Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Ответы на оставшиеся билеты!!!!!!.docx
Скачиваний:
14
Добавлен:
27.10.2018
Размер:
842.45 Кб
Скачать

Вектор – направленный отрезок. Другими словами, вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой концом.

На рисунках направление вектора обозначается стрелкой от начала к концу. Если длина рассматриваемого отрезка равна нулю, то есть отрезок вырождается в точку, то эта точка тоже может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым и имеет произвольное направление.

Рисунок 9.1.1.

На рисунке 9.1.1 изображены ненулевые векторы  и  и нулевой вектор  Нулевой вектор иногда обозначается символом 

Определение 9.2. 

Длиной (модулем) ненулевого вектора  называется длина отрезка AB. Она обозначается как  Длина нулевого вектора равна нулю: 

Определение 9.3. 

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Поскольку нулевой вектор может иметь произвольное направление, то разумно считать его коллинеарным любому ненулевому вектору.

Определение 9.4. 

Если два ненулевых вектора  и  коллинеарны, а лучи AB и CD сонаправлены, то векторы  и  называются сонаправленными. Этот факт обозначается так:  Если же эти лучи не являются сонаправленными, то векторы и  называются противоположно направленными. Этот факт обозначается так: 

Рисунок 9.1.2.

На рисунке 9.1.2    

Определение 9.5. 

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

На рисунке 9.1.2  так как  и  а  так как 

Нетрудно доказать следующее.

Теорема 9.1. 

От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Сделайте это самостоятельно.

Определение 9.6. 

Два вектора называются противоположными, если их длины равны, и они противоположно направлены (рис. 9.1.3).

Определение 9.7. 

Суммой двух векторов  и  называется новый вектор  который обозначается  и получается следующим образом.

Рисунок 9.1.4.

Отложим от произвольной точки A вектор , равный  Теперь от точки B отложим вектор  равный  Вектор и называется суммой векторов  и   Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Для сложения двух неколлинеарных векторов можно воспользоваться правилом параллелограмма, известным из курса планиметрии (рис. 9.1.5).

Рисунок 9.1.5.

Для любых векторов   и  справедливы равенства:

  •  (переместительный закон);

  •  (сочетательный закон).

Определение 9.8. 

Разностью векторов  и  называется такой вектор  сумма которого с вектором  равна вектору  Обозначается разность векторов так:  где  – вектор, противоположный вектору  (рис. 9.1.6).

Рисунок 9.1.6.

Теорема 9.2. 

Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

Доказательство этого утверждения следует из закона сложения векторов.

Определение 9.9. 

Произведением ненулевого вектора  на число k называется вектор  длина которого равна  причем при k > 0векторы  и  сонаправлены, а при k < 0 – противонаправлены. Произведением любого числа на нулевой вектор является по определению нулевой вектор.

Из этого определения следует, что векторы  и  коллинеарны. Кроме того, произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор.

Для любых векторов   и любых чисел k и l справедливы равенства:

  •  (сочетательный закон);

  •  (первый распределительный закон);

  •  (второй распределительный закон).

Теорема 9.3. Признак коллинеарности векторов.

Для коллинеарности вектора  ненулевому вектору  необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число λ, что 

Эта теорема доказывается аналогично, как в планиметрии.

Следствие 9.3.1. 

Для того, чтобы точка C лежала на прямой AB, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число λ, что 

Следствие 9.3.2. 

Для параллельности прямых AM и BN необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число λ, что 

Векторы называются компланарными, если имеются равные им вектора, параллельные одной плоскости.

Любые два вектора компланарны. Любые три вектора, среди которых есть два коллинеарных, компланарны.

Рисунок 9.2.1.

На рисунке 9.2.1 векторы   и  компланарны, так как, если отложить от точки C вектор  то все три вектора   и  окажутся лежащими в одной плоскости. Векторы   и  не компланарны, так как вектор  не лежит в плоскости ACD.

Теорема 9.4. Теорема о разложении по базису в плоскости.

Пусть векторы  и  не коллинеарны, тогда для любого вектора  лежащего в одной плоскости с  и  существует единственная пара чисел α и β, такая, что 

Эта теорема верна и для того случая, когда векторы   и  параллельны одной плоскости.

Теорема 9.5. 

Если векторы   и , отложенные от одной точки, не лежат в одной плоскости, то равенство 

верно только при x = y = z = 0.

Эта теорема позволяет от одного векторного равенства переходить к системе числовых равенств.

Теорема 9.6. Теорема о разложении по базису в пространстве.

Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Эта теорема доказывается аналогично теореме 9.4, и поэтому мы не будем на ней подробно останавливаться.

Рассмотрим три взаимно перпендикулярные прямые xyz, пересекающиеся в одной точке O (чертеж 9.3.1).

Чертеж 9.3.1.

Декартовы координаты в пространстве.

Проведем через каждую пару этих прямых плоскость. Плоскость, проходящая через прямые x и y, называется плоскостью xy. Две другие плоскости называются, соответственно, плоскостями xz и yz.

Определение 9.11. 

Прямые xyz называются координатными осями (или осями координат), точка их пересечения O – началом координат, а плоскости xyxz и yz – координатными плоскостями. Точка O разбивает каждую координатную ось на две полупрямые, которые называются положительной и отрицательной полуосями.

Рассмотрим теперь произвольную точку A и проведем через нее плоскость, параллельную плоскости yz (чертеж 9.3.2).

Чертеж 9.3.2.

Координаты точки.

Пусть эта плоскость пересекает ось x в некоторой точке Ax.

Определение 9.12. 

Координатой точки A по оси x будем называть число, равное по абсолютной величине длине отрезка OAx: положительное, если точка A лежит на положительной полуоси x, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси.

Если же точка Ax совпадет точкой O, то полагаем по определению, что x = 0. Аналогично можно определить координаты y иz точки A. Координаты точки A записываются в скобках рядом с названием этой точки: A (xyz).

Зададим теперь в пространстве прямоугольную систему координат.

Определение 9.13. 

Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси. Единичный вектор, направленный вдоль оси x, обозначается  единичный вектор, направленный вдоль оси y –  вдоль оси z –  Вектора    называются координатными векторами.

любой вектор  можно разложить по координатным векторам:

Кроме того, отметим, что по уже доказанному коэффициенты разложения определяются единственным образом. Эти коэффициенты и называются координатами вектора  в данной системе координат.

Следующие утверждения доказываются аналогично их планиметрическим аналогам.

  • Координаты нулевого вектора равны нулю.

  • Координаты равных векторов соответственно равны.

Пусть   тогда 

  • Координаты вектора суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов.

Пусть   тогда 

  • Координаты вектора разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов.

Пусть   тогда 

  • Координаты вектора произведения данного вектора на число равны произведениям соответствующих координат этого вектора на данное число.

Пусть   тогда 

Расстояние между точками

Рассмотрим точки A1 (x1y1z1) и A2 (x2y2z2) и найдем расстояние между этими точками.

Теорема 9.7. 

Расстояние между точками A1 и A2 можно вычислить по формуле 

Определение 9.14. 

Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, называется радиус-вектором данной точки.

Рассмотрим некоторую точку M в пространстве с координатами (xyz). Пусть M1M2M3 – точки пересечения с осями координат плоскостей, проходящих через точку M перпендикулярно к этим осям (чертеж 9.4.2). Тогда

По определению координаты точки M  Значит,  Совершенно аналогично  Получается, что  Тем самым доказана следующая

Теорема 9.8. 

Координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиус-вектора.

Рассмотрим теперь две точки  и  По только что доказанному,  Итак, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. Но длина вектора  по определению равна длине отрезка  а длина этого отрезка есть расстояние между точками  и  Значит, 

Эта формула позволяет вычислять длину вектора, зная его координаты.

Рассмотрим два произвольных вектора:  и 

Определение 9.15. 

Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой a, если он лежит либо на прямой a, либо на прямой, параллельной a.

Определение 9.16. 

Углом между ненулевыми векторами называется угол между прямыми, для которых данные вектора являются направляющими. Угол между любым вектором и нулевым вектором по определению считаем равным нулю. Если угол между векторами равен 90°, то такие вектора называются перпендикулярными. Угол между векторами будем обозначать так: 

Определение 9.17. 

Скалярным произведением векторов  и  называется произведение их длин на косинус угла между ними: 

Совершенно аналогично, как в планиметрии, доказываются следующие утверждения:

  • Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

  • Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение его самого на себя, равно квадрату его длины.

  • Скалярное произведение двух векторов  и  заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле 

Перечислим основные свойства скалярного произведения, которые также доказываются аналогично планиметрическим.

Для любых векторов   и  и любого числа λ справедливы равенства:

  1.  причем 

  2.  (переместительный закон).

  3.  (распределительный закон).

  4.  (сочетательный закон).

Уравнение прямой линии

Рассмотрим произвольную точку  и некоторый вектор  Поставим задачу найти множество точек таких, что вектор  параллелен вектору  Очевидно, что искомое множество – прямая, проходящая через точку Mпараллельно вектору 

Определение 9.20. 

Вектор  называется направляющим вектором прямой.

Найдем уравнение этого геометрического места точек. Параллельность векторов  и  означает, что существует такое число t, что  Пусть вектор  имеет координаты (abc). Запишем это равенство в виде трех скалярных равенств: 

Три последних равенства и описывают прямую в пространстве, проходящую через заданную точку параллельно направляющему вектору. Заметим, что в этих равенствах t – любое число.

Уравнение плоскости

  • Рассмотрим произвольную точку  в пространстве и некоторый вектор  Очевидно, что геометрическим местом точек  таких, что вектор  перпендикулярен вектору  будет плоскость, проходящая через точку Mперпендикулярно прямой, для которой вектор  является направляющим. Нашей задачей будет установить уравнение плоскости, то есть найти соотношение, которому удовлетворяют координаты точки A.

  • Запишем условие перпендикулярности векторов с использованием скалярного произведения

  • Запишем последнее равенство в координатах: 

  • Поскольку все наши выкладки были равносильными, то это и есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку. Преобразуем его к виду 

  • Обозначая  получим 

  • Это и есть так называемое общее уравнение плоскости.

  • Определение 9.19. 

  • Вектор  называется нормальным вектором (или просто нормалью) для плоскости, заданной общим уравнением (1).

  • Нормальный вектор к плоскости перпендикулярен ей, что следует из самого вывода уравнения плоскости.

  • Рассмотрим плоскость 3x + 2y + z – 6 = 0. Пусть A – точка пересечения этой плоскости с осью Ox, то есть A(2; 0; 0). ТочкаB(0; 3; 0) – это точка пересечения данной плоскости с осью Oy, точка C(0; 0; 6) – с осью Oz (чертеж 9.7.1). Уравнение  называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

  • Эта плоскость пересекает оси OxOyOz соответственно в точках A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).

  • Плоскость, изображенная на чертеже 9.7.1, имеет такое уравнение в отрезках на осях: