РГР №3 (Математика)

1. Теорема Ферма

 Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а, в) и принимает в точке этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в) значение. Тогда если f(x) дифференцируем в точке х(нулевое),то f’(x)=0

Пусть функция f(x) определена в окрестности точки x0 и дифференцируема в этой точке. Тогда, если функция f(x) имеет локальный экстремум в точке x0, тоf′(x0)=0.

2)Теорема Ролля

    Теорема. Пусть функция    дифференцируема в открытом промежутке  , на концах этого промежутка сохраняет непрерывность и принимает одинаковые значения:  . Тогда существует точка  , в которой производная функции    равна нулю:  

3)Формула Лангража

f(b)-f(a)=f '(c)(b-a)

4) Теорема Коши

1. непрерывны на отрезке [a, b];

2. дифференцируемы в интервале (a, b);

3. x  (a, b) g'(x)!=0  =

5,6) Определение четной и нечетной функции

Функцию y=f(x), x∈X называют чётной, если для любого значения x

из множества X выполняется равенство f(−x)=f(x).

Функцию y=f(x), x∈X  называют нечётной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство f(−x)=−f(x).

7,8) Определение возрастающей и убывающей функции

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых  и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых  и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

9,10) Определение точки разрыва первого и второго рода

1.Если в точке  существуют конечные пределы  и , такие, что , то точка  называется точкой разрыва первого рода.

2. Если хотя б один из пределов  или  не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

11)Необходимые условия возрастания и убывания функции

Необходимое условие возрастания функции. Если функция y = f (х) дифференцируема и возрастает на интервале [а, b], то f '(х) > 0 для всех х из этого интервала.

Необходимое условие убывания функции. Если функция у = f (х) дифференцируема и убывает на интервале [а, b], то f(х)<0 для всех х из этого интервала.

12)Достаточные условия возрастания и убывания функции

Достаточное условие возрастания (убывания функции). Пусть функция у = f (x) дифференцируема на интервале [а, b], Если во всех точках этого интервала f’(x)>0, то функция возрастает на этом интервале, а если f’(х)<0, то функция убывает на этом интервале.

13)Определение точки максимума и точки минимума

1.Точка x = x0 называется точкой максимума, а число f(x0) — максимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x0 , не совпадающих с x0 , выполняется неравенство f(x0)>f(x) .

2. Точка x = x0 называется точкой минимума, а число f(x0) — минимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x0 , не совпадающих с x0 , выполняется неравенство f(x0)< f(x) .

14)Необходимое условие экстремума

Если x0 — точка экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует.

15)Определение критической точки первого рода

Критической точкой первого рода , называются точки в которой первая производная равна нулю или не существует

1. 16) функция непрерывна в окрестности точки ;

2.  или  не существует;

3. производная  при переходе через точку  меняет свой знак.

17,18)Определение графика выпуклого вниз

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

19)Определение точки перегиба

Точкой перегиба графика функции  называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

20)Признаки выпуклости графика

  1. Если f' возрастает на , то f выпукла на  (если f' строго возрастает, то f строго выпукла).

     2. Если , то f выпукла на  (если  обращаясь в нуль, возможно, лишь в конечном числе точек, то fстрого выпукла).

     3. Функция f выпукла тогда и только тогда, когда график функции лежит не ниже касательной, проведенной к нему в любой его точке.

21) Необходимое условие существования точек перегиба

Если точка  — точка перегиба функции  и если  в некоторой окрестности точки  (непрерывная в точке ), то .

22) Определение критической точки второго рода

Критическая точка второго рода - это точка функции, в которой вторая производная функции равна 0

23)Достаточное условие существования точек перегиба

Если функция  непрерывна в точке  и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если  меняет знак при переходе через точку , то точка  —  точка перегиба функции .

24) Определение асимптоты графика

Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

25)

Прямая  называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений  или  равно  или  

26)

Прямая  называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений  или  равно  .

27)

Прямая  называется наклонной асимптотой графика функции , если