Лабораторный практикум. В.Ф. Говердовский, А.В. Дикинис / Лабораторный практикум В. Ф. Говердовский, А. В. Дикинис

	Ах2	Ау2	Azz
		7Т	7Г		cosco sin со О
AZ,	00	-- со	—
		2	2	4 =	■sin cocos со О (3.12)
	71		и
					О 0 1
Ац	—+C0	00	—
	2		2
АС	71	71	0
	2	2

Заменив в матрицах А\, Аг, Аз углы Q, г, со на -Q, -i, -со, полу­ чим матрицы Вк(к = 1, 2, 3):

cosQ sinQO

'1 0 0

- sinQ cosfiO

О

О

1

,2*2 = Ocosisini

0-sinicosi

1

cos® sin со О
Въ= - s i n со cos со О	(3.13)
О 0 1

Матрицу В иногда называют матрицей проективных коэффи­ циентов и записывают в виде:

PxQxRx

В = PYQyRy

(3.14)

PzQzRz

Из (3.9) и (3.14) следует, что

X	^xQx^x	V
У = PyQyRy		л	(3.15)
Z	PzQzR-z

Матрица А может быть получена из матрицы В транспониро­ ванием:

61

PXPYPZ ^X^Y^Z

Q x QyQ z ? Л = Q x Q yQz

R x R yR z .С. .R x R yR z

Методические ук азан и я

1.Мгновенное положение ИСЗ на небесной сфере можно оп­ ределить сферическими координатами, аналогичными географиче­ ской широте и долготе.

Проекцию некоторого мгновенного положения спутника на земную поверхность определяют как подспутниковую точку. То­ гда трасса спутника на поверхности планеты есть геометрическое место подспутниковых точек, или проекция орбиты ИСЗ на по­ верхность вращающейся Земли, на которой указано время прохо­ ждения спутником отдельных наземных пунктов.

2.Истинное движение ИСЗ может быть представлено как движение его по кеплеровой орбите, основные элементы которой непрерывно изменяются, являясь функцией времени. Другими словами, для определения географических (или геодезических) координат спутника необходимо его широту cps, долготу Xsи ради­ ус-вектор гявыразить через элементы орбиты (см. рис. 13), то есть связать геометрически положение ИСЗ с текущим временем. Та­ кую связь дает уравнение Кеплера

M = E - e s in E ,

(3.17)

где М - параметр, именуемый средней аномалией; Е - эксцентри­ ческая аномалия; е - эксцентриситет орбиты (рис. 18).

Средней аномалией называют дугу, которую описал бы спут­ ник после своего прохождения через перигей, если бы он двигался равномерно по круговой орбите, совершая полный оборот за свой реальный период обращения по эллиптической орбите.

Эксцентрическая аномалия ( Z P O 'Q = Е ) при движении

спутника изменяется неравномерно. Полярный угол &, под кото­

рым радиус-вектор rs точки S наклонен к оси эллипса, называется истинной аномалией, и он также меняется неравномерно. В ряде случаев положение радиус-вектора rs задают не относительно оси

62

эллипса, а относительно линии узлов Ь <£, и тогда полярным углом будет являться угол U, который именуется аргументом широты:

U = 9 + <o,

(3.18)

где со - аргумент перигея, то есть угловое расстояние перицентра, определяемое углом между линией узлов и линией апсид.

Рис. 18. Пояснение к уравнению Кеплера

Поскольку эксцентрическая аномалия однозначно связана

скоординатами спутника, а средняя аномалия является функцией времени (3.1), то уравнение Кеплера по сути является выражением зависимости спутниковых координат от времени.

3.В упрощенных вариантах расчета координаты ИСЗ чаще всего выражают через параметр М, решая уравнение Кеплера гра­ фически с помощью специальной номограммы (рис. 19).

Входными величинами для работы с номограммой являются вспомогательный параметр М - средняя аномалия и эксцентриси­ тет орбиты е. По известным значениям М н е определяют параметр (М + 1 ООе). После этого точку М, взятую на оси абсцисс (нижней оси номограммы), соединяют прямой линией с точкой (М + 100е) на верхней оси номограммы и против точки пересечения линии

скривой на оси абсцисс отсчитывают значение параметра Е.

Затем производится расчет истинной аномалии:

63

sin .9	sin E	,
	•V l - e 2		(3.19)
	1 - e c o s E
cos <9 =	cos E —e		(3.20)
	1 - e c o s E

и величины аргумента широты:

[/=-a + co.

О

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200°

Используя вычисленные параметры, определяют фгли Кл под­ спутниковой точки в абсолютной геоцентрической системе коор­ динат:

s in ^ M = sin г sin t / ,

sinA, _ (s in O c ° s С/ + c°siO cos i sinC/)

'coscp^

cosA,, = cosQ cos£7,

а затем в относительной системе координат:

фг = Фга; К = Ка —Q(S —So),

(3.21)

(3.22)

(3.23)

(3.24)

где S и S0- звездное время соответственно в рассматриваемый мо­ мент и на начало данных суток по всемирному времени.

64

4. Пространственные координаты спутника X, Y, Z или геоде­ зические координаты, В - широту и L - долготу подспутниковой точки (точки пересечения земного эллипсоида и нормали к его по­ верхности, на которой находится спутник), а также высоту Н спутника над поверхностью Земли для любого момента t времени можно вычислить по элементам орбиты ИСЗ (например, Q, со, i, е,

М0, заданным в гринвичской прямоугольной системе координат

(см. рис. 13).

Расчет этих параметров осуществляется по соотношениям:

М= n (t- t0) + М 0,

М= Е - esin Е ,

1+ е	Е
----tg— ,
tg 2 = 1- е	2
а(1 - е 2)
г = l + ecos.9’

U = & + со,

X = r(cosU cosQ-sin U sinQ cosi),

Y = r (cosU sinQ + sinU cosQcosi), Z = r sin{7sini,

Y_ tgL = -

X ’ ZsinL

tgB =-

ae s in i

1-

Vl + (l- e 2)tgВ

X

# = - cosВ cosL— N

N= a ^ l- e fs in 2 B, a, >6378245m

>0,0066934.

(3.25)

У

У

Расчет движения ИСЗ по формулам (3.25) является прибли­ женным.

65

Более точные данные передаются на сеть приемных пунктов в циркулярном порядке по линиям связи с помощью специальных международных кодов (см. лабораторную работу №7).

5. По известным элементам Q, г, а, е, со, (пэллиптической (кру­ говой) орбиты спутника можно предсказать его положение в про­ странстве в любой момент времени t, решив относительно величи­

ны Е уравнение Кеплера:

Е - е sinE = nittn), n =

(3.26)

и вычислив по элементам а и е параметр

Ъ — ay]1 —е2 .

(3.27)

Положение ИСЗ в орбитальной системе отсчета определяется вектором

Y	a(cosE-e)
h = bsinE		(3.28)
Л .	0

Этот же вектор в системе отсчета Axyz (см. рис. 17) характери­ зуется соотношением

X	a(cosE - e)
У = В	Ъsin Е	(3.29)
Z	0

которое иначе записывают в следующем виде:

X		> /		'в /
У	=	р у	a(cos Е - е ) +	Qy	6 sin is .	(3.30)

Z

А .

6. Если в момент времени t0 спутник, движущийся по круго­ вой орбите, находился над пунктом А земной поверхности с гео­ графическими координатами ф0, Хо, известны наклонение г орбиты

66

к плоскости экватора (0 < г < 90°) и период обращения Т спутника вокруг Земли, то для определения пункта земной поверхности, над которым будет находится ИСЗ в заданный момент t, поступают следующим образом.

а) Выбирают две прямоугольные системы отсчета с началом в центре О Земли (рис. 20): одну вращающуюся вместе с Зем­ лей вокруг земной оси, вторую Oxyz невращающуюся, постоянно ориентированную в пространстве.

Рис. 20. Прямоугольные системы отсчета - вращающаяся и невращающаяся (Р ' - подспутниковая точка земной поверхности, над которой в данный момент находится спутник)

В системе Ofyfc ось направляется в точку пересечения ну­ левого (гринвичского) меридиана с экватором, ось Од - к Север­ ному полюсу Земли, ось Ог| выбирается так, чтобы система отсче­ та ОВД была правоориентированной.

В системе Oxyz ось Ох принимает то положение оси О^, кото­ рое она занимает в определенный, заранее выбранный момент /0 (например, момент прохождения спутника через перигей или мо­ мент, когда ось О^ проходит через точку весеннего равноденст­ вия); ось Оz совмещают с ОС,, а ось Оу направляют таким образом, чтобы система Oxyz была также правоориентированной.

Координатные плоскости Оху и О^т] совпадают с плоскостью экватора Земли.

В момент t0оси вращающейся системы отсчета ОВД совпада­ ют с соответствующими осями невращающейся системы отсчета

Oxyz.

67

б) Земля в системе отсчета Oxyz (вместе с системой отсчета 0^r|Q вращается равномерно вокруг оси Oz. За каждую минуту система 0§г|^ (а вместе с ней и Земля) поворачивается относитель­

но невращающейся системы отсчета Oxyz на угол

^ 360° 360,986° (24-60-4)мин 1440мин’

так как продолжительность звездных суток составляет 23 ч 56 мин

4 с.

В любой момент времени t в системе отсчета Oxyz положение каждого пункта на поверхности Земли характеризуется двумя сфе­ рическими координатами: широтой Ф и долготой Л, причем

Ф - ф и Л = A +S (t- t0) .					(3.32)
Кроме того, в системе отсчета Oxyz плоскость орбиты враща­
ется вокруг оси Oz со скоростью
		3,5		градусы
— —	( R	)			(3.33)
	—		COS X,
140	К а)			минуты

где R - радиус Земли, 0° < i < 90° или 90° < i < 180°. В том и дру­ гом случае орбита вращается в направлении, противоположном направлению проекции движения самого ИСЗ на плоскость эква­ тора. Такого рода равномерное вращение плоскости орбиты, как известно, называют прецессией.

7. а) Сначала рассматривают движение спутника относитель­ но невращающейся системы отсчета Oxyz и не учитывают прецес­ сию орбиты.

Если бы после момента t0не вращалась бы Земля и не враща­ лась бы плоскость орбиты спутника, то ИСЗ в момент t находился бы над некоторой точкой В земной поверхности со сферическими координатами Ф, Л в системе отсчета Oxyz. На рис. 21 представле­ на трасса спутника САВ и дуг AD, BF меридианов больших кругов,

перпендикулярных экватору. Если градусные меры дуг СА, CD, СВ, CF, DA, BF равны соответственно \|/о, Оо, у, а, ф0, ф, то по из­

68

вестным формулам для прямоугольных сферических треугольни­ ков [(1.19); см. лабораторную работу 1]:

		sm(pn	,
	smv|/0 = . 7			(334)
		smz
	sina0 =		l n	(3.35)
■Пюи. й лп.'пнит			j'LC'i.V -'-'is
;Ж H№' -j V\	f-'i	,j?i jH	R'itVniffiAbi' 10 ;:/^	!['.J

0 <iH ,;ф ;!') :СЯ

T /U'

Рис. 21. Трасса спутника относительно невращающейся системы отсчета

Выбор конкретных значений \у0 и а0 среди различных дуг, удовлетворяющих.условиям (3.34),. (3.35), производится с учетом дополнительных сведений о Движении спутника (по.периоду Г об­ ращения, проходил ли спутник над пунктом .,4 с юга на-север и цаоборотуит.п.): .она) оклцоша;г;!ш и-<\- гли iiouui^oii Д> оякот п

Спутник движется по круговой орбите равномерно, и за (/ -to) минут его проекция на земную поверхность проходит дуiy АВ, со-

360° .	.	’	.й -л:)
держащую--- .(/- (0)		градусов. Цоэтому
	г---	360°	(3.36)
		у = ч/0+ -^-(/-?0).
Для прямоугольного сферического треугольника BCF:
		яшф = sih\|/sim,	(3.37)

69

tg a = tg y cos г,

(3.38)

откуда определяются cp и a. Дута D F равна, таким образом, a - oto (градусов). Следовательно, дляточки В долгота Л = Хо+ a - ао.

б) Затем учитывают прецессию орбиты спутника. Плоскость орбиты ИСЗ вращается со скоростью £1 градусов за одну минуту,

а за (/ - t0) минут орбита поворачивается (относительно системы

*

отсчета Оxyz) на угол Q.(t — t0) . Другими словами, в момент t

спутник будет находиться над некоторым пунктом N с той же ши­ ротой Ф, но с долготой

(3.39)

Переходя теперь от системы отсчета Оxyz к системе отсчета определяют географические координаты (ф, X) той же точки М вращающейся Земли, которая окажется в момент t под спутни­

ком, то есть из формул (3.32) и (3.39) получают

Ф = Ф, Х = Ао + a - ao + (r2-5)(jW 0).

(3.40)

8. Если ИСЗ в момент времени tn находился на эллиптической орбите в своем перигее П, который (в этот момент) оказался над пунктом А земной поверхности, имеющим географические коор­ динаты (ф0, V), то можно указать те моменты t, когда спутник бу­

дет находится над пунктами с некоторой широтой ф. Требуется определить, какова будет в каждый такой момент времени долгота X подспутниковой точки?

а) Пусть ф > ф0 > 0 и рассмотрим сначала трассу спутника

вневращающейся системе отсчета Оxyz, не учитывая также пре­ цессию орбиты ЙСЗ. Допустим, что в момент t спутник оказался

вточке Q, лежащей над ф-й параллельно (рис. 22). Проекцию спутника на земную сферу обозначим через В.

Обозначим для градусных мер дуги: СА = со, CD = cto, СВ = \|/,

CF = а.

Как и при рассмотрении п. 6, можно записать:

Sin00=	(3.41)
sum	(3.42)
sin\|/ = -- -,

sin?

70