Вступительный экзамен 2018 / Раздел 3(ответы)
.docxРаздел 3. Матрица и определители
-
Пусть . Найти определитель .
Найдем матрицу :
Определитель найдем разложением по первой строке:
=120.
Ответ:
-
Найти обратную к матрице . Сделать проверку.
Обратная матрица можно найти как:
Определитель матрицы равен (по первому столбцу):
Найдем матрицу алгебраических дополнений:
Транспонированная
матрица алгебраический дополнений
равна:
Таким
образом обратная матрица равна:
Проверка:
Обратная
матрица найдена верно. Ответ:
-
Решить матричное уравнение (с неизвестной матрицей ):
Найдем обратную матрицу :
Матрица алгебраических дополнений равна:
Транспонированная матрица алгебраических дополнений равна:
Обратная матрица равна
Тогда искомая матрица равна:
Ответ :
-
Найти определитель матрицы:
Найдем матрицу методом Гаусса. Приведем матрицу к ступенчатому виду:
{отнимем из 2-ой, 3-ьей и 4-ой строк первую умноженную на 2, 3 и 6 соответственно}{отнимем из 4-ой строки вторую}{отнимем из 4-ой строки третью}У полученной матрицы четвертая строка нулевая, а значит ее определитель будет равен нулю. Ответ:
-
Приведя матрицу к ступенчатому виду, найти ее определитель: Приведем матрицу к ступенчатому виду: {отнимем из 2-ой и 3-ьей строки первую умноженную на 2 и 3 соответственно}{отнимем из 3-ьей строки вторую}
Определитель равен произведению элементов главной диагонали матрицы, приведенной к ступенчатому виду:
Ответ:
-
Определить ранг матрицы
Приведем заданную матрицу к ступенчатому виду:{отнимем из 2-ой, 3-ьей и 4-ой строк первую умноженную на 4, 3 и 8 соответственно}{прибавим к 3-ьей строке вторую разделенную на 3; отнимем из 4-ой строки вторую умноженную на 2/3}
{отнимем из 4-ой строки третью}
Таким образом ранг заданной матрицы равен:
Ответ:
-
Пусть . Найти .
Возведем заданную матрицу во вторую степень, для этого умножив матрицу саму на себя:
Возведем заданную матрицу в третью степень, для этого умножив матрицу на :
Найдем квадрат матрицы , умноженной на 3:
Найдем произведение матрицы на 3:
Тогда искомое выражение равно:
Ответ :
-
Приведя матрицу к ступенчатому виду, определить ее ранг:
Приведем заданную матрицу к ступенчатому виду:
{отнимем из 3-ьей и 4-ой строк первую}{отнимем из 4-ой строки третью}
Таким образом ранг заданной матрицы равен:
Ответ:
-
Найти определитель обратной матрице , если
Определитель заданной матрицы равен (разложением по первой строке):
Так как определитель матрицы равен нулю, то обратной матрицы не существует.
Ответ:
обратная матрица не существует.
-
Найти , если .
Найдем произведение матрицы на матрицу :
Определитель матрицы равен:
Ответ:
-
Пусть . Имеет ли матрица обратную?
Найдем произведение матрицы на матрицу :
Определитель матрицы равен
Матрица не имеет обратную, так как ее определитель равен 0.
Ответ: матрица не имеет обратную.
-
Найти собственные числа матрицы
Найдем собственные числа из характеристического уравнения заданной матрицы:
Ответ: