РДЗ 20 Вариант / Методички / 1

3

ЗМІСТ

1

КРАТНІ ІНТЕГРАЛИ ТА ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОЛЯ....…4

1

.1 Подвійний інтеграл……….......………….…………..........4

1

.2 Криволінійний інтеграл. ….......…………….…………....8

1

.3 Теорія поля. ………………………......……....................11

2

ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ...............

18

2

.1 Комплексні числа та дії над ними...............................

18

2

.2 Основні елементарні функції комплексної змінної......

23

2

.3 Аналітичні функції....................................................

26

2

.4 Інтегрування функції комплексної змінної.................

27

2

.5 Інтегральна формула Коші.........................................

31

2

.6 Ряди Тейлора та Лорана.............................................

33

2

.7 Нулі аналітичної функції..........................................

40

2

.8 Ізольовані особливі точки.........................................

41

2

.9 Лишки......................................................................

42

3

ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ..........................................

45

3

.1 Визначення перетворення Лапласа. Оригінал та

зображення функції........................................................

45

3

.2 Властивості перетворення Лапласа............................

47

3

.3 Знаходження оригінала по зображенню.....................

52

3

.4 Розв’язання задачі Коші для звичайних лінійних

диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами....

55

4

РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНІ ЗАВДАННЯ.……..……….57

4

.1 Завдання 1…………………………….............................57

4

.2 Завдання 2…………………………….............................61

4

.3 Завдання 3…………………………….............................63

4

.4 Завдання 4…………………………….............................64

4

.5 Завдання 5…………………………….............................67

4

.6 Завдання 6…………………………….............................68

4

.7 Завдання 7…………………………….............................70

4

.8 Завдання 8…………………………….............................71

4

.9 Завдання 9…………………………….............................73

4

.10 Завдання 10……………………………..........................73

4

.11 Завдання 11……………………………..........................74

4

.12 Завдання 12……………………………..........................75

4

.13 Завдання 13……………………………..........................78

4

.14 Завдання 14……………………………..........................81

Контрольні питання.....................................................................................

83

1

1− x2

òdx

ò f (x; y)dy

−1

−

1− x

2

уявимо у вигляді двох областей: Dl-обмежену зліва i справа вітками

параболи x = ± 1− y

(0 ≤ у ≤ l), i D2

обмежену дугами кола

x= ± 1− y2

(-1 ≤ у ≤ 0).

1− x2

1− y2

1

1

1− y

0

Тоді òdx

ò f (x, y)dy = òdy

ò f (x, y) + òdy

ò f (x, y)dx

−1

−

1− x2

0

− 1− y

−1

−

1− y2

Приклад 1.2

лініями x − 4y + 7 = 0 ,

Обчислити

площу

фігури,

обмеженої

D1

D2

2

2x

2

æ

x + 7

ö

7 (x -1)2

2

S1 = òòdxdy = òdx

òdy = òç

2x -

÷dx =

=

4

4 2

D

0

(x+7)/ 4

0

è

ø

1

1

7

1

7

=

×

=

(кв. одиниць).

4

8

2

(x+14) / 4

òò

5

5

æ x +14

x + 7 ö

21

ò

ò

ò

è

4

4 ø

4

S2 =

dxdy

=

dx

dy

=

ç

-

÷dx =

(кв.одиниць).

D2

2

(x+7) / 4

2

Тоді, площа даної фігури:

S =

7

+

21

=

49

= 6

1

(кв. одиниць).

8

8

8

4

6

Приклад 1.3

Обчислити òò(x + 2y)dxdy

D : y = x2; y = 4

D

y

4

-2

o 2 x

Розв’язок:

Рисунок 1.3

1-й спосіб.

4

y

4

x2

y

òò(x + 2y)dxdy = òdy

ò

(x + 2y)dx = ò(

+ 2yx)

dy =

2

D

0

−

y

0

−

y

4

4

4

3

5

= ò(

y

+ 2y

y

-

y

+ 2y

y

)dy = 4òy2 dy =

8

y2

=

256

2

5

0

2

0

0

5

Приклад 1.4.

Обчислити

òòln(4 + x2 + y2 )dxdy

D : x2 + y2 = 4; y = x; y = 0; (x ³ 0)

D

здійснюється за формулами x = ρcosϕ; y = ρsin ϕ.

Рівняння кола

x2 + y2 = 4 у полярній

системі координат буде

мати вигляд

ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin 2 ϕ = 4

або

ρ = 2 .

Тоді òòln(4 + x2 + y2 )dxdy =

D

= òòln(4 + ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin 2 ϕ)ρdϕdρ =

D

π

2

π

2

4

1

4

= òdϕòln(4 + ρ2)ρdρ =

òdϕòln(4 + ρ2 )d(4 + ρ2) =

2

0

0

0

0

= π

(4 + ρ2 )(ln(4 + ρ2 ) −1)

2 = π(2ln 2 −

1

) .

8

0

2

1

a

a2 −x2

V= òò

a2 - x2 dxdy = ò a2 - x2 dx

òdy =

8

D

0

0

b

¢

òP(x, y)dx + Q(x, y)dy = ò(P(x, y(x)) + Q(x, y(x))y (x))dx

L

a

I= ò1 [x × x2 + (x2 - x) *2x]dx = ò1 (3x2 - 2x2)dx = 3

x4

1 - 2

x3

1 =

1

4

3

12

0

0

0

0

I = ò1 [(y2 * y)2y + (y − y2)]dy = ò1 (2y4 + y − y2 )dy = 2

y5

1 +

y2

1 -

5

2

0

0

0

0

-

y3

1

=

2

+

1

−

1

=

17

3

0

5

2

3

30

y − yA

=

x − xA

;

yB − yA

xB − xA

y − 2

x −1

3

1

y′ =

3

=

. Звідкіля маємо y =

x

+

;

;

5−2

3−1

2

2

2

9

13

′2

dl = 1+ y

dx =

1+

4dx =

dx .

2

3

13

ò(7x − 2y)dl = ò(7x − 3x −1)

dx =

l

1

2

10

3

13

13

(2x2

3 = 7

=

ò(4x −1)dx =

− x)

13

.

2

2

1

1

y

x

-2

o

l

0

−2

−2

x

2

x

3

x

5

= ò (3x + 4x2

+ 2x4

+ 2)dx = (3

+ 4

+ 2

+ 2x)

=

0

2

3

5

0

32

64

322

= 6 −

−

− 4 = −

.

3

5

15

виконуватись умова

∂P

=

∂Q

, P та Q вирази при dx та dy в

∂y

∂x