РГР 4

1 определение и обозначение функции двух переменных

Функцией двух переменных называется закон, по которому каждой паре значений независимых переменных x, y (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной z (функции). Обозначают: z=f(x,y,) или z = z(x, y)

2 определение частного приращения функции двух переменных по x

Величина _xz = f(x₀+x; y₀)  f(x₀; y₀) называется частным приращением функции z = f(x; y) в точке (x₀; y₀) по аргументу х.

3 определение частного приращения функции двух переменных по y

Величина _yz = f(x₀; y₀+y)  f(x₀; y₀) называется частным приращением функции z = f(x; y) в точке (x₀; y₀) по аргументу y.

4 определение полного приращения функции двух переменных

z = f(x₀+x; y₀+y)  f(x₀; y₀) называется полным приращением функции z = f(x; y) в точке (x₀; y₀).

5 определение и обозначение частные производные по x функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀)

называется предел ,если этот предел существует. Обозначается

6 определение и обозначение частные производные по y функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀)

= предел , если такой существует

7 определение смешанной частной производной функции двух переменных

Производные, взятые последовательно по разным переменным, называются смешанными частными производными.  , .

8 теорема о равенстве смешанных частных производных

Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком (очерёдностью) дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. 

9 определение и формула полного дифференциала функции двух переменных

Полным дифференциалом функции z=f(x;y) двух переменных x и y называется главная часть полного приращения z, линейная относительно приращений аргументов x и y.

dz = 

10 определение точки максимума функции двух переменных

= точка MAX функции , если= наибольшее значение функции в окрестности этой точки

11 определение точки минимума функции двух переменных

= точка MAX функции , если= наименьшее значение функции в окрестности этой точки

12 необходимые условия экстремума функции двух переменных

Пусть функция имеет вэкстремум. Тогдаилибо равны 0, либо равны, либо не существуют.

13 определение стационарной точки функции двух переменных

Точка, в которой обе частные производные первого порядка равны нулю

14 определение критической точки функции двух переменных

Точка, в которой хоть одна частная производная равна нулю

15 достаточные условия экстремума функции двух переменных

Пусть – стационарная точка, дважды непрерывно дифференцируемой функции. Если число, то вфункция имеет экстремум.