отчёт_lab1

_{МИНОБРНАУКИ РОССИИ}

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра высшей математики №2

отчет

по лабораторной работе №1

по дисциплине «Статистика случайных процессов»

Тема: Исследование характеристик случайных процессов

Студент гр. 3381		Сучков А.И.
Преподаватель		Егоров В.А.

Санкт-Петербург

2018

Цель работы.

Научится находить различные характеристики случайных процессов, такие как математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция (в том числе и нормированная), спектральная плотность.

Основные теоретические положения.

Функция , где , (t – время, или , Ω – пространство элементарных событий) называется случайным процессом (с.п.). В дальнейшем с.п. будем обозначать сокращенно или X.

Рассматриваются случайные процессы с действительными значениями. При фиксированном значении является случайной величиной, которая называется сечением случайного процесса в момент времени  t₀. При фиксированном значении является неслучайной (обычной) функцией от времени t, которая называется реализацией случайного процесса.

При фиксированном значении t сечение является случайной величиной. Пусть для любого существует математическое ожидание Математическим ожиданием с.п. называется неслучайная функция от времени t:

.

Свойства математического ожидания (м.о.) с.п. Пусть ,  – случайные процессы, – неслучайная функция, :

1. ;

2. ;

3. ;

4. , если сечения , некоррелированы при каждом ;

5. .

Пусть при каждом фиксированном t для сечения определена дисперсия . Дисперсией с.п. называется неслучайная функция от времени t:

.

Среднеквадратическим отклонением с.п. называется величина:

.

Свойства дисперсии с.п. Пусть ,  – случайные процессы,  – неслучайная функция, :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. , если сечения , некоррелированы при каждом .

Пусть – центрированный с.п. Корреляционной функцией с.п. называется неслучайная функция от двух аргументов t₁, t₂:

.

Нормированной корреляционной функцией с.п. называется неслучайная функция:

.

Свойства корреляционной функции с.п. Пусть – случайный процесс, U – случайная величина, – неслучайная функция:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Пусть , – случайные процессы. Взаимной корреляционной функцией с. п. , называется неслучайная функция от двух аргументов t₁, t₂:

.

Два с.п. , называются некоррелированными, если . Нормированной взаимной корреляционной функцией с.п. , называется неслучайная функция:

.

Свойства взаимной корреляционной функции. Пусть , – случайные процессы, , – неслучайные функции:

1. 

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Пусть – случайный процесс, – его производная. Тогда верны следующие свойства:

1. ;

2. ;

3. .

Пусть – случайный процесс, . Тогда выполняются следующие свойства:

1. ;

2. ;

3. .

Постановка задачи.

Задание №1: Найти математическое ожидание , корреляционную функцию , дисперсию случайного процесса , где U, V – некоррелированные случайные величины.

Задание №2: Найти корреляционную функцию и дисперсию , если и – некоррелированные случайные процессы и даны корреляционные функции и .

Задание №3: , где g(t), h(t) – неслучайные функции; X(t), Y(t) – центрированные случайные процессы с корреляционными функциями и взаимной корреляционной функцией . Найти математическое ожидание , корреляционную функцию , дисперсию , нормированную корреляционную функцию случайного процесса .

Задание №4: Найти математическое ожидание , корреляционную функцию , дисперсию , нормированную корреляционную функцию случайного процесса , не дифференцируя Найти взаимную корреляционную функцию и нормированную взаимную корреляционную функцию . U – случайная величина.

Задание №5: , где f(t), g(t), h(t) – неслучайные функции; U, V – некоррелированные случайные величины (см. табл. 1). Найти математическое ожидание , корреляционную функцию , дисперсию случайного процесса , не дифференцируя X(t).

Задание №6: , где f(t) – неслучайная функция; U – случайная величина,

.

Найти математическое ожидание , корреляционную функцию , дисперсию , взаимные корреляционные функции и не интегрируя X(t).

Задание №7: – случайная величина; U – случайная величина;

.

Найти корреляционную функцию , дисперсию , нормированную корреляционную функцию случайного процесса , не интегрируя X(t).

Задание №8: Доказать, что случайный процесс стационарен в широком смысле. Проверить свойство эргодичности для математического ожидания, корреляционной функции. Найти дисперсию случайного процесса. U, V – некоррелированные случайные величины.

Задание №9: – корреляционная функция стационарного случайного процесса . Найти корреляционную функцию, дисперсию производной взаимную корреляционную функцию .

Задание №10: . Найти корреляционную функцию, дисперсию случайного процесса , взаимную корреляционную функцию . В задачах, в которых корреляционная функция содержит , рассмотреть только случай .

Задание №11: – корреляционная функция стационарного случайного процесса . Найти его спектральную плотность.

Выполнение работы.

Задание №1

Дано:

; ;

Решение: Сначала необходимо вычислить математические ожидания и дисперсии случайных величин U и V: .

Математическое ожидание от суммы случайных процессов равно сумме математических ожиданий от слагаемых:

.

Теперь необходимо найти корреляционную функцию. Поскольку прибавление к случайному процессу неслучайной функции t² не влияет на корреляционную функцию, получаем:

.

Так как случайные процессы и некоррелированы из-за некоррелированности случайных величин U, V, получим:

,

;

.

Таким образом,

.

Поскольку, , получим:

Задание №2

Дано:

; ;

Решение: Прибавление к случайному процессу неслучайной функции e^t не влияет на корреляционную функцию. Далее, из-за некоррелированности случайных процессов и имеем:

;

,

.

Таким образом,

.

Поскольку, , получим:

.

Задание №3

Дано:

; ; ;

Решение: Так как X(t), Y(t) – центрированные случайные процессы, то их математические ожидания равны нулю. Таким образом:

.

Прибавление неслучайной функции t² к случайному процессу не меняет его корреляционной функции, то получаем:

;

;

;

;

.

Таким образом,

Поскольку, , получим:

.

По определению нормированной корреляционной функции:

.

Таким образом,

Задание №4

Дано:

; ;

Решение: Сначала необходимо вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины U: .

Математическое ожидание случайного процесса X(t):

.

Корреляционная функция случайного процесса X(t):

.

Дисперсия случайного процесса X(t) имеет вид:

.

Поскольку, , получим:

.

Поскольку, , получим:

.

Дисперсия случайного процесса Y(t):

.

Нормированная корреляционная функция имеет вид:

.

Взаимная корреляционная функция имеет вид:

.

Нормированная взаимная корреляционная функция имеет вид:

Задание №5

Дано:

; ; ;

Решение: Сначала необходимо вычислить математические ожидания и дисперсии случайных величин U и V: .

Математическое ожидание случайного процесса X(t) имеет вид:

.

Корреляционная функция случайного процесса X(t) имеет вид:

Математическое ожидание производной случайного процесса X(t) имеет вид:

.

Корреляционная функция производной случайного процесса X(t) имеет вид:

Взаимные корреляционные функции случайного процесса X(t) и его производной имеют вид:

.

Математическое ожидание случайного процесса Y(t) имеет вид:

Корреляционная функция случайного процесса Y(t) имеет вид:

;

;

;

;

;

Дисперсия случайного процесса Y(t) имеет вид:

Задание №6

Дано:

; ;

Решение: Сначала необходимо вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины U: .

Математическое ожидание случайного процесса X(t) имеет вид:

.

Корреляционная функция случайного процесса X(t) имеет вид:

.

Математическое ожидание случайного процесса Z(t) имеет вид:

.

Корреляционная функция случайного процесса Z(t) имеет вид:

Дисперсия случайного процесса Z(t) имеет вид:

.

Взаимные корреляционные функции случайных процессов X(t) и Z(t) имеют вид:

;

.

Задание №7

Дано:

;; ;

Решение: Корреляционная функция случайного процесса X(t) имеет вид:

.

Корреляционная функция случайного процесса Z(t) имеет вид:

.

Взаимные корреляционные функции случайных процессов X(t) и Z(t) имеют вид:

;

.

Корреляционная функция случайного процесса Y(t) имеет вид:

Дисперсия случайного процесса Y(t) имеет вид:

.

Нормированная взаимная корреляционная функция имеет вид:

Задание №8

Дано:

; ;

Доказательство: .

Математическое ожидание случайного процесса X(t) имеет вид:

.

Корреляционная функция случайного процесса X(t) имеет вид:

.

Таким образом, , а корреляционная функция зависит только от (t₂ – t₁), следовательно, случайный процесс X(t) стационарен в широком смысле.

Необходимо проверить свойство эргодичности относительно математического ожидания m_X. Пусть – реализация случайного процесса X(t). Преобразование:

,

где . Стационарный случайный процесс X(t) называется эргодическим относительно математического ожидания m_X, если для любой его реализации x(t)

.

Проверка данного равенства:

–

следовательно, случайный процесс X(t) эргодичен относительно математического ожидания.

Стационарный случайный процесс X(t) называется эргодическим относительно корреляционной функции k_X(τ), если для любой его реализации x(t)

.

Проверка данного равенства:

что не совпадает с при . Таким образом, равенство выполняется не для всякой реализации x(t) случайного процесса X(t), следовательно, случайный процесс X(t) не является эргодическим относительно корреляционной функции.

Дисперсия случайного процесса X(t) имеет вид:

.

Задание №9

Дано:

Решение: Пусть . Тогда . Имеем:

Так как функция – четная, то, доопределив полученную функцию по четности на интервале , получим при .

Дисперсия случайного процесса X(t) равна .

Взаимная корреляционная функция имеет вид:

,

,

Задание №10

Дано:

; ;

Решение: При имеем: , где . Тогда:

;

Дисперсия случайного процесса Z(t) имеет вид:

.

При условии , взаимная корреляционная функция случайных процессов X(t) и Z(t) имеет вид:

.

Задание №11

Дано:

Решение: Спектральная плотность имеет вид:

.

Выводы.

В ходе выполнения лабораторной работы были получены навыки нахождения различных характеристик случайных процессов, такие как математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция (в том числе и нормированная), спектральная плотность.