MU_samostoyatelnoy_rabote

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Кубанский государственный технологический университет»

Кафедра электротехники и электрических машин

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА

ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ

Методические указания по самостоятельной работе для студентов очной формы обучения направления

13.03.02 Электроэнергетика и электротехника

Краснодар

2015

Составители:

канд. техн. наук, доц. И. Н. Автайкин, канд. техн. наук, доц. Я. М. Кашин

Численные методы расчета электрооборудования: методические указания по самостоятельной работе для студентов очной формы обучения направления 13.03.02 Электроэнергетика и электротехника / Сост.: И.Н. Автайкин, Я.М. Кашин; Кубан. гос. технол. ун-т. Каф. электротехники и электрических машин. - Краснодар: 2015.-42с.

Изложены цели и задачи изучения дисципилны, программа дисциплины, теоретический материал, содержащий пояснени, порядок и методы выполнения самостоятельных работ, примеры задач с примерами решения, вопросы для самоподготовки.

Ил.27, Табл. 11, Библиогр. 5 назв.

Рецензенты: доц. каф. ЭиЭМ, канд. техн. наук, А.М. Квон доц., канд. техн. наук, зам директора ЗАО Спецэнергостроймонтаж" И.В. Лежепѐков

2

Содержание

Введение………………………………………………………………… 4

1.Цели и задачи дисциплины……………………………………………. 5

2.Программа дисциплины……………………………………………….. 5

3.	Теоретические сведения и примеры решения задач…………………	6
4.	Вопросы для самоподготовки................................................................	41
5.	Список литературы…………………………………………………….	42

3

Введение

Инженерные и научные задачи часто приводят к решению различных уравнений или систем уравнений, описывающих поведение параметров объекта, например, электрический ток через поверхность проводника, магнитные потоки через сечение магнитопровода. Совокупность всех уравнений и дополнительных условий, которым должно удовлетворять решение, называется математической моделью. Найти решение сложных моделей можно только с использованием современных быстродействующих ЭВМ. Решение сложной математической задачи на ЭВМ. Даже для того чтобы воспользоваться стандартной программой, нужно иметь представление о существующих методах решения, их преимуществах, недостатках и особенностях использования. Все математические задачи классифицированы, в некоторые группы. Для каждой группы задач существует набор стандартных методов.

Все методы решения уравнений можно разделить на два класса: точные и приближенные. В точных методах решение получают в виде формул за конечное число операций, однако их можно использовать только для решения уравнений специального вида. В общем случае задачу можно решить только приближенно. Приближенные методы позволяют получить решение в виде бесконечной последовательности, сходящейся к точному решению.

Использование ЭВМ выдвигает дополнительные требования к алгоритму нахождения как точного, так и приближенного решения: он должен быть устойчивым, реализуемым и экономичным. При этом надо иметь в виду, что время приближенного решения зависит от точности, с которой мы хотим получить решение.

В изучаемом курсе познакомимся с основными методами, используемыми для решения различных математических задач. Первым рассматриваемым классом задач будут нелинейные алгебраические уравнения. Потом научимся решать системы линейных алгебраических уравнений и обыкновенные дифференциальные уравнения, приближенно находить производные и интегралы, а также познакомимся с основными понятиями интерполяции (приближения) функций. Каждая тема, кроме теоретического материала, содержит примеры использования методов для решения конкретных задач, описания основных вычислительных алгоритмов, тексты программ реализованы в пакете Mathcad.

4

1. Цели и задачи дисциплины

Курс «Численные методы расчета электрооборудования» ставит своей целью дать будущему специалисту электротехнического направления навыки и умение самостоятельно и эффективно применять методы математического моделирования при описании и исследовании различных электротехнических объектов, подготовить к изучению таких спецкурсов, как «Надежность электрооборудования предприятий и учреждений», «Теория автоматического управления».

Перед студентами, изучающими дисциплину «Численные методы расчета электрооборудования», ставятся следующие задачи:

-изучение основных принципов построения и реализации математических методов и моделей электротехнического оборудования;

-изучение основных принципов анализа и обработки результатов экспериментов;

- изучение методов исследования электротехнического оборудования в переходных режимах с применением вычислительной техники.

2. Программа дисциплины

Дисциплина «Численные методы расчета электрооборудования» изучается в пятом семестре. Дисциплина состоит из семи разделов:

Решение нелинейных уравнений

Основные понятия и методы решения нелинейных уравнений. Условия сходимости решения и ограничения накладываемые на функцию. Литература: [1, c. 4-36].

Интерполирование

Основные методы интерполирования результатов эксперимента. Локальная интерполяция. Глобальная интерполяция.

Литература: [4, c. 10-55], [3, c. 80-105],

Численное интегрирование

Методы прямоугольников, трапеций, парабол (метод Симпсона).

Литература: [2, c. 36-90], [4, c. 25-53],

Численное дифференцирование

Основные методы численного решения однородных дифференциальных уравнений: Метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера, усовершенствованный метод Эйлера – Коши, Метод Рунге-Кута.

Литература: [1, c. 100-130], [5, c. 22-45].

5

3. Теоретические сведения и примеры решения задач

Решение нелинейных уравнений

Метод деления отрезка пополам (метод бисекции)

Допустим, что на отрезке [а,b], расположено искомое значение корня х=с, т. е. с ϵ [а,b]. В качестве начального приближения корня с0 принимаем середину этого отрезка:

a + b с = 2

Далее исследуем значения функции F(x) на концах отрезков [а, со] и [со,b], т.е. в точках а, со, b. Тот из отрезков, на концах которого F(x) принимает значения разных знаков, содержит искомый корень; Допустим, что нам удалось найти отрезок [а,b], на котором расположено искомое значение корня поэтому его принимаем в качестве нового отрезка [a1,b1]. Вторую половину отрезка [а,b], на которой знак F(x) не меняется, отбрасываем. В качестве первого приближения корня принимаем середину нового отрезка

с = a1 + b1
1	2
и т. д.

Таким образом, k-е приближение вычисляется как

	сk =	ak + bk
		2

После каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, а после k - итераций он сокращается в 2к раз:

b − a bk − ak = 2k

Иллюстрация данного метода приведена на рисунке 1.

Процесс вычислений завершается, когда длина текущего интервала становится меньше заданной величины точности - нахождения корня.

6

Рисунок 1.1 Графическая интерпретация нахождения корней

Пример

Методом половинного деления уточнить корень уравнения лежащий на отрезке 0,4; 1с точностью до 0,001.

= 4 + 2 3 − − 1 = 0

Рисунок 3 Зависимость

Последовательно имеем:

x0 =0.4; f(0) = - 1.246; x1 =1; f(1) = 1;

7

			=			0 + 1			=			0.4 + 1			= 0,7
		2	2						2
						f(0,7) = - 0.774;
			=		1 + 2				=		1 + 0,7		= 0,85
		3	2						2
						f(0,85) = - 0,1;
		=		1 + 3			=			1 + 0,85				= 0,925
		4	2						2
						f(0,925) = + 0,39;
Таблица 1.1
Шаг	х	f(x)							Ошибка ɛ
1	0.4	- 1.246
2	1	1							-0.6
3	0.7	- 0.774							-0,3
4	0.85	- 0.1							0,075
5	0.925	0.39							0,0375
6	0.8875	0.131							-0,0188
7	0.8687	0.012							0,009325
8	0.859375	- 0.044615							0,004625
9	0.8640	-0.017							-0,0023
10	0.8663	-0.0023							0,00088375

x = 0.8663

Метод секущих (хорд)

В этом методе кривая f(x) заменяется прямой линией – хордой, стягивающей точки (a, f(a)) и (b, f(b)). В зависимости от знака выражения f(a)*f //(a) метод хорд имеет два варианта, изображенных на рис. 1.2 а, б.

8

а) б)

Рисунок 1.2 Графическая интерпретация метода хорд: а) F(a)F //(a)>0 б)

F(a)F //(a)<0

Пусть f(a)*f//(a)>0 (рис.2а). Тогда x0=b, точка a будет оставаться неподвижной. Следующее приближение x1 находим как точку пересечения хорды, соединяющей точки (a, f(a)) и (x0, f(x0)) с осью x.

В аналитической геометрии выводится формула, задающая уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (х1; у1) и (х2; у2):

=	+	2	− 1	( − )
1		2	1
			− 1

Таким образом, для f(a)*f//(a)>0 точка пересечения хорды с осью x:

( 0 − )1 = − 0 −

На следующей итерации в качестве x0 надо взять вычисленное значение x1.

( − )+1 = − −

Пусть теперь f(a)f //(a)<0 (рис.2б). Тогда x0=a, точка b неподвижна. Проведем хорду, соединяющую точки (b, f(b)) и (x0, f(x0)):

=	+	− 0	( − )
0		0
		− 0

Вычисляем точку пересечения хорды с осью x: .

	1	= 0	−	0	( − 0)
					− 0

На следующей итерации в качестве x0 надо взять вычисленное значение x1

			( − )
	= −
+1			−
Повторять операцию следует до тех пор,			пока xi-xi-1< не станет меньше
		9

или равно заданному значению погрешности.

Пример

Методом секущих (хорд) уточнить корень уравнения лежащий на отрезке 0,1с точностью до 0,001.

= 4 + 2 3 − − 1 = 0

Решение:

0 = −1; 1 = 1; / = 4 3 + 6 2 − 1 > 0 при 0,1

следовательно, на отрезке 0.4,1 расположен один корень.

Воспользуемся формулой

−= − −

	1	= −	−			= 0.4 −	1 − 0.4	= 0.733
				−			1 − (−1.246)

1 = 0.733 = −0.657

− 12 = 1 − − 1 1 = 0.839

2 = −0.16232

− 23 = 2 − − 2 2 = 0.86148

3 = −0.03201

10