Билеты 3 семестр / вопросы к экзамену

В. математика , 2015 г., третий семестр, (две страницы) (преподаватель Братчиков А.В.)

Найти общие решения дифференциальных уравнений (ДУ)

, ,

, .

Найти частные решения ДУ ,

=0.

Найти общее решение ДУ .

Решите задачу Коши для ДУ .

Найти общее решение ДУ: а) б) в)

Найти общее решение ДУ методом подбора формы частного: a) , б) .

Найти частное решение ДУ, удовлетворяющее данным начальным условиям: .

Найти общее решение ДУ методом вариации произвольных постоянных .

Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство равна 0,8, для второго и третьего устройств эти вероятности соответственно равны 0,9 и 0,95. Найти вероятность того, что при аварии сра­ботают только два устройства?

Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и , помня что они различны, набрал их наудачу. Определить вероятность того, что набраны нужные цифры.

На трех станках при одинаковых и независимых условиях из­готовляют детали одного наименования. На первом ставке изготовляют 10%, на втором – 30%, на третьем – 60% всех деталей. Для каждой детали вероятность быть бездефектной равна 0,7, если она изготовлена на первом станке; 0,8, если она изготовлена на втором станке; 0,9, если она из­готовлена на третьем станке. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь окажется бездефектной.

Пусть взятая наугад деталь оказалась бездефектной. Какова вероятность того, что она из­готовлена на третьем станке?

Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается на время Т. Вероятность отказа каждого из элементов за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что за время Т откажут три элемента.

Вероятность появления события в, каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие появится не менее 70 и не более 80 раз.

Каждая партия, состоящая из 21 приборе, содержит 7 неточных. Из 5 таких партий случайным образом отбирается по одному из каждой партии. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа точных приборов среди отобранных.

Найти параметр А, интегральную функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, построить графики дифференциальной и интегральной функций, если плотность распределения случайной величины задана формулой

Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием v =40 и дисперсией D=200. Найти вероятность попадания случайной величины X в интервал (30, 80).

Дано статистическое распределение выборки объёма n=10

	-2	1	2	3	4	5
	2	1	2	2	2	1

Построить эмпирическую функцию распределения. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а с заданной надёжностью γ=0,95.

Выразить и в виде СДНФ и СКНФ. Выразить и в виде полинома Жегалкина.

Найти первые 4 члена разложения решения дифференциального уравнения в степенной ряд: ; y(0)=1

Теоретические вопросы.

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения и уравнения Бернулли.

Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижения порядка. Линейные дифференциальные уравнения: однородные и неоднородные. Общее решение. Фундаментальная система решений. Метод Лагранжа вариации постоянных. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.

Уравнения с правой частью специального вида. Системы дифференциальных уравнений.

Элементы комбинаторики. Вероятность. Методы вычисления вероятностей. Формулы сложения вероятностей. Условная вероятность. Формулы умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона.

Случайные дискретные величины. Закон распределения и его свойства. Математическое ожидание и дисперсия случайной дискретной величины. Биномиальное распределение. Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность вероятности случайной величины и их свойства. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Нормальное распределение и его свойства.

Генеральная совокупность и выборка. Эмпирическая функция распределения. Оценка параметров распределения. Оценка математического ожидания и дисперсии. Доверительный интервал. Корреляционная зависимость.

Булевы функции. Совершенные нормальные формы (СДНФ, СКНФ). Полином Жегалкина. Графы. Матрицы смежности и инцидентности.

ЗНАТЬ МАТЕРИАЛ ВСЕХ ЛЕКЦИЙ И УМЕТЬ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ РАССМОТРЕННЫЕ НА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ.

.

3