Вопросы и ответы (мат)

ВОПРОС

ОТВЕТ

1

Функция y = f(x) имеет пределом

1

Функция y = f(x) имеет пределом число А при стремлении х к а, если для каждого числа е>0 найдется такое число δ>0, что

|y — A|<е, при | х —a|<δ

2

Математическая запись предела

2

3

Предел постоянной величины

3

limА=А

4

Предел суммы (разности) конечного числа функций

4

5

Предел частного двух функций

5

6

Предел произведений конечного числа функций

6

при lim φ(x)≠0

7

Чему равен замечательный предел:

7

8

Чему равен замечательный предел:

8

ВОПРОС

ОТВЕТ

1

Производной функции f(x) называется

1

Производной функции f(x) называется предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх в точке х при стремлении Δх к нулю:

2

Математическая запись производной

2

3

Производная

постоянной величины у=С:

3

ý= 0;

4

Производная

степенной функции у = х^μ:

4

ý=μx^μ-1

5

Производная

показательной функции у = а^x:

в частности, если у = е^х

5

ý=a^xlna;

ý= е^x;

6

Производная

логарифмической функции y=log_ax

6

7

Производная

натурального логарифма у = lnх

7

8

Производная

тригонометрической функции y=sinx

8

y'=cosx;

9

Производная

тригонометрической функции y=cos x

9

ý =— sin x;

10

Производная тригонометрической функции y = tgx

10

11

Производная тригонометрической функции y = ctgx

11

12

Производная обратной тригонометрии-ческой функции y=arcsinx

12

13

Производная обратной тригонометрии-ческой функции y=arccosx

13

14

Производная обратной тригонометрии-ческой функции y=arctgx

14

15

Производная обратной тригонометрии-ческой функции y=arcctgx

15

16

Производная суммы (разности) функций y = w±u

y' = u'±v'

17

Производная произведения двух функций y=uv

17

y' = u'v + v'u.

18

Производная частного двух функций y=u/v

18

19

Производная сложной функции

y = f₁(u), если u = f₂(x),

19

у'_x = у'_ии'_x

20

Условие возрастания функции y = f(x) на отрезке [а, b]

20

f'(x)>0

21

Условие убывания функции y=f(x) на отрезке [а, b]

21

f'(x)<0

22

Условие максимума функции y=f(x) при x= а

22

f'(a)=0 и f'' (a)<0

23

Условия функции экстремума

Если при х=а производные f'(а) = 0 и f"(а) = 0, то необходи­мо исследовать f'(x) в окрестностях точки x = а. Функция у=f(х) при х=а имеет максимум, если при переходе через точку х= а производная f'(x) меняет знак с «+» на «-», в случае минимума — с « - » на «+» Если f'(x) не меняет знака при переходе через точку х = а, то в этой точке у функ­ции экстремума нет

ВОПРОС

ОТВЕТ

1

Дифференциал независимой переменной равен

1

ее приращению: dx=Δx

2

Дифференциал функции y=f(x)

2

dy = у' Δх

3

Дифференциал суммы (разности) двух функций y=u±v

3

dy=du±dv

4

Дифференциал произведения двух функций у=uv

4

dy = vdu+udv.

5

Дифференциал частного двух функций y=u/v

5

6

Приращение функции через дифференциал

6

Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f'(x) • Δx

где Δx: — приращение аргумента

7

Приближенное вычисление значения функции:

7

f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x) • Δx

8

Дифференциал применяется для вычисления абсолютной и отно­сительной погрешностей при косвенных измерениях u = f(x, у, z .). Абсолютная погрешность результата измерения

8

9

Относительная погрешность результата измерения

9

ВОПРОС

ОТВЕТ

1

первообразной данной функции f(x) называется

1

Функция F(x), имеющая данную функцию f(x) своей производной или f(x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x).

2

неопределенным интегра­лом называется

2

Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегра­лом и обозначается символом ∫ f(x)dx.

3

Интеграл ∫x^μdx равен

3

x^μ+1/ (μ+1) +C (μ≠-1)

4

Интеграл ∫dx/x равен

4

ln|x|+C

5

Интеграл ∫a^xdx равен

5

a_x/lna +C

6

Интеграл ∫e^xdx равен

6

e^x+C

7

Интеграл ∫sin x dx равен

7

-cos x +C

8

Интеграл ∫cos xdx равен

8

sin x +C

9

Интеграл ∫dx/cos²x равен

9

tgx+C

10

Интеграл ∫dx/sin²x равен

10

-ctgx+C

11

Интеграл ∫dx равен

11

х+С

12

Интеграл ∫arc sinxdx равен

12

13

Интеграл ∫arc cosxdx равен

13

-

14

Интеграл ∫arc tgxdx равен

14

15

Интеграл ∫arc ctgxdx равен

15

-

16

Интеграл ∫tgxdx равен

16

Lncosx+C

17

Интеграл ∫ctgxdx равен

17

- Lnsinx+C

18

Интегрирование по частям

18

∫ udv = uv—∫ vdu.

19

Найти у = ∫ In хdх.

19

Полагаем и=lпх, dv = dx, тогда , v = x

Используя формулу интегрирования по частям, получаем

у = ∫ In xdx = x In х-∫ dх = xlnx-x+C

20

Интегрирование методом замены переменных Найти у= ∫ (1+ 2x²)dx

20

Заменим l+2x=z, Тогда

y=0,5∫z²dz

Возвращаясь к прежней переменной х, окончательно имеем