Семестровая работа
.doc
Дано:
Компоненты тензора напряжений
σx = 80 МПа; σy = 70 МПа; σz = -60 МПа;
τxy = -30 МПА; τxz = 0; τyz = 0 МПа.
Определить:
-
Аналитическая часть:
-
написать кубическое уравнение, определить главные нормальные напряжения;
-
определить направляющие косинусы;
-
определить взаимное расположение главных и заданных случайных осей (x,y,z).
-
Графическая часть:
-
по найденным главным напряжениям построить круги мора;
-
с помощью кругов мора определить значение нормального σn и касательного τn напряжений на площадке с направляющими косинуса a1 = 0,5; a2=0,707; a3=0,5.
Решение:
Составим матрицу тензора напряжений
, Мпа (1)
Нарисуем элементарный объем – картина напряжений
Очевидно, что на площадке z τ = 0 МПа. Значит, эта площадка является главной, а действующее на ней напряжение является одним из тройки главных нормальных напряжений. Примем что одно из главных σ’=. Это один из трех главных корней кубического уравнения:
МПа (2)
(3)
(4)
Получаем кубическое уравнение в числовом виде:
= 0
Поскольку одно из главных напряжений направлено по оси z, очевидно что 2 других расположены в плоскостях x, y, т.е. можно найти их решая плоскую задачу теории плоского напряженного состояния в плоскости xy.
МПа
;
;
Таким образом, учитывая неравенство :
, Мпа
Поверки:
1) 90 МПа
2) МПа2
Совпадает 4275 ≈4300МПа2;
Погрешность составляет = 0,58%
3) МПа3
Совпадает – 282000 = - 282000МПа3.
Таким образом, 3 проведенные проверки показали, что корни кубического уравнения вычислены правильно. При этом ось «3» совпадает с осью z случайной системой координат, а оси «1» и «2» расположены в плоскости xy (но как пока не известно).
Что бы установить их расположение проделываем следующий анализ, т.е. определим направляющие косинусы «2» и «1» главных осей:
Для площадки 1
(6)
Для площадки 2
(7)
Из уравнений [(6) и (7)] очевидно, что = 0, потому что []
Вывод: Если =0, следовательно, cosα3=0 и значит α1= 90ᵒ. Ось «3» совпадает с осью z, а значит является нормалью к плоскости xy.
Этот вывод совпадает с ранее принятым утверждением, что , т.е. фактически является дополнительной проверкой правильности определения . Таким образом, эта проверка дает окончательный ответ, какое это главное напряжение из 3ки чисел. Т.е. является окончательной проверкой.
Решаем первые 2 уравнения из группы (6), (7) используя условие , в нашем случае:
(*)
Выражаем и подставляем в (*)
→ (**)
Таким образом, угол между осями «x» и «1» α1 = arccos= 85ᵒ
Определим направляющий косинус между «y» и осью «3»
Проверка 1
Таким образом, 1 проверка удовлетворяется.
Тогда угол между осями «x» и «2» α2 = arccos= 0ᵒ
Проверка 2
α2’+ α1’= 85 + 0 = 84ᵒ,
погрешность составляет , что допустимо при технических расчетах.
Из группы формул (7) получаем:
подставим в уравнение (*) → → →
Таким образом, угол между осями «y» и «1» α1 = arccos= 85ᵒ
Определим направляющий косинус между «y» и осью «3»
Проверка 1
Таким образом, 1 проверка удовлетворяется.
Тогда угол между осями «y» и «2» α2 = arccos= 0ᵒ
Проверка 2
α2’’+ α1’’= 85 + 0 = 84ᵒ,
погрешность составляет , что допустимо при технических расчетах.
|
|
|
|
|
|
|
Лист |
|
|
|
|
|
|
||
|
|||||||
Изм. |
Кол.уч. |
Листтт |
№ док. |
Подп. |
Дата |