monografiya2

Можем записать эту формулу в двух вариантах – в одном случае формула удовлетворяет краевым условиям левого края (индекс L), а в другом – условиям на правом крае (индекс R):

Y	L	(x) Y	матрица	L	(x)c	L

Y

L (x)

,

YR (x) Yматрица R (x)cR Y R (x) .

В произвольной точке имеем

Y	(x)
L

Y	(x)
R

.

Тогда получаем

Yматрица L (x)cL Y L (x) Yматрица R (x)cR Y R (x) ,

Y	матрица	L	(x)c	L	Y	матрица	R	(x)c	R

Y
	R (x)

Y

L

(x)

,

Y	матрица	(x)
	L

Yматрица

		c
	(x)		L	Y
R		c			R (x)
			R

Y
	L (x)

.

То есть получена система линейных алгебраических уравнений традиционного вида с квадратной матрицей коэффициентов

Y	матрица	L	(x)	Y	матрица	R	(x)

cL . cR

для встречного вычисления векторов констант

21

Глава 3. Метод «переноса краевых условий» (прямой вариант метода) для решения краевых задач с нежесткими

обыкновенными дифференциальными уравнениями

Предлагается выполнять матриц [Гантмахер] сразу от интегрирования к краям:

Y (0)

Y (1)

интегрирование по формулам теории некоторой внутренней точки интервала

	(0 x) ,
K(0 x)Y (x) Y
	(1 x) .
K(1 x)Y (x) Y

Подставим формулу для получим:

Y (0)

в краевые условия левого края и

UY (0) u ,
U[K(0 x)Y (x) Y		(0	x)] u ,

UK(0 x)Y (x) u -UY (0 x) .

Аналогично для правых краевых условий получаем:

VY (1) v ,

V[K(1 x)Y VK(1 x)Y (

(x) Y		(1	x)] v
x) v VY					(1	x)

,

.

То есть получаем два матричных уравнения краевых условий, перенесенные в рассматриваемую точку x :

[UK(0 x)] Y (x) u -UY (0 x) ,

[VK(1 x)] Y (x)

	(1
v VY

x)

.

Эти уравнения аналогично объединяются в одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для нахождения решения Y (x) в любой рассматриваемой точке x :

	UK(0 x)	Y (x)
	VK(1 x)

u UY

vVY



(0 x) (1 x)

.

22

Глава 4. Метод «дополнительных краевых условий» для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными

дифференциальными уравнениями

Запишем на левом крае ещё одно уравнение краевых условий:

	MY (0) m .
В качестве строк матрицы	M можно взять те краевые условия, то

есть выражения тех физических параметров, которые не входят в

параметры краевых условий левого края U

или линейно независимы с

ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, а в параметры краевых условий входит только половина физических параметров задачи. То есть, например, если рассматривается задача об оболочке ракеты, то на левом крае могут быть заданы 4 перемещения. Тогда для матрицы M можно взять параметры сил и моментов, которых тоже 4, так как полная размерность такой задачи – 8. Вектор m правой части неизвестен и его надо найти и тогда можно считать, что краевая задача решена, то есть сведена к задаче Коши, то есть найден вектор Y (0) из выражения:

	U	Y (0)		u	,
	M			m

то есть вектор

Y (0)

находится из решения системы линейных

алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей коэффициентов, состоящей из блоков U и M .

Аналогично запишем на правом крае ещё одно уравнение краевых условий:

		NY (1) n ,
где матрица	N	записывается из тех же соображений

дополнительных линейно независимых параметров на правом крае, а вектор n неизвестен.

Для правого края тоже справедлива соответствующая система уравнений:

		V	Y (1)	v	.
		N
				n
Запишем Y (1) K(1 0)Y(0) Y (1 0)					и подставим в последнюю
систему линейных алгебраических уравнений:
	V	[K (1 0)Y (0) Y (1 0)]				v	,
	N					n

23

Запишем вектор

Y

V

K (1 0)Y (0)

v

V

Y

(1 0)

N

n

N

V

v V Y

(1 0)

K(1 0)Y (0)

,

N

n N Y

(1 0)

V

K (1 0)Y (0)

s

.

N

t

(0)

через обратную матрицу:

,

Y (0)	U	1		u
	M			m

и подставим в предыдущую формулу:

VN K(1 0) MU 1 mu st

Таким образом, мы получили систему уравнений вида:

B

u

s

,

m

t

где матрица B известна, векторы u

и s

известны, а векторы m

и t

неизвестны.

Разобьем матрицу B

на естественные для нашего случая 4 блока и

получим:

B

B

u

s

,

11

12

B

B

m

t

21

22

откуда можем записать, что

B u B m s,

11

12

B

u B

m t.

21

22

Следовательно, искомый вектор m

вычисляется по формуле:

m B

1

(s

B u)

12

11

А искомый вектор n

вычисляется через вектор t :

t B21u B22m ,

n t N Y

(1

0) .

24

Глава 5. Метод «половины констант» для решения краевых задач с нежесткими обыкновенными

дифференциальными уравнениями

В данном методе используется предложенная С.К. Годуновым идея искать решение в виде только с половиной возможных искомых констант, однако и формула для возможности начала такого расчета и дальнейшее применение матричных экспонент (матриц Коши) предложены А.Ю. Виноградовым.

Формула для начала счета с левого края только с половиной возможных констант:

	Y (0) U	T	u
		орто
			орто

	M	T	c
		орто

,

Y (0) U T орто

		T		u
	M			орто
		орто		c

.

Таким образом, записана в матричном виде формула для начала счета с левого края, когда на левом крае удовлетворены краевые условия.

Далее запишем VY (1) v	и Y(1) K(1 0)Y (0) Y		(1	0)	совместно:

V[K(1 0)Y (0) Y		(1	0)]

v

,

VK(1 0)Y (0) v VY		(1	0)

и подставим в эту формулу выражение для Y(0):

		T		T			u
VK(1 0)	U		M				орто	v VY		(1	0)
		орто		орто			c

или

		T		T	u
	VK(1 0) U		M		орто
		орто		орто	c

p

.

Таким образом, мы получили выражение вида:

		u
	D	орто
		c

p

,

где матрица D представлена в виде

имеет размерность 4х8 и может быть естественно двух квадратных блоков размерности 4х4:

D	D	uорто	p .
1	2	c

Тогда можем записать:

D u	D c
1 орто	2

Отсюда получаем, что:

p

.

c D2 1 ( p D1uорто ) .

Таким образом, искомые константы найдены.

25

Глава 6. Метод «переноса краевых условий» (пошаговый вариант метода) для решения краевых задач с жесткими

обыкновенными дифференциальными уравнениями

6.1. Метод «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования

Полное решение системы дифференциальных уравнений имеет вид

Y (x) K(x x0 )Y (x0 ) Y				(x	x0 ) .
Или можно записать:
Y (0) K(0 x1 )Y (x1 ) Y				(0	x1 ) .
Подставляем это выражение для Y (0)		в краевые условия левого края
и получаем:
UY (0) u ,
U[K(0 x1 )Y (x1 ) Y		(0 x1 )] u ,
UK(0 x1 )Y (x1 ) u UY				(0	x1 ) .
Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x1						:
U1Y(x1 ) u1 ,

где U1 UK(0 x1 ) и u1	u UY	(0

Далее запишем аналогично

x1 )

.

Y (x ) K(x
1	1

И подставим это выражение

условия точки

x1

:

x	)Y (x
2	2

для

) Y

Y (x1 )

(x	x	)
1	2
в	перенесенные краевые

U1Y(x1 ) u1 ,

			U1[K(x1 x2 )Y (x2 ) Y							(x1	x2 )]		u1 ,
			U K(x x )Y (x ) u U Y (x x ) .
				1	1	2	2	1		1	1		2
Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x2 :
	где U						U2Y(x2 ) u2 ,						(x	x ) .
					U K(x x ) и u				u U Y
И так в точку				2	1	1	2	2		1	1		1	2
	x		переносим матричное краевое условие с левого края

и таким же образом переносим матричное краевое условие с правого края.

Покажем шаги переноса краевых условий правого края. Можем записать:

Y (1) K(1 xn 1 )Y (xn 1 ) Y (1 xn 1 )

Подставляем это выражение для Y (1) в краевые условия правого края и получаем:

26

VY (1)

V[K(1 x		n 1		)Y (x		n 1		)
VK(1 x	n 1		)Y (x		n 1		)

v	,
Y		(1	x				)] v
						n 1
v VY					(1	x			)
								n 1

,

xn 1

Или получаем краевые условия правого края,

:

где Vn 1	Vn 1Y (xn 1 ) vn 1		,
	VK(1 xn 1 ) и vn 1	v VY

Далее запишем аналогично

перенесенные в точку

(1 xn 1 ) .

Y (xn 1 ) K(xn 1 xn 2 )Y (xn 2 ) Y (xn 1 xn 2 )

И подставим это выражение для

условия точки

xn 1

:

Y (x	n 1	)

в перенесенные краевые

Vn 1Y (xn 1 ) vn 1 ,

V

[K(x

n 1

x

n 2

)Y (x

n 2

) Y (x

n 1

x

n 2

)] v

n 1

,

n 1

Vn 1K(xn 1 xn 2 )Y (xn 2 ) vn 1 Vn 1Y

(xn 1 xn 2 ) .

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку

Vn 2Y (xn 2 ) vn 2

,

где V

V

K(x

x

n 2

) и v

n 2

v

n 1

V Y (x

n 1

x

n 2

) .

n 2

n 1

n 1

n 1

xn 2

:

И так во внутреннюю точку

x

интервала интегрирования

переносим матричное краевое условие, как показано, и с левого края и таким же образом переносим матричное краевое условие с правого края и получаем:

		)
U Y (x

V Y (x )

u		,

v .

Из этих двух матричных уравнений с прямоугольными горизонтальными матрицами коэффициентов очевидно получаем одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов:

U
			)
V		Y (x

u v

.

6.2. Случай «жестких» дифференциальных уравнений

В случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается применять построчное ортонормирование матричных краевых условий в процессе их переноса в рассматриваемую точку. Для этого формулы

27

ортонормирования систем линейных алгебраических уравнений можно взять в [Березин, Жидков].

То есть, получив

U Y(x ) u
1	1	1

применяем к этой группе линейных алгебраических уравнений построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:

U	Y (x )
	1орто	1

u1орто

.

И теперь уже в это проортонормированное построчно уравнение подставляем

Y (x1 ) K(x1 x2 )Y (x2 ) Y (x1 x2 ) .

И получаем

U1орто[K(x1 x2 )Y (x2 ) Y (x1 x2 )] u1орто ,

U		K(x	x	)Y (x	) u	U	Y		(x
	1орто
		1	2	2	1орто		1орто		1

x	2	)

.

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку

U2Y(x2 ) u2

,

где U

2

U

1орто

K(x

x

) и u

u

U

Y

(x

x

) .

1

2

2

1орто

1орто

1

2

x2

:

Теперь уже к этой группе линейных алгебраических уравнений применяем построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:

U	Y (x		) u
	2орто	2	2орто

Итак далее.

Ианалогично поступаем с промежуточными матричными краевыми условиями, переносимыми с правого края в рассматриваемую точку.

В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов, состоящую из двух независимо друг от друга поэтапно проортонормированных матричных краевых условий, которая решается методом Гаусса с выделением главного

элемента для получения решения Y (x ) в рассматриваемой точке

x

:

U
орто	Y (x		)
V
орто

uорто

орто

.

28

6.3. Формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений

Вместо формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений в виде [Гантмахер]:

				x
Y		(x x0 ) e	Ax	e	At	F (t)dt
				x0

предлагается использовать следующую формулу для каждого отдельного участка интервала интегрирования:

Y		(x
		j

x	) Y		(x		x	) K (x
				j			j
i					i

x jxi ) K (xi xi

t)F (t)dt

.

Правильность приведенной формулы подтверждается следующим:

Y

Y

(x

(x

Y

j	x	)
	i

j	x	)
	i

(x	j

Y (

Y (x j

Y (x

						x
								j
exp(A(x j					xi )) exp(A(xi t))F (t)dt
						x
								i
	x
	j
	exp(A(x j xi ))exp(A(xi t))F (t)dt
	x
	i
		x
		j
xi )			exp(A(x j			xi xi t))F (t)dt ,
		x
		i
				x j
x j	xi )				exp(A(x j t))F (t)dt ,
				xi
						x j
xi ) exp(Axj )								exp( At)F (t)dt ,
						xi
						x
xi ) exp(Ax)							exp( At)F (t)dt ,

xi

,

,

что и требовалось подтвердить.

Вычисление вектора частного решения системы дифференциальных уравнений производиться при помощи представления матрицы Коши под знаком интеграла в виде ряда и интегрирования этого ряда поэлементно:

29

x

j

Y

(x j xi ) Y

(x j

xi ) K (x j xi ) K (xi t)F (t)dt

x

i

x

j

K (x j

2

(xi t)

2

xi ) (E A(xi t) A

/ 2! ...)F (t)dt

x

i

x

j

x

j

x

j

K (x j

xi )(E F (t)dt A (xi

t)F (t)dt A

2

/ 2!

(xi t)

2

F (t)dt ...).

x

i

x

i

x

i

Эта формула справедлива для случая системы дифференциальных

уравнений с постоянной матрицей коэффициентов

A =const.

Рассмотрим

вариант,

когда

шаги

интервала интегрирования

выбираются достаточно малыми, что позволяет рассматривать вектор F (t) на участке (x j xi ) приближенно в виде постоянной величины

F(xi ) constant,

что позволяет вынести этот вектор из под знаков

интегралов:

		x	j	x	j
Y		(x j xi ) K (x j xi )(E dt A (
		x	i	x	i

Известно, что при T=(at+b) имеем

					x
					j
xi t)dt A			2	/ 2! (xi			t)	2	dt ...)F (t).
					x
					i
T	n	dt		1	T	n 1	const			(при n -1).
		a(n 1)

В нашем случае имеем

(b - t)	n	dt	1	(b - t)	n 1	const	(при n -1).
			(-1)(n 1)

		x j		1
	Тогда получаем		(xi t)n dt		(xi x j )n 1 .
		xi		n 1

Тогда получаем ряд для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений на малом участке

(x j xi ) :

Y (x j xi ) K(x j xi ) (E A(xi x j ) / 2! A2 (xi x j )2 / 3! ...) (x j xi ) F(xi ).

Для случая дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами для каждого участка может использоваться осредненная матрица Ai A(xi ) коэффициентов системы

дифференциальных уравнений.

Если рассматриваемый участок интервала интегрирования не мал, то предлагаются следующие итерационные (рекуррентные) формулы.

Приведем формулы вычисления вектора частного решения, например, Y (x3 x0 ) на рассматриваемом участке (x3 x0 ) через вектора

30