Добавил:

kipetilnik Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Технический Университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Bilet_12

.odt

Скачиваний:

Добавлен:

18.09.2018

Размер:

26.63 Кб

Скачать

☆

Свойства бесконечно малых

Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
Если an — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то $b_n=\frac{1}{a_n}$ — бесконечно большая последовательность.

Сравнение бесконечно малых

Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость $\frac{0}{0}$ .

Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же $x\to a$ величины α(x) и β(x) (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

Если $\lim_{x\to a}\frac{\beta}{\alpha}=0$ , то β — бесконечно малая высшего порядка малости, чем α. Обозначают β = o(α).
Если $\lim_{x\to a}\frac{\beta}{\alpha}=\infty$ , то β — бесконечно малая низшего порядка малости, чем α. Соответственно α = o(β).
Если $\lim_{x\to a}\frac{\beta}{\alpha}=c$ (предел конечен и не равен 0), то α и β являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.

Это обозначается как β = O(α) или α = O(β) (в силу симметричности данного отношения).

Если $\lim_{x\to a}\frac{\beta}{\alpha^m}=c$ (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина β имеет m-й порядок малости относительно бесконечно малой α.

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

Примеры сравнения

При ${x\to 0}$ величина x5 имеет высший порядок малости относительно x3, так как $\lim_{x\to 0}\frac{x^5}{x^3}=0$ . С другой стороны, x3 имеет низший порядок малости относительно x5, так как $\lim_{x\to 0}\frac{x^3}{x^5}=\infty$ .

С использованием О-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде x5 = o(x3).

$\lim_{x\to 0}\frac{2x^2+6x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{2x+6}{1}=\lim_{x\to 0}(2x+6)=6,$ то есть при $x\to 0$ функции f(x) = 2x2 + 6x и g(x) = x являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

В данном случае справедливы записи 2x2 + 6x = O(x) и x = O(2x2 + 6x).

При ${x\to 0}$ бесконечно малая величина 2x3 имеет третий порядок малости относительно x, поскольку $\lim_{x\to 0}\frac{2x^3}{x^3}=2$ , бесконечно малая 0,7x2 — второй порядок, бесконечно малая $\sqrt{x}$ — порядок 0,5.

Эквивалентные величины

Определение

Если $\lim_{x\to a}\frac{\beta}{\alpha}=1$ , то бесконечно малые величины α и β называются эквивалентными ( $\alpha\thicksim\beta$ ).

Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При $\alpha(x)\xrightarrow[x\to x_0]{}0$ справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):

$\sin\alpha(x)\thicksim\alpha(x);$
$\mathrm{tg}\,\alpha(x)\thicksim\alpha(x);$
$\arcsin{\alpha(x)}\thicksim\alpha(x);$
$\mathrm{arctg}\,\alpha(x)\thicksim\alpha(x);$
$\log_a(1+\alpha(x))\thicksim\alpha(x)\cdot\frac{1}{\ln{a}}$ , где a > 0;
$\ln(1+\alpha (x))\thicksim\alpha(x);$
$a^{\alpha(x)}-1\thicksim\alpha(x)\cdot\ln{a}$ , где a > 0;
$e^{\alpha(x)}-1\thicksim\alpha(x);$
$1-\cos{\alpha(x)}\thicksim\frac{\alpha^2(x)}{2};$
$(1+\alpha(x))^\mu-1\thicksim\mu\cdot\alpha(x),\quad\mu\in\R$ , поэтому используют выражение:

$\sqrt[n]{1+\alpha(x)}\approx\frac{\alpha(x)}{n}+1$ , где $\alpha(x)\xrightarrow[x\to x_0]{}0$ .

Теорема

Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).

Примеры использования

Найти $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x}.$

Заменяя sin 2x эквивалентной величиной 2x, получаем

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x}=2.$

Найти $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(4\cos x)}{\cos x}.$

Так как $\sin(4\cos x)\thicksim{4\cos x}$ при $x\to\frac{\pi}{2}$ получим

$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\sin(4\cos x)}{\cos x}=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{4\cos x}{\cos x}=4.$

Вычислить .

Используя формулу: $\sqrt{1{,}2}\approx 1+\frac{0{,}2}{2}=1{,}1$ , тогда как, используя калькулятор (более точные вычисления), получили: $\sqrt{1{,}2}\approx 1{,}09544$ , таким образом ошибка составила: 0,00455, то есть метод полезен, благодаря своей простоте, при грубой оценке арифметических корней близких к единице.

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
18.09.201823.81 Кб1Bilet_10.odt
#
18.09.201824.34 Кб0Bilet_11.odt
#
18.09.201826.63 Кб0Bilet_12.odt
#
18.09.201823.71 Кб0Bilet_13.odt
#
18.09.201812.74 Кб0Bilet_15.odt
#
18.09.201818.34 Кб0Bilet_17.odt
#
18.09.201828.15 Кб0Bilet_19.odt
#
18.09.201822.26 Кб0Bilet_20.odt