b].

21. Матрицей называется система m*n чисел, расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов. Числа этой таблицы называются элементами матрицы.

Матрица А называется нулевой матрицей размерности m*n, если все ее элементы равны 0.

Диагональная матрица, у которой на главной диагонали расположены 1, называется единичной матрицей, порядка n.

Операции над матрицами: Суммой двух матриц является матрица, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц слагаемых, сумма А и В обозн. А+В.

Произведением матрицы A на число а’ называется матрица, полученная из данной умножением всех ее элементов на число а' и обозначается Аа’ или a’A.

Матрицу (-1)А называют матрицей, противоположной матрице А, и обозначают ее –А.

Линейные действия над матрицами обладают следующими свойствами: 1) A+B=B+A;

2) (A+B)+C=A+(B+C); 3) A+0=A; 4) A+(-A)=0; 5) 1*A=A; 6) a’(bA)=(a’b)A; 7) a’(A+B)=a’A+bA; 8) (a’+b)A=a’A+bA.

22. Определители и их свойства: Для любой квадратной матрицы порядка n можно единственным образом вычислить число, которое называется определителем А.

detA=|A| Знак слагаемого:

+ -

Свойства определителя:

1. определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами;

2. при перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет лишь знак;

3. определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю;

4. множитель, общий знак для элементов некоторой строки (столбца), можно вынести за знак определителя;

5. определитель равен нулю, если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю;

6. определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на один и тот же множитель;

7. определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

23. Обратная матрица: матрицей, обратной квадратной матрице А, называется квадратная матрица А”-1”, удовлетворяющая равенствам: АА”-1”=A”-1”A=E, где Е-единичная матрица.

Квадратная матрица называется невырожденной или неособенной, если ее определитель отличен от нуля. Если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной или особенной. Всякая невырожденная квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу.

Минором матрицы А порядка k называется число, равное определителю, построенному на пересечении произвольно выбранных k строк и столбцов матрицы А. Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от 0 минора данной матрицы. Ранг матрицы не может превышать наименьшей из размерности данной матрицы. Ранг матрицы не изменяется, если какой-либо строке (столбцу) матрицы прибавить любую другую строку (столбец), умноженное на любое число.

24. Системой линейных алгебраических уравнений называют множество уравнений с n неизвестными (n>=2), для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям системы. Система линейных уравнений называется вырожденной, когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных, либо когда определитель матрицы системы равен 0.

Теорема Кронекера-Капелли: для того, чтобы система уравнений 1 была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был бы равен рангу расширенной матрицы системы.

25. Теорема Кронекера-Капелли(вопр. 24).

Метод Гаусса основан на следующих фактах:

1. Решение системы не изменится, если мы переставим местами любые 2 ур-я системы.

2. Решение системы не изменится, если любое ур-е системы умножить или разделить на нулевое число.

3. Решение системы не изменится, если из k одинаковых ур-ний оставить одно, а остальные исключить из системы.

4. Решение системы не изменится, если к какому-либо ур-ю системы прибавить любое другое ур-е системы, умноженное на любое число.

Метод Гаусса состоит в следующем:

1. Среди ур-ний системы находим то ур-е, в котором коэффициент при х не равен 0, и ставим его на первое место;

2. Делим на первый коэффициент при х, 1-ое ур-ние системы;

3. С помощью первого ур-я системы исключаем неизвестную х из оставшихся ур-ний системы;

4. Исключаем из рассмотрения 1-ое ур-е системы и проводим шаги 1-3 для оставшихся уравнений системы.

В конце концов мы приводим систему уравнений к так называемому трапецеидальному виду. Из последнего ур-я находится хn, из предпоследнего хn-1 и т.д., пока не дойдем до неизвестного х1.

26. Теорема Крамера: Невырожденная линейная система имеет единственное решение х1=^1/^, x2=^2/^,…, xn=^n/^.

28. Векторное пространство: Рассмотрим некоторое множество V, состоящее из элементов ->v (- V, которое обладает следующим свойством: 1) для любого элемента из множества ->v (- Vn для любого действительного числа a' (- R, a'->v (- R.

2) Для любых элементов ->V1, ->V2 (- V, сумма элементов ->V1+->V2 также (- V.

Множество V, для которого выполняются свойства 1 и 2, называется векторным пространством, а его элементы называются векторными.

Векторы V1, V2…Vn из пространства V образуют базис пространства, если выполняются св-ва: 1) вектора V1, V2…Vn линейно независимы; 2) для любого вектора Vn+1*V векторы V1, V2…Vn, Vn+1 линейно зависимы.

Число векторов в базисе называют размерностью векторного пространства.

2 вектора образуют базис на плоскости тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов не равен 0.

29. Прямая линия на плоскости:

Ax+By+C=0(1)

Уравнение 1-ой степени относительно x и y называется общим уравнением прямой на плоскости. (A^2+B^2><0).

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (1):

1. С=0, Ax+By=0 – уравнение прямой, проходящее через начало координат;

2. А=0 (В><0), By+C=0 либо у=-С/В – прямая || оси Ox;

3. В=0 (А><0), Ax+C=0 либо х=-С/А – прямая || оси Оу;

4. А=0 и С=0 (B><0), By=0, y=0 – уравнение оси Ох;

5. В=0 и С=0, х=0 – ур-е оси Оу.

31. Кривая второго порядка – линия на плоскости, уравнение которой имеет следующий вид (в декартовой прямоугольной системе координат): Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 (A^2+B^2+C^2><0 – чтобы это была кривая второго порядка).