Вопросы к экзамену / 3. Какова роль абстракций в механике
.docxНи одна физическая задача не может быть решена абсолютно точно. Решая задачу приближенно, пренебрегают некоторыми факторами, которые в данном случае не существенны, то есть абстрагируются от них. Одна из абстракций в механике — материальная точка.
Материальная точка — это тело, размеры, форма и внутренняя структура которого в данной задаче несущественны.
Механическая система — совокупность тел, выделенная для рассмотрения. Если линейные размеры тел малы по сравнению с расстояниями между ними, а вращением тел вокруг осей, проходящих через них, можно пренебречь, то такую систему можно считать состоящей из материальных точек. Например, вычисляя время автомобиля в пути, можно пренебречь его линейными размерами по сравнению с проходимым расстоянием, то есть рассматривать его как материальную точку. Но, изучая вращение колеса автомобиля, мы должны учесть его форму, массу, размеры. В этом случае первый уровень абстракции нас уже не удовлетворит, и мы переходим на следующий уровень.
Второй уровень абстракции включает понятие абсолютно твердого тела.
Абсолютно твердое тело — это тело, деформациями которого можно в условиях данной задачи пренебречь.
Здесь мы не пренебрегаем размерами тела, но считаем неизменными расстояния между двумя его любыми точками. На этом уровне можно решать задачи о вращении колес и блоков, о работе гироскопов и т. п. Иначе говоря, те задачи, где деформации тела малы по сравнению с его линейными размерами.
Но если нас интересует именно деформация тел, скажем, при расчетах мостов, поведении балок и арок, то мы из области классической механики попадаем в сферу действия других научных дисциплин — теоретической механики, теории упругости и т. п. В этом курсе мы ограничимся первыми двумя уровнями абстракции.
Число степеней свободы механической системы — это число независимых скалярных величин, задание значений которых необходимо для однозначного определения конфигурации системы
Так
как наше пространство трехмерно, число
степеней свободы материальной
точки равно трем. Для системы
из 
материальных
точек, между которыми нет жестких связей,
число степеней свободы равно,
естественно, 
.
При наличии жестких связей между точками
число степеней свободы уменьшается на
число таких связей. Так, для однозначного
указания положения абсолютно твердого
тела в пространстве нам надо задать:
-
три координаты, фиксирующие положение какой-то точки этого тела в пространстве;
-
два угла для определения направления оси, проходящей через выделенную точку тела;
-
угол поворота тела относительно этой оси.
Отметим, что упомянутые выше точки тела не должны обязательно находиться на поверхности абсолютно твердого тела или внутри его, они должны быть жестко связаны с телом, то есть расстояние от выбранной точки до любой точки тела не должно меняться в процессе движения.
Таким образом, число степеней свободы для абсолютно твердого тела равняется шести. Для каждой степени свободы системы должно быть написано свое уравнение движения, то есть количество скалярных уравнений движения системы должно совпадать с числом ее степеней свободы.
Тот факт, что у абсолютно твердого тела именно шесть степеней свободы можно пояснить ещё и таким способом. Достаточно очевидно, что указание положения трех жестко связанных с телом и не лежащих на одной прямой точек, однозначно определяет положение всего тела в пространстве. Такие три точки определяют некий треугольник. У трех точек 9 степеней свободы, но это точки абсолютно твердого тела, следовательно, расстояния между ними — длины сторон треугольника — неизменны. Это три связи, следовательно, независимыми из девяти величин остаются только шесть: у абсолютно твердого тела шесть степеней свободы.
Задание трех координат некоторой жестко связанной с телом точки и трех углов, определяющих ориентацию тела удобно тем, что подсказывает разделение всех шести степеней свободы тела на два вида: три «поступательных» и три «вращательных» степени свободы. Мы вернемся к этому вопросу при рассмотрении вращательного движения протяженных тел.