контр.раб. выс.мат / контрольная высш.мат. вариант 26

i	(ai-1;ai)	xi	ni	ni/n	xini				pi		ni
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	(659,7;662,3)	661	2	0,021	1322	873842	-2,85	-0,4978	0,0124	6,0135	6	0,0000
2	(662,3;664,9)	663,6	4	0,042	2654,4	1761460	-2,18	-0,4854	0,0509
3	(664,9;667,5)	666,2	12	0,126	7994,4	5325869	-1,51	-0,4345	0,1322	12,559	12	0,0249
4	(667,5;670,1)	668,8	23	0,242	15382,4	10287749	-0,85	-0,3023	0,2309	21,9355	23	0,0517
5	(670,1;672,7)	671,4	22	0,232	14770,8	9917115	-0,18	-0,0714	0,2593	24,6335	22	0,2815
6	(672,7;675,3)	674	24	0,253	16176	10902624	0,49	0,1879	0,1870	17,765	24	2,1883
7	(675,3;677,9)	676,6	5	0,053	3383	2288938	1,15	0,3749	0,0907	11,8845	8	1,2697
8	(677,9;680,5)	679,2	2	0,021	1358,4	922625,3	1,82	0,4656	0,0280
9	(680,5;683,1)	681,8	1	0,010	681,8	464851,2	2,49	0,4936	0,0064
10	683,1	-	-	-	-	-	3,15	0,5	-	-	-	-
Всего		-	95	1	63723,2	42745074	-	-	0,9978	94,791	95	3,816

На основании полученных данных заполняем столбцы 5,6,7 таблицы 2.

Для построения гистограммы распределения составим расчётную таблицу 3.

Таблица 3

(ai-1;ai)	ni/(nh)
(659,7;662,3)	0,0081
(662,3;664,9)	0,0162
(664,9;667,5)	0,0486
(667,5;670,1)	0,0931
(670,1;672,7)	0,0891
(672,7;675,3)	0,0972
(675,3;677,9)	0,0202
(677,9;680,5)	0,0081
(680,5;683,1)	0,0040

Строим гистограмму распределения.

n_i/(nh)

0,1

0,05

0 659,7 683,1 x

Эмпирическую функцию распределения зададим таблично, исходя из данных столбца 5 по правилу накопленных частот.

Таблица 4

ai	659,7	662,3	664,9	667,5	670,1	672,7	675,3	677,9	680,5	683,1
F(ai)	0	0,021	0,063	0,189	0,431	0,663	0,916	0,969	0,990	1

Строим график функции эмпирической функции распределения.

Находим числовые характеристики выборки:

В пользу того, что СВ Х имеет нормальное распределение, говорят следующие факты:

• полигон частот напоминает кривую Гаусса;

• оценивая теоретическое математическое ожидание величиной , а теоретическое среднеквадратическое отклонение величиной , получим:

Исходные данные попадают в этот интервал, то есть подтверждается «правило ». В силу этого при уровне значимости выдвинем и проверим гипотезу о том, что рассматриваемая СВ Х имеет нормальное распределение с функцией плотности распределения с .

Теоретическая функция распределения:

Заполняем столбцы 8-13 таблицы 2, где

В таблице 2 объединены первые два и последние три интервала, так как частота в каждом интервале должна быть не меньше пяти.

Получили: .

Число интервалов с учётом объединения k=6, число параметров распределения r=2. Тогда число степеней свободы: .

По таблице распределения Пирсона при находим: . Так как , то с 95-% уверенностью можно утверждать, что признак Х распределён нормально и его функция плотности имеет вид с .

Находим вероятность попадания СВ Х в интервал . Используем формулу:

Получаем:

Задача № 7.26

Y X	12	15	16	21	24	27
2	2	3
5		10	9	3
8		6	35	5	1
11			4	8	3
14				1	2	4

Решение

Составляем «расширенную» таблицу.

Y X	12	15	16	21	24	27	mx	xmx	x^2mx
2	2	3					5	10	20	13,8
5		10	9	3			22	110	550	16,2
8		6	35	5	1		47	376	3008	16,6
11			4	8	3		15	165	1815	20,3
14				1	2	4	7	98	1372	25,3
my	2	19	48	17	6	4	n=96	759	6765
ymy	24	285	768	357	144	108	1686
y^2my	288	4275	12288	7497	3456	2916	30720
	2	5,5	7,7	9,2	11,5	14

Здесь:

Находим числовые характеристики выборки:

Также найдём сумму:

Выборочный коэффициент корреляции:

Близость r_в к единице говорит о достаточно тесной связи признаков X и Y.

Вычислим статистику:

При по таблице распределения Стьюдента находим для двусторонней критической области: Так как , то с 99-% уверенностью можно говорить о существенности тесной связи между Х и Y.

Уравнение прямой регрессии:

- Y на Х:

- Х на Y:

Строим линии (1) и (2).

Небольшой угол между (1) и (2) также указывает на тесную связь между Х и Y. Далее вычисляем теоретические значения по (1) и (2) и условные средние (из «расширенной» таблицы) и находим отклонения между ними.

x
2	13,8	12,5	1,3
5	16,2	15,1	1,1
8	16,6	17,6	1,0
11	20,3	20,2	0,1
14	25,3	22,7	2,6

y
12	2	4,7	2,7
15	5,5	6,4	0,9
16	7,7	7,0	0,7
21	9,2	9,9	0,7
24	11,5	11,7	0,2
27	14	13,4	0,6

Малость отклонений теоретических и экспериментальных данных также указывает на хорошую согласованность теоретических линий (1) и (2) и экспериментальных данных.

Литература

1) Бородин А. Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. – СПб.: «Лань», 1998.

2) Булдык Г. М. Теория вероятностей и математическая статистика. – Мн.: Выш. шк., 1989.

16