Вступительный экзамен 2018 / Раздел 11 (ответы)

Радел 11. Числовые ряды

1. Сходится ли ряд?

Проверим сходимость ряда, применив предельный признак сравнения. Сравнение проведем с гармоническим (расходящимся) рядом :

Предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу, поэтому исследуемый ряд, как и гармонический, расходится.

Ответ: ряд расходится

2. Сходится ли ряд?

Проверим сходимость ряда, применив предельный признак сравнения. Сравнение проведем с (расходящимся) рядом :

Предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу, поэтому исследуемый ряд, тоже расходится.

Ответ: ряд расходится

3. Сходится ли ряд?

Проверим сходимость ряда, применив признак Даламбера.

Ряд сходится, так предел отношения последующего члена к предыдущему меньше единицы.

Ответ: ряд сходится

4. Сходится ли ряд?

Проверим сходимость ряда, применив признак Даламбера.

Ряд сходится, так предел отношения последующего члена к предыдущему меньше единицы.

Ответ: ряд сходится

5. Сходится ли ряд?

Проверим сходимость ряда, применив признак Даламбера.

Ответ: ряд сходится

6. Сходится ли ряд?

Проверим сходимость ряда, применив интегральный признак Коши.

Так как несобственный интеграл сходится, то и заданный ряд тоже сходится.

Ответ: ряд сходится

7. Сходится ли ряд?

Проверим сходимость знакочередующегося ряда, применив признак Лейбница.

Ряд расходится так как члены ряда не убывают монотонно по модулю.

Ответ: ряд расходится

8. Сходится ли ряд?

Проверим сходимость знакочередующегося ряда, применив признак Лейбница.

Ряд сходится так как члены ряда убывают монотонно по модулю.

Определим, является ряд условно или абсолютно сходящимся.

Для этого проверим сходимость ряда:

Применим предельный признак сравнения. Сравнение проведем с (расходящимся) гармоническим рядом :

Предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу, поэтому исследуемый ряд, тоже расходится.

Таким образом заданный знакочередующийся ряд является условно сходящимся.

Ответ: ряд сходится условно

9. Сходится ли ряд?

Проверим сходимость ряда, применив признак Даламбера.

Ряд сходится, так предел отношения последующего члена к предыдущему меньше единицы.

Ответ: ряд сходится

10. Найти сумму ряда:

Полученный ряд представляет из себя утроенную бесконечно убывающую прогрессию, поэтому найдем его сумму по формуле ( – первый член прогрессии, – основание прогрессии):

Ответ: