Физика. Краткая теория и примеры решения задач. Методическое пособие 2016
..pdfB 0 I cos . 2 d
Индукция магнитного поля на оси соленоида в произвольной точке А
(рис. 4.8):
B 0 I n cos 1 cos 2 , 2
где n Nl – плотность намотки соленоида (число витков на единицу длины; N
– полное число витков соленоида длиной l); углы α1 и α2 – см. рис. 4.8.
Рис. 4.7 |
Рис. 4.8 |
Индукция на оси бесконечно длинного соленоида:
B0 I n .
Индукция магнитного поля тороида, сердечник которого составлен из двух частей, изготовленных из веществ
сразличными магнитными проницаемостями, на осевой
линии тороида (рис. 4.9):
B |
|
I N |
|
|
, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
l1 |
|
l2 |
|
|
||
|
|
1 0 |
2 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|||||
где I – сила тока в обмотке тороида; N – число её витков; l1 и |
Рис. 4.9 |
|||||||
l2 – длины первой и второй частей сердечника тороида по |
|
осевой линии; 1 и 2 – магнитные проницаемости веществ первой и второй частей сердечника тороида; 0 –магнитная постоянная.
Индукция |
магнитного |
|
поля, |
созданного |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
движущимся со скоростью зарядом q в точке с |
||||||||
|
(рис. 4.10): |
|
|
|
|
|||
радиус-вектором r |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
или |
|||
B 0 q [ r ] ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
r3 |
|
|
|
|
|
|
B 0 |
|
q sin |
. |
Рис.4.10 |
|||
|
|
|||||||
|
4 |
|
r2 |
|
Сила взаимодействия двух параллельных бесконечных проводников с токами I1 и I2, находящимися на расстоянии r, рассчитанная на отрезок проводника длиной l:
71
|
|
|
F |
0 |
|
I1 I2 |
l . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 r |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Потенциальная (механическая) энергия контура с током в |
||||||||||||
магнитном поле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pmB cos . |
|
|
|
|||||
|
|
Wпот. pm B |
|
|
|
|||||||
Здесь – угол |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
контура |
с током и |
между магнитным моментом p |
m |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектором B магнитной индукции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Сила, действующая на рамку с током в неоднородном магнитном |
||||||||||||
поле. Проекция силы на произвольную ось OX равна |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
F p |
cos B , |
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
m |
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где B – быстрота изменения поля вдоль оси OX, – угол между магнитным |
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
острый, |
|
||||
моментом pm и магнитной индукцией B . Если угол |
магнитный |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
диполь pm втягивается в область сильного поля, если тупой – выталкивается. |
||||||||||||
Сила Лоренца (сила, действующая на заряд q, движущийся со |
||||||||||||
скоростью в магнитном поле с индукцией В ): |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FЛ q B sin , |
|||
FЛ q [ B] , |
|
или |
|
|
||||||||
где – угол, образованный |
вектором |
скорости движущейся |
частицы и |
вектором В индукции магнитного поля.
Циркуляция вектора магнитной индукции вдоль замкнутого
контура L – это интеграл по замкнутому контуру L: |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
B cos dl , |
|
|
Bl dl , |
||||
|
|
B dl |
или |
|||||||||
|
L |
|
|
L |
|
|
|
|
L |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Bl – проекция вектора |
B |
в |
данной |
точке |
контура на направление |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
касательной к |
контуру в той |
же |
точке, |
– |
угол между вектором B и |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элементом dl |
контура. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Циркуляция вектора напряжённости |
|
|||||||||||
H |
магнитного поля вдоль |
|||||||||||
замкнутого контура L: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hl dl . |
||
|
H |
dl |
H cos dl , |
или |
||||||||
|
L |
|
|
L |
|
|
|
|
L |
|||
Здесь Hl H cos |
– проекция вектора |
в данной точке контура на |
||||||||||
H |
||||||||||||
направление касательной к контуру в той же точке. |
|
|||||||||||
Закон полного |
тока |
(теорема о циркуляции): циркуляция вектора |
||||||||||
магнитной индукции |
B для поля в вакууме по произвольному замкнутому |
контуру равна алгебраической сумме токов, охваченных контуром, умноженной на магнитную постоянную 0 :
|
|
n |
Bdl |
0 Ii . |
|
L |
|
i 1 |
72
Для индукции поля в магнетике:
|
|
|
|
|
|
n |
k |
|
|
Bdl |
0 |
|
I макро I микро . |
||||
|
|
|
|
i |
i |
|
||
L |
|
|
|
|
i 1 |
i 1 |
|
Суммирование производится по всем токам, охваченным контуром: и макротокам (токам проводимости), и микротокам. Циркуляцию вектора магнитной индукции также можно записать через сумму только токов проводимости:
Bdl 0
L
n
Iiмакро . i 1
Здесь – магнитная проницаемость магнетика; n – число макротоков; k –
число микротоков.
Циркуляция напряжённости H магнитного поля определяется только токами проводимости (макротоками), охваченными контуром:
|
|
|
n |
|
|
|
|
H dl |
Iiмакро . |
|
|
||
|
L |
|
i 1 |
|
|
|
Магнитный поток (поток вектора магнитной индукции |
||||||
B ) через |
||||||
плоскую поверхность площадью S в случае однородного поля: |
|
|||||
|
|
|
|
Bn S , |
|
|
|
B S B S |
cos , или |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
где – угол между вектором B и нормалью n к поверхности (рис. 4.11); Bn – |
||||||
|
|
( Bn B cos ). |
|
|
||
проекция вектора B |
на нормаль n |
В случае неоднородного |
||||
поля: |
|
|
|
|
|
|
|
Bn dS , |
|
|
|||
d BdS Bn dS ; |
|
|
S
причём интегрирование ведётся во всей поверхности S.
Работа по перемещению замкнутого контура с
током в магнитном поле
A=I∙ Ф, |
Рис. 4.11 |
|
где Ф – изменение магнитного потока, |
||
|
пронизывающего поверхность, ограниченную контуром; I – сила тока в контуре.
Потокосцепление, то есть полный магнитный поток, сцепленный со
всеми N витками соленоида или тороида:
N ,
где – магнитный поток через один виток.
Закон Фарадея (закон электромагнитной индукции): ЭДС индукции
i в замкнутом контуре равна по величине и противоположна по знаку
скорости изменения полного магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром:
73
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
, точнее, |
|
. |
|
||||||||||
|
|
i |
|
t |
i |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если контур содержит N витков, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
d |
|
, или |
i |
N |
d |
|
|
, |
|||||||
i |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
dt |
N |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где N – полное потокосцепление.
Частные случаи применения закона Фарадея:
а) разность потенциалов U на концах проводника длиной l, движущегося со скоростью в однородном магнитном поле индукцией B (рис. 4.12):
|
U=B∙l∙ ∙sin , |
|
где – угол между |
|
|
направлениями векторов скорости |
и |
|
|
|
|
магнитной индукции |
B ; |
|
б) электродвижущая сила индукции i , возникающая в |
|||
рамке, содержащей N витков, площадью S, при вращении |
|||
рамки с угловой скоростью ω в однородном магнитном поле с |
|||
индукцией В: |
|
Рис. 4.12 |
|
i |
B N S sin t , |
||
|
где t – мгновенное значение угла между вектором В и вектором нормали n к плоскости рамки.
Индуктивность контура L численно равна магнитному потоку Ф, пронизывающему контур, при единичной силе тока в контуре:
|
|
|
|
|
L |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
Для катушки (соленоида, тороида) с N витками |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
L |
|
, |
|
|
|
где N – полное потокосцепление. |
I |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Индуктивность соленоида (тороида): |
|
|
|
|||||||
L |
|
N 2 |
|
S |
, или |
L |
|
n2 |
V , |
|
0 |
|
0 |
||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где N – число витков, l – длина соленоида, S – площадь сечения соленоида,
V S l – его объём, |
n |
N |
– плотность намотки соленоида. |
|
|||
l |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
ЭДС самоиндукции si , возникающая в катушке с индуктивностью L, |
|||||||
при изменении силы тока в ней: |
|
|
|
||||
si L |
I |
, |
или, точнее, |
si L |
dI |
L I . |
|
t |
dt |
||||||
|
|
|
|
|
74
Заряд, прошедший через поперечное сечение проводника в замкнутом контуре при возникновении в нём индукционного тока при изменения магнитного потока:
q
R
где R – сопротивление контура; 1 2 – изменение потокосцепления.
Переходные процессы в электрических цепях. Электромагнитные колебания и волны
Ток при размыкании R-L – цепочки (при отключении источника тока
без разрыва цепи, см. рис. 4.13):
|
|
|
R |
t |
|
|
|
|
t |
|
I I |
0 |
e L |
, |
или |
I I |
0 |
e , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где I0 – сила тока в цепи при t=0, t – время, |
||||||||||
прошедшее с момента размыкания цепи, R – |
||||||||||
активное сопротивление цепи, L – индуктивность |
цепи; |
L |
– постоянная |
времени |
R-L – |
Рис. 4.13 |
|||
|
||||||||
R |
|
|||||||
цепочки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ток при замыкании R-L – цепочки (рис. 4.14, |
|
|||||||
R – активное сопротивление цепи, L – |
|
|||||||
индуктивность цепи): |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
I t |
|
|
R |
t |
|
|
|
|
|
1 e L |
. |
|
|
||
|
|
|
R |
|
|
|
|
Рис. 4.14 |
|
|
|
|
|
|
|
Энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре:
W |
L I 2 |
|
W |
2 |
W |
|
|
, или |
|
, или |
|||
2 |
2 L |
Здесь I – сила тока в контуре, L – его индуктивность, полное потокосцепление, N – число витков. В случае N 1:
I .
2
N L I –
|
|
|
|
|
|
L I 2 |
|
2 |
I |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2L |
|
|
|
|||
Объёмная плотность энергии магнитного поля (энергия единицы |
|||||||||||||||
объёма; w |
dW |
): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
H B |
|
или w |
|
0 |
H 2 |
, или w |
B2 |
||||||
|
|
, |
|
|
|
|
, |
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 0 |
где H – напряжённость магнитного поля, B – магнитная индукция, – магнитная проницаемость; 0 – магнитная постоянная.
75
Закон сохранения энергии для идеального колебательного контура
(контур без активного сопротивления, R=0, см. рис. 4.15):
|
q2 |
L I 2 |
C U 2 |
L I 2 |
q2 |
|
C U 2 |
|
L I 2 |
|||||
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
. |
|
2 |
2 |
2 |
2C |
2 |
2 |
||||||||
|
2C |
|
|
|
|
|
|
Здесь L – индуктивность контура; С – его электроёмкость.
Дифференциальное уравнение гармонических
колебаний для контура без активного сопротивления (рис.4.15):
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
q 0 |
|
|
|
2 |
Рис. 4.15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
q |
|
, |
или |
0 |
q 0 , |
|||||||
|
|
|
|
LC |
q |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где 0 |
|
|
1 |
|
|
– |
циклическая |
частота |
свободных колебаний («собственная |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
LC |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частота»).
Зависимость заряда на конденсаторе от времени для свободных колебаний в контуре без сопротивления (рис. 4.15):
qq0 cos( 0 t 0 ) .
Формула Томсона. Период собственных колебаний в контуре без активного сопротивления (рис. 4.15):
T2 L C .
Длина волны, на которую настроен колебательный контур:
c T , или |
|
c |
. |
|
|||
|
|
Здесь c – скорость распространения электромагнитных волн в вакууме;
T 1 – период колебаний, – частота.
Скорость распространения электромагнитных волн в среде с
диэлектрической проницаемостью среды, равной ε, и магнитной проницаемостью, равной μ:
|
|
c |
||
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний для контура,
содержащего ёмкость C, индуктивность L и активное сопротивление R (рис.
4.16):
|
|
|
R |
|
|
|
1 |
q 0 , |
|
|
|
|
2 |
|
q |
|
q |
|
или |
0 |
q 0 . |
||||||||
|
L |
|
LC |
q |
2 q |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь q – |
заряд конденсатора, |
|
R |
– коэффициент |
|
|||||||||
2L |
|
|||||||||||||
затухания, 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
– собственная частота. |
|
|
|
|
|
|
Зависимость заряда на конденсаторе от времени
для затухающих колебаний в контуре с активным сопротивлением (рис. 4.16, 4.17):
Рис. 4.16
76
qq0e t cos( t 0 ) .
Циклическая частота затухающих колебаний:
|
|
|
|
|
|
1 |
|
R 2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||
, или |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
LC |
2L |
|||
|
|
|
|
|
|
Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени (рис.
4.17):
A(t) q0 e t .
Логарифмический декремент затухания
(смысл обозначений см. на рис. 4.17):
ln A(t) .
A(t T )
Связь логарифмического декремента и
коэффициента затухания
T .
Добротность колебательного контура:
Q |
. |
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.17 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При не слишком большом затухании, то есть |
|
|
|
|
|
|
|
||||
при δ<<ω0: |
W t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Q 2 |
|
|
Q |
1 |
|
|
L |
||||
|
, |
или |
|
|
|
|
. |
||||
W t W t T |
R |
C |
Добротность обратно пропорциональна относительной убыли энергии W колебаний за время, равное одному периоду.
Раздел 4. Задачи
241.Бесконечно длинный провод с током I=100 А изогнут так, как показано на рис. 4.18. Определить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R=10 см.
242.Магнитный момент pm тонкого проводящего кольца pm=5 A∙м2. Определить магнитную индукцию В в точке А, находящейся на оси кольца и удаленной от точек кольца на расстояние r=20 см (рис. 4.19).
243.По двум скрещенным под прямым углом бесконечно длинным проводам текут токи I и 2I (I=100 A). Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 4.20). Расстояние d=10 см.
244.По бесконечно длинному проводу, изогнутому так, как это показано на рисунке 4.21, течёт ток I=200 A. Определить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R=10 см.
245.По тонкому кольцу радиусом R=20 см течет ток I=100 A. Определить магнитную индукцию В на оси кольца в точке А (рис. 4.22). Угол β = π/3.
77
246. По двум бесконечно длинным проводам, скрещенным под прямым углом, текут токи I1 и I2=2I1 (I1=100 А). Определить магнитную индукцию В в точке А, равноудаленной от проводов на расстояние d = 10 см (рис. 4.23).
Рис. 4.18 |
Рис. 4.19 |
Рис. 4.20 |
Рис. 4.21 |
|
Рис. 4.22 |
Рис. 4.23 |
Рис. 4.24 |
Рис. 4.25 |
78
247. По бесконечно длинному проводу, изогнутому так, как это показано на рис. 4.24, течет ток I=200 A. Определить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R=10 см.
248.По тонкому кольцу течёт ток I=80 A. Определить магнитную индукцию В на оси кольца в точке А, равноудаленной от точек кольца на расстояние r=10 см (рис.
4.25). Угол α = π/6.
249.По двум бесконечно длинным прямым параллельным
проводам текут одинаковые токи I=60 A. Определить |
Рис.4.26 |
магнитную индукцию В в точке А, равноудаленной от проводов на расстояние d=10 см (рис. 4.26). Угол β = π/3.
250.Бесконечно длинный провод с током I=50 A изогнут так, как это показано на рис. 4.27. Определить магнитную индукцию В в точке А, лежащей на биссектрисе прямого угла на
расстоянии d=10 см от его вершины.
251.По контуру в виде равностороннего треугольника
идёт ток I=40 A. Длина стороны треугольника а=30 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения высот.
252. По контуру в виде квадрата идёт ток I=50 A. Длина стороны квадрата а=30 см. Определить магнитную индукцию пересечения диагоналей.
Рис.4.27
В в точке
253.По тонкому проводу, изогнутому в виде прямоугольника, течёт ток I=60 A. Длины сторон прямоугольника равны а=30 см и b=40 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения диагоналей.
254.Тонкий провод изогнут в виде правильного шестиугольника. Длина стороны шестиугольника d=10 см. Определить магнитную индукцию В в центре шестиугольника, если по проводу течёт ток I=25 A.
255.По двум параллельным проводам длиной l=3 м каждый текут одинаковые токи I=500 A. Расстояние между проводами d=10 см. Определить силу взаимодействия проводов. Считать l>>d.
256.По трём прямым параллельным проводам, находящимся на одинаковом расстоянии а=10 см друг от друга, текут одинаковые токи I=100 A.
Вдвух проводах направления токов совпадают. Определить силу, действующую на отрезок длиной l=1 м каждого провода.
257.По двум тонким проводам,
изогнутым в виде кольца радиусом R=10 см, |
R |
|
|
|||
|
|
|
||||
текут одинаковые токи I=10 A (рис. 4.28). |
I |
|
d |
|||
|
||||||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Найти силу взаимодействия этих колец, |
|
|
|
|||
если плоскости, |
в которых лежат кольца, |
I |
|
|
||
параллельны, |
а |
расстояние |
между |
|
|
|
|
|
|
центрами колец d=1 мм.
258. По витку радиусом R=5 см течет
ток I=10 A. Чему равен магнитный момент pm кругового тока?
79
259.Короткая катушка содержит N=1000 витков тонкого провода. Катушка имеет квадратное сечение со стороной а=10 см. Найти магнитный момент катушки при силе тока I=1 A.
260.Тонкое кольцо радиусом R=10 см несёт заряд q=10 нКл. Кольцо равномерно вращается с частотой ν=10 с-1 относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр. Определить магнитный момент pm, обусловленный вращением кольца.
261.Проволочный виток радиусом R=5 см находится в однородном
магнитном поле напряженностью H=2 кА/м. Плоскость витка образует угол α=60° с направлением поля. По витку течет ток силой I=4 A. Найти вращающий момент М, действующий на виток.
262.Короткая катушка площадью поперечного сечения S=150 см2, содержащая N=200 витков провода, по которому течёт ток I=4 A, помещена в однородное магнитное поле напряженностью H=8 кА/м. Определить
магнитный момент pm катушки, а также вращающий момент М, действующий на нее со стороны поля, если ось катушки составляет угол α=60° с линиями поля.
263.По квадратной проволочной рамке со стороной а=12 см течёт ток I=3,5 A. Найти напряжённость магнитного поля H на расстоянии h=27 см от плоскости рамки на перпендикуляре к её плоскости, проведённом через центр рамки.
264.По квадратной проволочной рамке со стороной а=38 см течёт ток. Напряженность магнитного поля на расстоянии h=27 см от плоскости рамки на перпендикуляре к её плоскости, проведенном через центр рамки, H=0,29 А/м. Определить ток I.
265.Ион с зарядом q=6∙e (e – элементарный заряд) и массой M=12∙m (m – масса протона) ускоряется разностью потенциалов U=6,7 кВ и влетает в однородное магнитное поле напряжённостью H=9,2 кА/м перпендикулярно его силовым линиям. Определить радиус R траектории иона.
266.Ион с зарядом e (e – элементарный заряд) и массой M=2∙m (m – масса протона) ускоряется разностью потенциалов U и влетает в однородное магнитное поле напряженностью H=19 кА/м перпендикулярно его силовым линиям. Траектория иона имеет радиус R=75 см. Определить U.
267.Ион с зарядом e (e – элементарный заряд) и массой m (m – масса
протона), энергия которого равна W, влетает в однородное магнитное поле напряжённостью H=21 кА/м под углом φ=80° к направлению силовых линий. Шаг винтовой линии, по которой ион движется в поле, равен h=45 см. Определить энергию иона W.
268.Частица с зарядом e (e – элементарный заряд) и массой m (m – масса
протона) влетает в однородное магнитное поле с индукцией В=0,3 Тл со скоростью υ=1400 км/с под углом φ=35° к направлению поля. Определить радиус R винтовой линии, по которой движется частица.
269.Перпендикулярно магнитному полю с индукцией В=0,1 Тл
возбуждено |
электрическое |
поле |
напряженностью |
Е=100 |
кВ/м. |
80